книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями
..pdf■I
Решение, найденное здесь для диска, имеющего форму кругового кольца, в случае тонкого кольца переходит в ре шение для тонкого стержня, которое было найдено в § 6 гл. IV.
§ 4. Температурные напряжения в сплошной круглой пластинке, вызванные источником тепла, находяш,имся в центре пластинки
Пусть радиус круглой пластинки равен Ь\ благодаря источ нику тепла мощностью W, помещенному в центре, пластинке сообщается некоторое количество тепла. Граница г = Ь имеет постоянную температуру 7 = 0 .
Решение уравнения (1.6)
Д 7 = 0 ,
которое должно удовлетворяться всюду внутри пластинки, за
исключением центра |
г = |
0, |
согласно |
(6.4) |
имеет вид |
|
||
|
T = C lo g y . |
|
|
|
|
|||
Уравнение (5.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЧГ = (I _|_Ji)а7 = |
C (1 + |
р) а Iogy |
(6.24) |
|||||
имеет частное решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
>Г = С ( Ц - ^ « ^ Щ + 1 ) . |
|
|||||||
причем постоянная C может быть |
определена из условия, |
|||||||
что через окружность |
радиуса |
г |
должно |
протекать |
коли |
|||
чество тепла W. Согласно |
формуле |
(1.4), |
если 8 означает |
|||||
толщину пластинки, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
= |
— Х^21гг8 = |
С2Хтг8. |
|
|
||||
Отсюда |
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
C = |
* |
|
|
(6.25) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[гл . VI |
Таким образом, |
|
|
(6.26) |
Для напряжений получаем: |
|
, = - 2 0 |
1 dW |
|
SUb г ® г ~ |
|
(6.27) |
Из этих выражений следует, что в точке, где находится точечный концентрированный источник тепла, напряжения
беспредельно возрастают. |
|
|
|
|
|
Для |
перемещений получаем: |
|
|
||
V = O. |
|
|
|
(6.28) |
|
|
|
|
J |
||
Таким |
образом, радиальные |
перемещения |
будут иметь вид |
||
|
U = O при г = О, |
|
|
|
|
|
— |
W |
^ |
при г = |
6. |
|
а = |
|
|||
На |
границе г = Ь получается радиальное напряжение |
||||
|
P = |
|
EaW |
|
|
|
- SXiwS |
• |
|
||
Чтобы его снять, необходимо наложить второе напряженное состояние, которое соответствует всестороннему равномер ному растяжению и для которого
= O = - P , |
= |
О, |
рг> |
V = |
O. |
Окончательные выражения для напряжений и перемеще ний даются формулами:
^ rr = вгг + °гг. _ |
О,у + |
и = U-I-U'.
§5. Температурные напряжения в полуплоскости, вызванные источником тепла, помещенным
|
|
|
|
|
на расстоянии а от границы |
|
|||||||||
Определим |
распределение |
температуры |
в полуплоскости |
||||||||||||
|
О, |
если |
|
в |
точке |
х = |
а, |
у = |
0 находится |
источник |
|||||
тепла мощностью |
W (рис. |
10). Граница д: = |
0 имеет постоян |
||||||||||||
ную температуру |
TQ. Не теряя общности, |
мы можем принять |
|||||||||||||
TQ= |
O. Толщину пластинки примем равной о. Чтобы получить |
||||||||||||||
искомое |
решение, |
исполь |
|
|
|
|
|
||||||||
зуем прием, часто применяе |
|
|
|
|
|
||||||||||
мый |
в |
теории |
потенциала. |
|
|
|
|
|
|||||||
Дополним полуплоскость до |
|
|
|
|
|
||||||||||
полной плоскости и в точке |
|
|
|
|
|
||||||||||
х ~ |
— а, |
у = |
0 |
поместим |
|
|
|
|
|
||||||
сток, равный по интенсивно |
|
|
|
|
|
||||||||||
сти |
источнику |
в |
|
точке |
|
|
|
|
|
||||||
X = |
а, |
у = |
0. |
Тогда |
|
из |
|
|
|
|
|
||||
условий |
симметрии |
сразу |
|
|
|
|
|
||||||||
видно, что, |
как и требуется, |
|
|
|
|
|
|||||||||
температура |
вдоль |
границы |
|
|
|
|
|
||||||||
X = |
O равна |
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так |
как |
для |
точечного |
|
|
|
|
|
|||||||
источника |
тепла |
(см. |
§ |
4 |
|
|
|
|
|
||||||
гл. VI) температура |
пропор |
|
|
|
|
|
|||||||||
циональна |
логарифму |
рас |
|
|
|
|
|
||||||||
стояния |
|
соответствующей |
|
|
|
|
|
||||||||
точки от |
источника |
тепла, |
то |
температурное поле, вызван |
|||||||||||
ное |
источником |
тепла, |
находящимся |
в положительной полу |
|||||||||||
плоскости, |
определится |
выражением |
— ClogTj, а поле, вы |
||||||||||||
званное |
равным |
по величине стоком в отрицательной полу |
|||||||||||||
плоскости,— выражением |
CIogГ2. |
Произведя |
наложение, |
||||||||||||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
T-= Clog^-J, |
|
|
(6.29) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
'-I = |
Z l J C - о |
|
) |
= |
U |
TJ = |
Z(JC -I-O)*-!-/ |
||||||
Смысл этих величин ясен из |
рис. 10. |
|
|
||||||||||||
|
Величина C определяется через мощность |
|
|||||||||||||
тепла так |
же, |
как |
i |
|
§ |
4 1 |
|
VI. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = |
2^716 ■ |
|
|
(6.25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поэтому, как и прежде, термоупругий потенциал переме щений вызванный источником в точке х = а, выразится согласно формуле (6.26):
= _ ( 1 + 1.) а г? ( Og г. — 1) = - Л)г! (Iog г, — I).
Выражение для Ч' при |
наличии стока в точке х = — а будет |
|||
иметь вид |
|
|
|
|
= ( И |
- 1*-)« |
''2 |
'■г— 1) = |
(Iog Гг— 1). |
Складывая, |
находим |
|
|
|
у = V , + ip, = M 1л| (!Og г ,— 1) — г? (Iog г, - 1 )1, (6.30) |
||||
|
|
|
8- е т - |
(«-31) |
Для определения напряжений необходимо найти производные от функции Ч* по координатам х\л у . Выпишем, прежде всего,
производные от |
и Iogrji |
|
|
|
дгч |
JC-I-A |
<ЭIogTa |
(JC+ |
д) . |
^JC |
Га ' |
^JC |
'‘г |
* |
^To__у^ |
^IogTa___ |
|
||
ду |
Га ' |
ду |
г \ ' |
|
-¾^ = Ж (л:+a)(21og/•,— 1),
. ( ! О , . ,
Производные по у получаем заменой х~\~а иг у\
^ = Л^^(21ogr,— 1).
^JC ду
§5 ] |
65 |
Соотиетстиующие производные от U*"! получим, если подста вим г., вместо Гу, — а вместо + а и — M вместо + Ж . Таким образом, после умножения на — 20 из уравнения (5.16) получаем:
*ауз -
(6.32)
= — 4Ж0 Tiog
Это |
решение удовлетворяет |
граничному условию 3а;а, = 0 при |
||||
JC= |
O, |
так |
как здесь Гу = |
г^, |
но напряжение |
которое |
при |
д: = |
0 |
должно обращаться |
в нуль, принимает значение |
||
2ау
о _ = 40Ж -^г-г-^
Следовательно, на полученное решение следует наложить решение, принимающее при Jc = O граничные значения
„ = — 40Ж - |
2ау |
. = 0 |
(6.33) |
^2 + 3,2 |
и не имеющее особенностей в полуплоскости Jf > 0. Это решение можно получить следующим образом. Пусть в начале координат Jf = O, JZ = O в направлении отрицательной Ocnjz действует касательное усилие Р, отнесенное к единице тол щины пластинки, причем остальная граница Jc = O свободна от напряжений. В этом случае функция напряжений Эри из вестна и имеет вид
P |
. У |
X = - — |
X^TCtg |
Если же на границе в точке с ординатой V прикладывается бесконечно малая сосредоточенная сила
dP = - AGM 2atz dV,
то функция Эри примет вид |
^ У— ® d V . |
d F |
Отсюда для совокупности касательных напряжений, прило женных в пределах от — схэ до - |- о о , путем интегрирования по dV получим
|
|
+OO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ^ 4 0 М ? ^ f J J ^ a r c t j T - |
|
- d V = |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6 .3 4 ) |
На |
рис. 11 |
показана полуплоскость |
х >> О, |
|
на |
границе |
|||||
X = O |
которой |
приложены в точках у = |
V |
и у = |
~— V силы |
||||||
|
|
dP = |
- |
4 0 M -а2+ |
»2r d V . |
Чтобы оп - |
|||||
|
|
ределить |
интеграл |
(6 .3 4 ), |
заметим, |
||||||
|
|
что |
подынтегральное |
|
выражение |
||||||
|
|
является мнимой частью функции ком |
|||||||||
|
|
плексного переменного |
|
Z = |
х - \ - i y |
||||||
|
|
« 2 -J- |
[Iog ( Z - I V ) — Iog (Z -I-IV )I. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответственно |
|
этом у |
F |
предста |
|||||
|
|
вляет |
собой |
мнимую часть ф ун к |
|||||||
|
|
ции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = I F - I - // ? = |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= 4 |
0 |
Л |
1 |
? |
^ |
/ ^ |
Х |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
Ilog (Z — |
(V ) — Iog (Z -I - Iv)) d V . |
|||||||
Этот интеграл мы вычислим путем дифференцирования по параметру Z под знаком интеграла, т. е. определим сначала diiд?--. Полагая
£ . . |
________ 1 \ |
|
а2-|-ч® |
2 \а — Iv |
a^-{~lv) |
^ Iog(^d=Zv) |
I |
dZ |
Z dttV* |
путем дифференцирования подынтегрального выражения по Z
найдем
^ = - 4 0 М |
J q L j) d*. |
О
Теперь нетрудно выполнить интегрирование по частям. Имеем
t = -
причем это выражение вычисляется в пределах от О до со. Вследствие того, что
Iim |
1 о & ^ ± ^ - |
» -> О) * |
*” |
|
«.>св |
‘’ а — ZV- |
|||
получаем |
|
|
|
|
|
OZ |
4 0 Л 1 — - ^ = 4 0 ^ - ¾ ^ . |
||
|
|
«« лл+ аа “ |
г-\-а |
|
Интегрируя по dZ, получим
Q = W -^ iF = 4GM2axllog(z-^a),
Мнимая часть функции Q представляет собой искомоерешение:
4 0 М 2 а х Jog / ( Г + о р + У *= ^0М 2ах Iogrj. (6.35)
Таким образом, для налагаемых напряжений получим:
ду* - |
П |
|
—^(^с + 2а) + 2дгу2
Г»
Окончательные напряжения находим в виде сумм:
^ х я ~ ° х х ~ \ ~ ° х х ' |
°ьа' |
‘^ху — °ху~ \~^ ху |
||||
Требуемые |
граничные условия |
теперь |
удовлетворены. |
|||
Действительно, |
при х = 0 |
обращается |
в нуль, |
так как |
||
и °хх здесь равны нулю, а |
= |
0. потому что |
= — а |
|||
при д; = 0. |
|
|
|
|
|
|
§ 6. Температурные напряжения в круглой пластинке при*постоянной температуре границы г = Ь
и при наличии потери тепла на поверхности
Для решения этой задачи используем дифференциальное уравнение (5.20), принимающее в полярных координатах вид
дг^ ' г дг ' /-2 (?<р2
При радиальной симметрии % не зависит от <р и вместо дифференциального уравнения в частных производных имеем обыкновенное уравнение
rfrS ' г dr^- |
(6.37) |
|
Решения этого уравнения хорошо известны; это — цилин дрические функции нулевого порядка от мнимого аргумента. Мы обозначим их 1^{тг) и Ко{тг)^).
1) Функции / и Л связаны с функциями Joilx) и /Яд(/ж),
—Uiilx) и —Я^(/дг), протабулированными в известных таблицах Янке и Эмде, следующими соотношениями:
^ (JC) = /о (/JC). |
Ко (JC) = / у Hl Их), |
А iX) = - Ui Их), Ki (JC) = - Y Н \ Их).
вдальнейшем нам потребуются производные
а^dr^ - ш К Л т г ) .
|
|
|
|
|
(Phimr) |
|
|
(6.38) |
||
|
|
|
|
|
dr- |
|
|
|
||
При |
г - > 0 |
|
I n |
|
К |
|
принимают |
следующие |
значения: |
|
h (гиг) = |
1, |
Ко itnr) = |
— Iog г, |
|
||||||
h (м О = |
0. |
|
Ki (Wr) = |
^ |
, |
|
||||
H при |
г~^оо: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
h {тг) = |
оо, |
|
Ко Qnr) = |
О, |
|
||||
|
Ii(^mr) = |
OO, |
|
Ki (тг) = |
0. |
|
||||
Так как температура внутри пластинки |
|
|||||||||
О |
^ |
должна |
оставаться конечной, |
|
||||||
то решение, содержащее Koipir), исклю |
|
|||||||||
чается. Принимая |
во |
внимание граничное условие S = T при |
||||||||
г = Ь (рис. |
12), |
|
получаем |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
^ = |
¾ |
- |
(6-39) |
При этом для |
напряжений получаются следующие значе- |
|||||||||
|
|
^ |
^ |
|
Iri^ |
г dr |
|
himb) тг |
’ |
|
, = - |
20(1 + |
|
, ) |
^ |
^ = |
|
|
(6.40) |
||
Однако граница г = Ь при этом еще не свободна от напряжений; чтобы освободить ее от нормальных напряжений.
на полученное решение следует наложить всесторонние растягивающие напряжения
п — я _ |
Л (т&) |
Окончательные выражения для напряжений получаются в ви
а |
А -а — |
ГЛ(>я^) A(Wr)I |
гг — "гг-1- °гг — |
\ • |
|
[ (6.41)
Нетрудно показать, что перемещения однозначны. В самом деле, так как термоупругий потенциал перемещений '1* про
порционален Z, то перемещения U u v пропорциональны ^
и, и оба эти выражения однозначны. Перемещения же,
соответствующие всесторонним |
растягивающим напряжениям, |
|||
также однозначны. |
|
|
||
Количество тепла, которое должно равномерно подводиться |
||||
вдоль границы пластинки г = |
Ь для того, чтобы на границе |
|||
поддерживалась |
температура |
Г, составляет) при |
г = Ь по |
|
уравнению |
(1.4) |
|
|
|
г |
= |
2гХ^5 f . = |
. „ Л (Иб). |
(6.42) |
Мы можем теперь так же легко видоизменить задачу, задав на границе вместо температуры T количество тепла W, подводимое вдоль границы. Из уравнения (6.42) получаем:
|
T = W - |
Щ Ь ) |
(6.43) |
||
|
2\-хЬтЫх(тЬ) ' |
||||
Подставляя |
это значение |
T в |
выражения |
для напряжений, |
|
приходим к |
равенствам: |
|
|
|
|
|
EaW |
Г 7| {тЬ) |
(отг) 1 |
|
|
~ 2\-ялтЫх {тЬ) V |
тЬ |
тг \ ' |
|
||
|
EaW |
|
|
H— |
A(Znr)I |
■ 2\1АтЫ-^ (Ttib) LтЬ |
' |
||||