книги / Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях

не могут одновременно появиться в результате опыта. Можно доказать, что вероятность суммы двух событий равна

Р(А + В) = Р(А) + Р{В)-Р(АВ) .

Если событие А и В несовместны, то

Вероятность произведения двух событий равна

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) =* Р(В)Р(А/В) ,

где Р(В/А) —вероятность появления события В при условии, что прои­ зойдет событие А ( условная вероятность). Для независимых событий

А и В:

Эти формулы легко обобщаются на случай любого числа событий. Перейдем теперь к одному из важнейших понятий теории вероят­

ности - понятию случайной величины. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значе­ ние, причем неизвестно заранее, какое именно [9]. Случайная величина, принимающая отделенные друг от друга значения, которые можно про­ нумеровать, называется дискретной (прерывной). Если возможные зна­ чения случайной величины непрерывно заполняют какой-то промежуток, то она называется непрерывной случайной величиной.

Законом распределения случайной величины называется всякое соот­ ношение, устанавливающее связь между возможными значениями слу­ чайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретных случайных величин простейшей формой задания за­ кона является ряд распределений в виде таблицы, в которой перечис­ лены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности

Для непрерывных случайных величин ряд распределения построить невозможно, в этом случае пользуются более универсальной характерис­ тикой (применимой как для дискретных, так и для непрерывных случай­ ных величин) - функцией распределения, которую иногда называют ин­ тегральным законом распределения, выражающей вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем х :

Функция F(x) - неубывающая функция

F ( - «) = 0; /*’(+«>) = 1.

101

Рис. 27. Вероятность попадания случайной ве­ личины X в интервал от а до 0 (площадь заш­ трихованной области)

Для непрерывных случайных величин пользуются также законом распределе­ ния в виде плотности вероятностей или дифференциальным законом распреде­ ления (рис2S)

При помощи функции f(x) можно выразить вероятность попадания вели­ чины X в бесконечно малый интервал х < X < х + dx (рис. 26)

Р( х < Х < х + dx)=f(x)dx

ивероятность попадания величины X в интервал от а до 0 (рис. 27)

Закон распределения полностью описывает случайную величину с вероят­ ностной точки зрения. На практике, однако, такая исчерпывающая харак­ теристика не всегда может быть получена из-за ограниченности экспери­ ментальных результатов. Кроме того, часто нет необходимости характе­ ризовать случайную величину полностью, исчерпывающим образом, достаточно бывает указать числовые параметры, характеризующие су-

102

щественные черты закона распределения, например какое-то среднее значение, разброс значений относительно среднего и тл . Приведем не­ которые из них.

Математическим ожиданием случайной величины X называется ее среднее значение, вычисляемое с помощью выражений:

Случайная величина X = X ~тх называется центрированной. Дисперсией случайной величины X называется математическое ожи­

Положительное значение квадратного корня из дисперсии называется средним квадратичным отклонением или стандартом

°Х = • (П.9)

Начальным моментом Аг-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание £-й степени этой случайной величины

оск[Х)=М[Хк].

Центральным моментом х-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание А:-й степени центрированной случайной вели­ чины X

цк[Х ]= Щ Х к].

Формулы для вычислений o*[Jf] и ^ [ Я -] имеют следующий вид [9]:

103

Видим, что математическое ожидание случайной величины X есть ее

первый начальный момент, а дисперсия - второй центральный. Полезно знать соотношения между начальными и центральными моментами [9]:

д2 = а2 ~ а?;

Дз = аз - 3а2а, + 2а?;

На = 0 4 -4a3ai + 6а2а? -З а ,.

Другими часто применяемыми числовыми характеристиками случайных величин являются асимметрия и эксцесс.

Асимметрия (скошенность) определяется по формуле

Для нормального распределения эксцесс равен нулю. Если кривая плот­ ности вероятностей имеет более острую и высокую вершину, чем кривая нормального распределения, то эксцесс положителен, если более низкую и пологую, - отрицателен. На практике часто используют также коэф­ фициент вариации случайной величины

При решении практических задачприходится иметь дело с системой свя­ занных между собой случайных величин.*Гогда функцией распределения

F (xi, x 2,...,xn) = P[(Xl < x t )(X2 < х ^) ......(Х„ <*„)].

Плотность распределения в этом случае будет

Эл Л * » -* ’ ......* " ) = Эх, Эх2~ Э х / **1’ * 2....... * л ) -

Функция распределения / г,(х,) одной из величин X/ получается из F(x t ,

...........х „ ), если положить в ней все аргументы, кроме х,-, равными + °°,

Fi(Xi) = F( + °°, + - , . . . , х , , ..., + - ).

Плотность распределения отдельной величины Х( выражается формулой

—oo —<*>

Если случайные величины X t ,..., Xn независимы, то / ( x , , x 2, ....x„) = / , (x, )/2 (x2) .../„ (x„).

104

Вероятность попадания случайной точки (Лг1, Х„) в пределы л-мерной области D выражается л-кратным интегралом

......X n) E D ] = ......x„)dXl ...dxn.

Для характеристики связи между двумя составляющими системы слу­ чайных величин Х{ и X/ служат корреляционные моменты:

КХ{Х/ =M[XjXj] = £ (х(- m Xj)(xi - m Xj)f(xu xfrdxjdxj.

При отсутствии СВЯЗИ KXjJ[f = 0.

Матрицу, составленную из этих моментов, называют корреляционной матрицей

Х \\К п —К1я

IIK//II = Х21Х 22— К-2П

*Л1ЛЛ2 — “ ПИ Корреляционная матрица является симметричной, т.е. Ку = Кц,

ее диагональные элементы равны, очевидно, дисперсии соответствующих случайных величин.

В практических приложениях часто приходится решать задачу нахож­ дения законов распределения и вероятностных характеристик функций случайных аргументов.

Если X —непрерывная случайная величина с плотностью распределе­ ния f(x), а случайная величина Y связана с ней функциональной зави­ симостью

причем Iр - дифференцируемая, монотонная на всем участке значений аргумента функция, то плотность распределения случайной величины Y выражается формулой

10S

плотность распределения будет

называется в этом случае композицией законов распределения слагае­

Если по условиям задачи достаточно знать числовые характеристики слу­ чайной величины У = \р ( X ) , то они могут быть найдены непосредственно по закону распределения случайной величины X без определения закона распределения случайной величины У. В частности [9],

Для системы п непрерывных случайных величин (A^, ..., Х„) с плот­ ностью /(* ,, ..,х„) и для У = <р(Х1г ...,Х„) :

106

В настоящее время используют большое число теоретических законов распределения случайных величин [19, 22, 24, 38, 39, 40, 43, 44, 45]. Приведем важнейшие сведения об этих законах.

1. Нормальное распределение (рис. 28) (часто называемое гауссов­ ским) играет исключительную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающееся на практике распределение. Даже в тех случаях, когда распределение заведомо не является нормальным (например, для механических характеристик материала, которые всегда положительны), им нередко пользуются для приближенной замены реальных законов распределения, так как усечения обычно невелики. Кроме этого, если случайная величина распределена нормально, то распределение остается нормальным и после линейного преобразования случайной величины (включая операции дифференцирования и интегрирования).

Плотность вероятностей и функция распределения нормального рас­ пределения определяются формулами

Вероятность попадания случайной величины X, подчиненной нор­ мальному закону, в интервал от а до 0 определяется с помощью табули­ рованной нормальной функции распределения [9]

Р ~ т Х ч

Р (а< Х < 0) = Ф( „ - ) - ох

а -от,

Ф(-д:) = 1 - Ф (х ) . Пользуясь выраже-

Рис. 28. Нормальное распределение

107

нием (П.31), легко подсчитать вероятность попадания случайной вели­ чины в интервал

Р(тх - ах < Х <тх + ах ) = 0,6826,

Р{тх - 2ах < Х < т х + 2ох) = 0,9546;

Р(тх -Зох < Х < т х + Зах) = 0,9972.

Это значит, что для нормально распределенной случайной величины все рассеивание (с точностью до долей процента) укладывается на участке т ± За. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен в математической статистике под названием правило ’’трех сигм” (рис. 29).

Для нормального распределения

дз = 0 ; iu = 3o%;Ax =

Sk = 0; Е = 0.

2. Усеченное нормальное распределение (рис. 30). Так как часто физические случайные величины меняются в ограниченных пределах от X ] до Х 2, то часто для их описания используют усеченное нормальное распределение. Плотность распределения и функция распределения кото­ рого имеют вид [38]

тх и ох - математическое ожидание и дисперсия исходного неусеченного нормального распределения-

Математическое ожидание и дисперсия усеченного нормального рас­ пределения равны [38]

108

3. Логарифмически нормальное распределение

Неотрицательная случайная величина X распределена логарифмичес­ ки нормально, если ее логарифм Z = IgX подчиняется нормальному закону распределения (рис. 31).

Закон ее распределения имеет вид [38]

ное отклонение случайной величины Z = IgA!1. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны [38]:

109

Рис. 31. Логарифмически нормальной распределение

При малых аг логарифмически нормальное распределение близко к нормальному. Поэтому при а2< < 0,1 ... 0,13 возможна приближен­

Иногда в логарифмически нормальном распределении используют натуральный логарифм случайной величины X. В этом случае во всех формулах десятичные логарифмы меняют на натуральные, а величину М л считают равной единице. Для логарифмического нормального распре­ деления коэффициент вариации, асимметрия и эксцесс имеют вид

Е= (еа* - 1)(е3а* + Зе2а* + 6еа* + 6) .

4.Равномерное распределение (рис. 32) определяется выражениями:

110