книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями
..pdfрое уничтожит |
напряжения |
(8.40) на границах. Это второе |
|||||||||
напряженное |
состояние мы получим с помощью бигармони- |
||||||||||
ческой функции перемещений L Лява, |
заданной в виде |
|
|||||||||
|
^ |
= |
S |
Ip ,л |
+ |
+ 5 „ Л /„ |
I^ rN i l C |
|
(8.41) |
||
где |
5„, |
<7ц |
и |
— пока |
произвольные |
константы. |
Для |
||||
краткости |
аргумент |
о)„л у цилиндрических |
функций J n N |
||||||||
опущен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производные от функции L будут |
иметь вид; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
- |
+ |
<„ (лг.+ |
^ ^ |
) ] |
|
|
|
»1= 1 |
|
|
|
г«1,Л + Л ) — |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
— Sn |
|
('■<«»1^1 + |
^o)] |
|
||
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, |
|
принимая |
во внимание |
зависимости |
(8.25), |
(8.26) |
|||||
и (8.27), находим по формулам (8.10) выражения для на пряжений:
|1 » » |
||(1 - 2 ; ‘) ? ,.- » ,.р » 1 Л + |
|
+ |
Л + К 1 2|Х) |
<“ ц5и1 W o + |
+( у — N ,] г " " » '. [ (8.42)
=1 ¾ I l “»[(>-ЭД ?,Л -^h+
Я=1
+ (1-2(.)1„Л(о — |
. |
|
2 |
— 12 <2— Ht)» „+ |
»»р»1 Л + |
|
|
|
71=1 |
|
|
|
|
|
4 - |
— 12 (2 — H-) + |
"‘/А»! |
+ |
|
|
|
- г |
п п |
11 |
^д^2) |
о,. = |
S |
Шн { — ^^n^^ЯnJo 4 - |
— |
|
|
—2 (1 — It) д,г\ Л — ‘»»»'■^71^о 4 - \^п^п —
Написав для результирующих напряжений а краевые усло вия при г = й II г = Ь:
бгг=®гг4-«гг = 0. Огг= ®гг4-вгг=0*
получим следующие уравнения для коэффициентов /)„.
Чп и tn-
|- Л ( ^ — С1)„Уо (“п<г)] Pn 4 -
-f- [(1—211.) Jo (ш„а) — и)„аЛ (и>»л)1Чп 4"
+— ш„ЫоK a ) ] Ч +
4-1(1 —2;4 No (Ui^fl) — (I)^aNi (и)„а)) /„ =
1—2(а /с л I <д«д\^о(«7>д) л __
= — "5-И+-7Г) <
(8.43)
2 0 |
|
«л |
1(1—2р)Jo (Шдб) — ШлбЛ (<0„^>)1Чп 4- |
||
+ |
_ „„лГо к » ) ] «. + |
|
+ 1(1-2(.)Л1„ («.„»)— |
(«.„«1<.= |
|
2 о и>п 1 |
« |
">нЛ (^^n^) Pa —
— |
[ 2 ( 1 — |
\L)J^ (10„с) + |
ш,^aJQ (U)Jifl)] 9,1 + |
||
|
|
-1- 0)„Л^1 (ш„а) Sn — |
|
||
— [2(1 — [J-) |
(и)„А) -Ь ШцАЛ/о(ш,1а)] tn = |
||||
ш„У1 ((о„6) Pn — |
|
|
|
(8.43) |
|
|
|
|
|
||
- |
[2 (1 - |
,X) л |
( U ) , , * ) + |
ШцЛУо |
Чп + |
+ |
‘«„/V: (‘"„*) Sn— [2 ( 1 — IX) yVi (U),,*)+ |
||||
|
|
|
|
+ и )„* Л ^ о (и )„ * )1 ^ „ = 0 |
|
|
|
(А = |
1, 2, 3. . .. ) . |
|
|
Решение этой системы уравнений с четырьмя неизвест ными Рп, 9„, Sn и У,„ должно проводиться для каждого зна чения п- Результирующие напряжения получаются путем наложения обеих систем напряжений, определяемых форму лами (8.39) H (8.42). При а:-»-оо все компоненты напряжений обращаются в нуль; это соответствует ненагруженному концу трубы. При Z = O получается равновесная система напряже ний, которая, вообще говоря, отлична от системы напряжений, имеющей место в действительности. По принципу Сен-Венана это не влияет на напряжения в отдаленных от этого сечения частях трубы.
При вычислении корней уравнения (8.24), или так назы ваемых собственных значений задачи, целесообразно исполь зовать то обстоятельство, что в уравнении (8.28) безразмер
ная постоянная |
H |
очень |
мала |
по |
сравнению |
с |
единицей. |
|
В этом легко убедиться с помощью .помещенной |
в конце |
|||||||
книги таблицы |
числовых значений |
коэффициента теплопро |
||||||
водности X, если, например, взять в качестве текущей |
||||||||
жидкости |
воду, |
для которой |
|
|
|
|
||
|
Y y . = |
1 0 “ ®кг/см^, |
C f= 1 ккал/кг |
|
||||
и принять |
скорость |
MjceK = |
O,О • IO^ с+ |
час. |
|
|||
Искомые собственные |
значения |
целесообразно пред |
||||||
ставить в виде |
ряда, расположенного по степеням |
Н\ |
||||||
|
(о„а = Р „ + Я т„ + . . . . |
|
|
(8.44) |
||||
|
U),,* = |
^ш„А = |
fepn + |
|
+ |
|
||
|
|
|
|
|||||
где к — отношение радиусов,
(8.45)
Если теперь внести ряды (8.44) в уравнение (8.28) и произ вести разложение в ряды Тейлора, то получим:
H (U (Р,.)+Ят»^о (Р„)+ --HWo (»р„)+АЯтХ (*Р„)+• • • I -
- Х (Р » )+ ^ т Х (Р „ )+ ■--IUoW +
+Ш-г„/о(%)+ ---1) + ио(Р„)+ Ят»-й(Р«)+ ---IX X IWoШ + * Н т Х W + . - -1— Х(Р„) +
+WTX ( P O)+ - - - |
I U o W + W + ...1 = 0. |
Это уравнение должно тождественно выполняться при любых значениях Н. Расположим это выражение по возрастающим степеням H и приравняем коэ(|}фициенты при одинаковых степенях нулю. Приравнивая нулю свободный член, получим уравнение для определения р„:
J, (Р«) No (Лр„) — No (К) JoШ |
= 0. |
(8.46) |
|||||
Корни этого |
уравнения |
известны *). |
|
|
|
|
|
Приравнивая нулю коэффициент при Н, получим урав |
|||||||
нение для определения |
|
|
|
|
|
|
|
Tn (Л ф») No (Лр„) - N, (PJ Jo(ApJ + |
|
|
|
|
|||
+ |
А Wo(PJ N, (APJ — No (PJ Л (АрJ l ) + |
|
|
||||
|
+ |
Л (Pn) No (APJ - |
Л/, (PJ Jo(APJ = |
0. |
|||
Это уравнение можно существенно упростить. Так как |
|
||||||
Л (PJ No (APJ— N, (PJ Уо (APJ = |
|
|
|
|
|||
___ Г^ О ( A P n )___ |
(P n ) 1 г /LQ |
W |
/О \ ___ |
|
|
||
“ [ Щ п ) Т ( р ;х J |
|
= |
|
|
|||
_ |
г A ^o(Pn) |
|
A ^ i ( P n ) / д з |
.J |
0х _ _ 2 _ ^ ( А |
М |
|
" |
[ Уо (P n ) |
|
Jl (P n ) J |
|
|
|
Г |
1) См. таблицы функций Янке и
Л(?„)W.«..) - Wo ф,)J, №?J |
-----. |
||||
ТО п о л у ч а е м |
|
|
|
|
|
|
|
Tu = |
; |
|
(8.47> |
По |
этим |
значениям |
и |
Yn собственные значения |
|
определяю'1Ся при помощи разложения (8.44). |
|||||
Используя |
асимптотические |
формулы для функций Бес |
|||
селя, можно |
получить |
следующее асимптотическое выраже |
|||
ние для |
Yn* справедливое при |
к ^ \ |
и п-*-со'. |
||
§4. Температурные напряжения в толстостенной трубе^ боковые поверхности которой сохраняют заданную
температуру
Обозначим радиусы внутренней и внешней боковых по верхностей через а п Ь соответственно; ось Z примем со впадающей C осью трубы. Пусть температура вдоль напра вления Z переменна и на внутренней поверхности изменяется по закону
T {а, Z) = |
JD C O sm z, |
|
|
ней — по закону |
|
|
|
Т(Ь, Z) = |
д COS тг. |
|
|
Решение уравнения (8.20), |
как |
в § 3 гл. VIII, ищем |
|
в виде |
|
|
|
T = R - Z. |
|
|
|
Однако в этом случае целесообразно заменить |
ш на |
||
так что R будет удовлетворять обыкновенному |
дифферен |
||
циальному уравнению |
|
|
|
dr- ' г dr
а Z — уравнению
Решением дифференциального уравнения для R мы уже поль зовались в главе VI [ср. выражения (6.37) и (6.38)1. Реше ние уравнения для Z имеет вид
Z =ACOS MZ-f- 5 Sin мг,
и таким образом, |
интеграл уравнения (8.20) |
будет |
равен |
|
|
T (г, Z) = |
{Л / о (тг) A^KQ(ш г )} C O S тг. |
( 8 . 4 8 ) |
Решение (8.48) позволяет удовлетворить заданным граничным условиям для температуры. В самом деле, эти условия для внутренней (г = а) и внешней (г = Ь) поверхностей трубы примут вид:
Т(а, Z) =pcosniZ= [AlIQ{мa)-\-A2I<oif>^o■)} COSMZ, Tф, Z) =QCOS MZ= [AJQ{тЬ)-h А^Ка^мЬ)] COSMZ.
Постоянные интегрирования A^ и Az определяются из двух уравнений:
A J Q{та) -|- A^KQ{та) = р,
(8.49)
AJQ{mb)-\- A2KQ{mb) = д.
Для термоупругого потенциала перемещений Ф, который должен удовлетворять дифференциальному уравнению (2.13)
АФ = [ ^ а 7 ( г , |
Z) = |
Ш а [A J Q(ш г) + Л.АГо('« О ) cos niZ. |
-H ' |
■ ' |
1 — н |
ищем частное решение в виде |
||
Ф = |
|
(т г ) — AzRi (т г)) тг cos niZ. |
Легко видеть, что это выражение удовлетворяет дифферен циальному уравнению для Ф, Для этого найдем производ
ные, которые мы в дальнейшем используем для определения напряжений:
= |
ml, (mr). |
= — тК, (тг). |
= |
„=,/„ („г). |
|
dmrK^mr)------- |
I (g SOJ |
|
'= Ю* |/|,(Я1Г)Ц- шг/, (Я1Г)|,
(I-HtrKi (Wr)___
dr-
L= /;^2 [ _ (Wr)I,
Д/о {тг) COS WZ = О, Д/С(, (Wr) cos WZ= О,
^mrIi {тг) COS тг = 2тЧ^ {тг) cos тг,
dktnrKi {тг) COS тг = —2т^Ко {тг) cos тг.
Если при помощи уравнений (8,9) по данному термоупругому потенциалу перемещений Ф определить напряже ния, то окажется, что боковые поверхности, а также и тор цовые поверхности трубы еще не будут свободны от напряжений. Эти напряжения можно снять путем наложения решения, соответствующего уравнению (8.10). Пренебрегая
несущественным множителем |
получаем значения для |
напряжений:
0„ = 2 0 [ Р - Л Ф + | 1 « _ , . « ] ,
, , g g , .
Для того чтобы освободить боковую поверхность от напряже ний, нужно выбрать для L такое решение дифференциального
уравнения |
. . . |
- |
|
у |
которого |
|
|
|
OL |
содер |
|
ДДь = 0. |
производная |
||||||||||
жит |
множитель |
COStnz', |
нетрудно убедиться, |
что |
таким |
||||||
решением будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
L = |
^ |
{5,/о (W r) + |
(W r) + |
|
|
|
|
|||
|
|
|
- W |
|
|
|
|
I |
Sln |
тг |
(8.52) |
|
|
|
r l C i Z i ( W r ) - Са/С, (W r)]) |
■ |
|
||||||
где |
5г, Ci, |
C^- |
-постоянные |
интегрирования, |
|
||||||
щие определению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для краткости введем следующие обозначения: |
|
||||||||||
|
|
и{тг) =иiZo (Wr) -|- U^KQ{тг), |
|
|
|||||||
|
|
U' {тг) = |
UiIi {тг) — U^Ki {тг). |
|
|
||||||
Равенства |
(8.50) дают |
тогда выражения |
для |
производных: |
|||||||
|
|
|
^ |
|
= |
|
|
^U co sm z = |
O. |
||
|
|
|
= |
m^rU, |
= |
WS {и - f U'). |
|
||||
t^mrU' COS тг= 2тЮcos тг.
В этой сокращенной записи
|
Ф = |
тгА'{тг)cos тг. |
|
(8.53) |
|
|
|
|
|
|
|
И для напряж ений |
получаем выражения: |
|
|
||
Orr = G " 2 ^ ^ а |— i4-|- В -|-(1 — 2р)С -]- |
|
||||
|
|
-|- тг {А' |
C') |
~ |
I COS W^:, |
= |
— О а |
{Wr (Л - h C ; - I- В ' H- |
|
|
|
|
|
- | - 2 (1 — 1а)С'} Sinw^, (8.54) |
|||
»** = |
- о 4 ^ 7 “ 1 — 4 + (> - |
Srt C + |
1 |
COS т г , |
|
?«=—о|^«с|2г1+в+?(2—rtc+ |
|
||||
|
|
-|- тг{А' |
С')} COS тг. |
||
Коэффициенты |
н |
в выражении A = A (тг) = A^IQ(mr) + |
|
-\-А 2Ко(гпг) находятся |
из уравнения (8.49); коэффициенты 5 |
||
и С, а именно, |
коэффициенты Bi, Bj и Cj, Cj в выражениях |
||
B = |
B (тг) = |
В,/о (тг) + BjZCo ('"О |
|
C = |
C (тг) = |
C JZQ(Wr) -I-C J ZCO |
|
следует выбрать таким образом, чтобы боковые поверхности были свободны от напряжений. Следовательно, при г = л и г = Ь напряжения'0,^ и о^, должны быть равны нулю. Усло вие V = O в развернутом виде дает уравнение
S . [/. (ШГ) - J l ^ ] + В , [к , («г) + J ^ ] +
|
+ |
С, ((1 — 2|х) /(, (тг) -1- тг/у (тг)] - \ - |
|
|
|
-1- CJ К1 — 2р.) ZCo (^^0 — WrZCi (Wr)] = |
|
||
= |
AiUii (тг) — mrli (тг)] Л, (ZCQ(тг) -|- тгКу (тг)]> |
(8.55) |
||
а |
условие |
о,., = О'ооотве: ствует уравнению |
||
|
||||
В,/, (Wr) — BzKI (тг) 4 - Cl [mrld (тг) -|-
4 - 2 (1 — а) ZJ (Wr)I 4 - Cz [WrZCo (nir) — 2 (1 — р.) X X ZCi (ntr)] = [— A J Q(тг) — ^jZCo (Wr)J • Wr.
Оба уравнения справедливы при г = а и г = Ь, так что для определения четырех постоянных интегрирования Bi, Bj, Ci, CJ имеются четыре уравнения.
Решение допускает обобщение, если на обеих боковых поверхностях температуры заданы произвольно и разложимы
в ряды Фурье. |
|
|
Таким образом, |
пусть |
|
T (а, 2) = 2 |
P WJ COS WZ, Т(Ь, Z) = 2 |
COS WZ. |
WJ |
т |
|
Решая уравнения (8.49) при любом т, получим коэффи циенты Ay^i и Azm- Точно так же, решая для любого т уравнения (8.55), можно получить константы Bi^,, Bj^, Ci^^. CJ,,,. Если, как и ранее, обозначить
= U im k in ir) 4 - UzmKo (W r),
Um = U y J i (тг) — UzmKi. (тг),
ТО ДЛЯ напряжений получаем выражения:
®гг = |
О у |
|
Н” ^in + |
— 2|х)С„,-\- |
|||
|
|
|
+ тг {а '„+ |
С',п) — |
|
1 COS niZ, |
|
«гг = |
— G 1 — |
(^м + |
^-от) |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
2(1 — р)Сда) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(8.56) |
|
X а |
2 |
I |
|
|
|
) |
|
1 — л , „ + (1 — 2ц) С , „ + - |
^ |
I COS тг, |
||||
^ z z = - O 4 |
^ |
а '^{2 А „ ,-\- В,„ + |
2 (2 - |
ц) С„. Ч- |
|||
|
|
|
+ тг {А т + |
с У |
I COS тг. |
||
Концевые сечения трубы не свободны от напряжений. На них действуют касательные напряжения о,., и нормальные напряжения первые по условиям симметрии находятся в равновесии; последние в общем слу-1ае будут давать в на правлении оси трубы убывающую результирующую. Посреа- CTBOM наложения равномерно распределенных нормальных напряжений, результирующая которых равна и противопо ложна по знаку результирующей нормальных напряжений s,,, можно добиться того, чтобы нормальные напряжения, дей ствующие на торцах, также находились в равновесии. Тогда по принципу Сен-Венана влияние действующих на торце напряжений и находящихся в равновесии не будет заметным на некотором удалении от торца. Таким образом получается приближенное решение для толстостенной трубы, у которой вся поверхность свободна от напряжений.