книги / Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях
..pdfРис. 1. Зависимость относительных размеров поперечного сечения от гауссовского уровня надежности у.
1 - A R = A Q = 0,1; 2 - A R = Aq = 0,2; 3 - AR —Ад ~ 0,316
Рис. 2. Зависимость относительных размеров поперечного сечения от изменения несущей способности AR (а), нагрузки Aq (б) и наг рузки Ад и несущей способности AR при
постоянном значении у (в ):
1 _ R/F* = f (4 q) при AR = 0,1; 2 - F/F* =
=приЛ^ = 0,1
ентов вариации AR и A q невелики, то их квадратами, умноженными на у2, можно пренебречь по сравнению с единицей. Тогда получаем прибли женную формулу
т в |
( 1.21) |
к = --------------. |
|
mff(l + 7 STAR |
+ A q) |
При проектировании конструкций заданной надежности по жест кости Для случая нормального закона распределения нагрузки можно,
учитывая, что Н = Ямд. |
из (1.6) получить формулу для расчета К*: |
Н^здд |
(1.22) |
К* = |
|
tnq + yoq |
|
Пример.
Круглая пластина радиусом 1 м нагружена в центре сосредоточенной силой, величина которой случайна и распределена по нормальному закону (тр = 5000 Н; ор = 500 Н). Концы пластины защемлены по всему контуру. Надо так подобрать толщину й, чтобы надежность пластины пс жесткости равнялась 0,9962. Известно, что с вероятностью HR = 0,9986 случайный модуль Е > 2 ■10" Па. Случайный раз
брос толщины |
пластины следует учитывать с доверительной вероятностью HR — |
|
е 0,9986, т.е. |
А = 0,999. Пусть |
= 0,5 • 10*1 м; Я* = 2 • 10" Па. Для |
Я = 0,999 у -- ЗД. По формуле (1.22) |
|
|
11
r . ± |
£ |
L . |
763 • 10'* |
м |
|
I P |
|
||||
|
5000 + 1550 |
|
|
||
По [2] a* = 0,2174, тогда |
|
|
|
||
А = з /Н ^ Г |
- »М |
2174 • 1 • 1()Г |
= 1,13 ■10 -1 м. |
||
V |
ЕК* |
V ~ 2 • ю 11 -763 |
|
|
|
При принятых в примерах условиях по случайному разбросу толщины имеем
Л'ном ~ 1>26 * 10-* м. Таким образом, искомая толщина пластины равна (1,26 ±
± 0,13) • 10-* м.
Для задачи проектирования конструкции заданной надежности по устойчивости в случае нормального закона распределения нагрузки для уровня <7кр, определяющего заданную надежность, можно получить
<7кр = + УОч . (1,23)
Зная <7кр, легко найти размеры поперечного сечения, которые обеспечат заданную надежность по устойчивости.
Пример.
На круглую пластину радиусом 1 м действуют сжимающие радиальные нагруз ки, равномерно распределенные по контуру, которые представляют собой слу чайную величину с нормальным законом распределения. Края пластины свободно оперты по контуру. Надо так подобрать толщину пластины А, чтобы ее надежность
по устойчивости Я зад = |
0,9958. Кроме того, известно, что т„ = 2-10* Н/м; oQ = |
= ’2 • 104 Н/м; д = 0,3; |
с вероятностью НЕ = 0,9986 Е > 2 • 10“ Па. Учет случай |
ного разброса толщины пластины следует проводить с доверительной вероятностью
Hh = 0,9986, |
т.е. Нзаа/НЕНИ = |
0,9986. Для И = 0,9986 |
у |
= 3. По (1.23) |
|
?кр = 2 • 105 + 3 • 2 ■104 = 26 • Ю4 Н/м. |
|
|
|||
По найденному qKp определим толщину А (2] |
|
|
|||
/Якр • 12(1 -мя)г*' |
_ |
/26 Ю4 12(1-0,09) 1 |
|
1,84 ' 10 -’ м. |
|
' ~ * |
КпгЕ |
~ * |
0,425 • 3.141 • 2 • 10м |
” |
|
При принятых в предыдущих примерах условиях по случайному разбросу толщины имеем АНОм = 2,05 • 10"1 м. Таким образом, искомая толщина пластины будет (2,05 ± 0,21) ■10 -J м.
1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА В НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ
При решении задачи нахождения надежности элемента конструкции приходится искать вероятность события R - S > 0. В связи с этим необ ходимо знать законы распределения несущей способности R и напряже ния S. Обычно законы распределения R и нагрузки q бывают заданы, а закон распределения напряжения S определяют по известному закону распределения нагрузки q, т.е. f 3 (q) известен. Необходимо найти / , (S), если S — Kq.
12
По правилам нахождения закона распределения функции случайного аргумента в нашем случае имеем
/ . ( $ ) = |
/*з ( ^ ) • |
|
|
(1.24) |
|
|
|
|
|||
Рассмотрим частные случаи законов распределения нагрузки q. |
|||||
1. Нормальный закон распределения |
|
||||
/з(<7) = |
•ехр[- |
(<? ~mq f |
|
||
|
]• |
|
|||
|
VTiro, |
2ol |
|
||
По (1.24) получим |
|
( — ~mqY |
|
||
|
|
|
|
||
/,(■ * ) = |
езф[- |
К |
] = |
||
2оА |
|||||
-К yf2Woa |
|
||||
|
|
(S -Kmq)2 |
|
||
|
ехр[- ---------- 2__ ], |
|
|||
y/TW (Коа) |
2 (Koqf |
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
1 |
(S - те)2 |
|
||
/ . ( S ) = |
•ехр[- |
|
, * -■ ]• |
|
|
|
\/T 7ras *' |
2a£ |
|
||
Таким образом, получили нормальный закон распределения с пара* метрами
ms = Kmq \ os = Kaq.
2. Равномерное распределение
/з(<7) = |
! |
(1.25) |
6 - а |
|
|
|
|
|
Соглас»но (1.24) получим |
|
|
fi(S) = |
1 |
(1.26) |
КЪ-Ка |
||
Следовательно, опять имеем равномерное распределение, но с параметра ми КЬ и Ка.
3. Гамма-распределение
/з(<7)= |
------- Ь Г Г ^ 36" ^ 3- |
|
a3 ! Р?3 + 1 |
По (1.24) получим
1 |
S |
1 |
|
|
(1.27) |
Снова получили гамма-распределение, но с параметрами |
|
|
Pi |
~ К0з \ о<1 = а з . |
(1.28) |
4. |
Экспоненциальное распределение |
|
/з(<7) = Хзе_Хз ^ - « о ) . По (1.24) получим
fi(S) = |
р- Хзе-Хз (-slK ~e>o)>отсюда |
|
|
|
||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
/,( S ) = X,e_x>CS-S0)s rfle Х ,= Х 3/К- S0 = Kq0, |
(1.29) |
|||||||
т.е. опять зкспоненциональный закон, но с параметрами |
|
|||||||
X] = ^з/ |
So = ^*7о ■ |
|
|
|
|
|
|
|
5. Распределение Вейбулла |
|
|
|
|
|
|||
/з 0?):>= ‘~ - (< 7 - 7 з )Дз"1 |
ехр[- |
|
|
,0з |
|
|
||
(Я-Уз)1 |
|
|
||||||
|
аз |
|
|
|
а3 |
|
|
|
По (1.24) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а3 |
] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ &3 ( S - K y 3) ^ ~ l _ _ r |
( S - K y J 3 , |
|
|
|||||
“ |
' |
p[ |
— |
к™ a3 |
b |
|
|
|
7 K |
— |
|
|
|||||
т.е. снова получили закон Вейбулла |
|
|
|
|
||||
/ ,( 5 ) = |
A (S - 7, У3' ~1 ехр[ - — |
1 -'- - - ] |
|
(1.30) |
||||
|
ai |
|
|
|
aj |
|
|
|
с параметрами
а, = К&3 а3\ у, = Ку3; 0, =03.
б. Распределение Релея
/з 07) = |
—?j-exp[ - |
~я7 ]. |
(1.31) |
|
а3 |
2а з |
|
Согласно (1.24) |
2 |
|
|
|
|
|
|
fi(S) = |
- ^ - r e x p [ - - =L - r |
]. |
|
|
ККа\ |
К г 2а\ |
|
Следовательно, получили распределение Релея
14
л е я » - 4 - « ч ( - 4 т ] |
(1.32) |
|
«I |
2e j |
|
спараметром ax = Ka3.
7.Логарифмически нормальное распределение
„-«1/2
/з(<7) =
a*3<7 ч/ТтГ
tag -Inflo где и3 = — — — •
oZj
Если S = ЛГ<7, то
1ш/ = InS1пК; 1ш7о = 1п50 - 1пЛГ; oZj = oz, ,
так как дисперсия неслучайной величины равна 0 (где z, = lnS).
|
|
|
|
|
1* |
|
|
Следовательно, Л (S) = |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
К <7Z j £ V 2 я |
|
|
Это логарифмически нормальное распределение |
|||||||
/ , ( 5 |
) = |
-------- |
1 |
= |
* -" i/2 |
|
|
|
|
oz ,S |
>/27Г |
|
|
|
|
с параметрами |
|
|
|
|
|
||
|
In5 ■h$o |
°2] |
~ °2г- |
|
|
||
и 1 = ------------ |
|
|
|||||
Сравнивая выражения для и , и и3, видим, что они равны |
|||||||
bhS - ЬъУ0 _ |
1ш? + |
\пК - bq о ~ \пК |
_ |
Inq - Inqo |
|||
а2 j |
|
|
|
а2 j |
|
° г 3 |
|
Таким |
образом,/з (<7) и /| (5) идентичны. |
||||||
8. |
Распределение наибольших значений |
||||||
М Я ) = |
i - e x p [ - 2 _ 3 - e x p ( - ? |
■аз |
) ] • |
||||
|
|
|
|
|
0з |
|
|
После преобразований по (1.24) для напряжений S = Kq получим
/ , (5) = J . e x p [ - i ^ L - ех р (- )] ,
где 0t = К0з ; а! = Ка3.
Снова получили распределение наибольших значений, но с параметрами
0 1 , a l -
р.Распределение наименьших значений
/з ( , ) = - 1 ехР[ ^ - е х р ( ^ 2з ) ] .
15
Аналогичные преобразования снова дают для напряжений такое же рас пределение
/ , ( « ) - £ e * [ ^ - e x p ( ^ ) ] ,
но с параметрами 0, = ; а, = Каг .
Следовательно, для всех наиболее употребляемых на практике за конов распределения линейные преобразования случайных величин вида S = Kq не меняют закона распределения, изменяются лишь его пара метры.
1А. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ЗАДАННОЙ НАДЕЖНОСТИ ПО ПРОЧНОСТИ ПРИ ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРУЗКИ
И НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ, ОТЛИЧНЫХ ОТ НОРМАЛЬНОГО
Законы распределения нагрузки и несущей способности могут быть самыми различными. Поэтому в общем случае не всегда удается полу чить простые формулы для определения К, подобные полученным для случая нормального закона распределения. Но в ряде случаев для некото рых комбинаций законов распределения нагрузки и несущей способ ности это удается.
1. Нагрузка и несущая способность подчиняются экспоненциальному закону.
Для законов распределения имеем
/з (Я) = *з ехр[ -Х3 (q - q0) ]; /2 (Я) = Х2 ехр[-Х2 (R - Л 0) ].
Так как S = Kq, то закон распределения напряжений S будет иметь вид
ft (^ )= exp[-Xi (S -S 0)], где Х| = Хз/ЛГ; So — &Яо-
Тогда для определения надежности можно использовать уравнение (1.4)
Н = |
J f2 m |
J ft (S)dS]dR. |
||
|
- |
00 |
- во |
|
Поскольку |
|
|
||
J /,( S ) d S = |
J /, (S)dS = |
J X1ex p [-X ,(5 -5 „)]J5 = |
||
|
|
|
So |
S0 |
= |
1 -exp[-X , (Л - S 0)], |
|
||
TOH= |
J |
X2exp[-X2 (R - f i0)] |
-exp[-X , ( R -S 0)]|dR = |
|
16
= Х2ехр(Х2Л 0) J e x p ( - \ 2R ) d R -X2exp(X2/?0 +
* o
+ Xi50) J exp[- (X, + \ 2)R]dR = 1 - |
r - ^ r - exp[-X, (Л0 -S 0)J. |
R0 |
K2+ A, |
Подставив вместо X, = \ 3/K и S0 = Kq0, получим для надежности сле дующее уравнение:
я = 1 - ^ т ^ ехР ( ^ о - |
<1 3 3 > |
которое любым приближенным способом можно разрешить относитель но К. При графическом решении уравнение (1.33) удобнее представить в виде
( 1 -Я ) (1 + —ехр(Х3<70 - —-£ —)■
Зная К, по табл. 1.1 легко определить размеры поперечного сечения эле мента конструкции.
Для частного случая, когда q0 - Ro —0, решение можно получить в замкнутом виде. В этом случае по (1.33)
отсюда имеем
К = |
. |
(1.34) |
Ajn
В безразмерной форме, обозначив п = mR/Kmq\Aq = oqlm q\A R = oR/mR, для H будем иметь
|
1 |
-Aq - n (l |
- A r ) |
|
Н = 1 - Aq + nAR eXp[------- |
'i— ------------ |
]. |
(1.35) |
|
Здесь было учтено, что |
|
|
|
|
mR — Ro + 1/^2; |
oR — 1/X2; |
|
|
|
mq = q 0 + 1/X3; |
aq = 1/X3. |
|
|
|
Теперь можно для различных сочетаний AR и Aq построить графики п = = /( Я ) , которыми можно пользоваться при расчетах.
Формула (1.34) в безразмерной форме будет выглядеть следую щим образом:
- Д - . |
(1.36) |
17
Рис. 3. Схема нагружения сферического ку пола распределенной нагрузкой
Пример*. |
|
|
|
|
|
Сферический купол радиусом г = |
|
1 м |
|||
нагружен давлением |
q, |
величина |
кото |
||
рого |
случайна с экспоненциальным |
за |
|||
коном |
распределения, |
у |
которого |
\ |
— |
—' 5,75 1/МПа, qt — 2 МПа. Кромки купола шарнирно оперты на упругое опорное кольцо (рис. 3 ). Материал оболочки и кольца одинаков, его несущая способность случайна с экспоненциальным законом распределения, у которого X, = 0,03 1/МПа, Л» = 300 МПа.
Необходимо найти толщину оболочки А и площадь поперечного сечения опор
ного кольца, чтобы надежность была 0,99. |
|
Для приведенных параметров тц -- 333,33 МПа, mq = 2,174 МПа, |
-- 0,1, |
Aq = 0,08. По построенным графикам п = f{H) берем на кривой (для Aq = 0,08 и AR —0,1) значение л, соответствующее надежности Н —0,99- Оно равно 1,35.
Тогда К = |
И/} |
|
333,33 |
113,576. |
|
|
|
|
~ivrTq |
|
= |
|
|
|
|||
_ |
1,35 • 2,174 |
|
|
Г |
Г |
1 |
||
|
|
|
|
|
||||
Так как для рассматриваемой оболочки К = |
- , то А = |
— |
. |
|||||
= 4,4 • 10~* м. |
|
|
|
|
2п, |
2л |
2 * 113,576 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для кольца имеем [28 ] |
|
|
|
|
|
|||
|
гг sing |
|
\frh |
|
|
|
|
|
. _ |
соset-0,39 rsjntt |
|
|
|
|
|
||
|
|
F + 0.39А VrA* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1 ■0,44 |
|
|
|
„ З |
^ Т б |
- Л |
^ — |
0,44 |
|
1. |
|
|
|
|
2 |
F+0,39 |
10-3 V l-0,44 |
|
|
||
Решая относительно F, получим
F = 1,678 - 10-3 м \
2. Нагрузка и несущая способность распределены по закону Вейбулла
Для законов распределения имеем
/з (Я) ш “Г (Я- 4 o f 3 1 ехр[ - (q - q0f 3/ ot3 ];
«3
/2 СR) = £ {R - R o f 2 " 1 ехр[- ( R - R o f y a 2].
<*2
*Так как процедура учета случайного разброса размеров поперечного сечения
имодуля Е подробно разобрана в разд. 1.1 и примерах в раэд. 1.2, то здесь и в даль нейших примерах этот учет не производится.
18
С учетом S — Kq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
/ . (S) = | |
L (5 - S0)fll " 1 exp[ - |
- S "Z0^ 1], |
|
|
||||||||
|
|
«1 |
|
|
|
|
«1 |
|
|
|
||
где S0 = K<7o; Pi -Рг',&\ = К@3а3. |
|
|
|
|
||||||||
В соответствии с (1.4) для надежности запишем |
|
|
||||||||||
Я = |
ОО |
|
|
Л |
|
|
о© |
|
|
|
|
|
J |
/ а (Л)[ |
J |
/, (S)dS]dR = / А (R)F , |
|
|
|||||||
|
— ОО |
|
|
— ОО |
|
|
— ОО |
|
|
|
|
|
В рассматриваемом случае |
|
|
|
|
|
|
||||||
г ,„ч |
|
- |
|
г |
( Л -So)^' |
|
|
|
|
|
||
F , (Л) = |
1 - е х р [ - -----— ]. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ai |
|
|
|
|
|
|
ТогдаЯ = |
J Л (Л )11 -ехр[- |
Ш - S 0)P' |
■] ^ |
= i - I г - ( * ~ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
£*I |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
*о |
“ 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
а 2 |
|
а , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<*2 |
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
(Л -Л о )1 ■= у, тогда dR = |
|
a 2dy |
|
||||||||
|
|
|
|
“2 |
|
|
|
PiiR -Ro)^2 |
1 |
|||
R = a llP2yllp2 + R0iR - s 0 = a llP2yllP2 +. |
(R0 - S 0). |
|||||||||||
Отсюда для Н имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
"■1" Iexpi I(^",,1'fc+)S| * •>’1h= |
||||||||||||
= 1 - |
^ expj - [ (су1^ 2 + |
|
+ y]jdy, |
|
|
|
||||||
где с = |
^ |
|
|
|
|
. л |
_ |
*о ~уо _ |
* Q -*<?O |
|
||
V"oT |
|
|
* V aT |
|
*Уо7 |
|
К VaT |
|
||||
В безразмерной форме Л и с будут иметь вид |
|
|
|
|||||||||
_ |
|
|
|
|
_ |
oR r f m R m q |
_ |
rjMЛл |
|
|
||
C = |
"‘' |
|
‘ |
|
Г$ OqKm R m q |
^ |
” г,гп |
|
} |
|
||
|
Ь Ы |
К |
|
|
|
r f A q |
|
|
|
|||
A = |
R j o - K q o |
Ro Г} |
r jf^ o |
|
|
|
|
|||||
|
|
fya; к |
|
KOq |
|
KOq |
|
|
KOq |
|
||
Г*{m |
- |
а<?Гз ) |
|
Т$ТгпАд |
Tf |
+ r |
||||||
|
® |
q |
T |
T |
’ = r ^ n |
|||||||
r i A ,
19
Здесь учтено, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
mR ~ Ro + *V»2 |
Г2; aR = V o T Г2*; |
|
|
|
|||||||||
mq = Qo + |
|
|
Г3; afl = *Va3 |
г з*. |
|
|
|
||||||
где Г и Г* - |
п арам етр, зависящие от (3 следующим образом: |
||||||||||||
0 ................. |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
||||
Г ................. |
1 |
0,8862 |
0,8934 |
|
0,9064 |
0,9182 |
|||||||
Г*................. |
1 |
0,4637 |
0,324 |
|
0,255 |
0,20976 |
|||||||
Для частного случая, когда q0 = R o = 0; Р2 = Рз =/3, для Я имеем |
|||||||||||||
Я = |
1 - |
j i - |
Л0_ 1 е х р |-[— |
+ |
— ]}<//? = 1- |
i - |
/Д 0 _1ехрХ |
||||||
|
|
|
0 “ 2 |
|
^ ^ |
<*2 |
|
a, J |
а2 |
5 |
|||
[ |
«*<«■ + ■■»>, ]dR |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
at a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначим: |
|
= u; |
'ttl * |
= в, тогда Л = fyTT ;<*Л = |
-1 |
||||||||
|
du; |
||||||||||||
|
|
Р-1 |
|
|
ага2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R P- 1 - |
и Х |
“ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставим это в выражение для надежности |
|
|
|||||||||||
Я = |
1 - |
|
— |
f и ^ ~ |
ехр(-иа)и^1 ~®l&du = 1 - |
|
|||||||
|
|
|
Ра2 |
О |
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
|
оо |
|
|
|
|
1 |
|
|
0L\0L2 |
_ |
<*2 |
|
- — |
f exp(~ua)du = 1 - |
------ |
= |
1 |
|||||||||
0[2 (Oil + 0(2) |
|
<*1 + а 2‘ |
|||||||||||
ос2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В этом случае удается разрешить уравнение относительно К |
|
||||||||||||
Я = |
|
|
а2 |
_ |
0(2 |
|
|
|
|
|
(1-37) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда |
|
С*1 + |
0(2 |
|
кРаз + 0(2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
к = |
|
Q/ Щ |
|
: ю _ |
|
|
|
|
|
(138) |
|||
|
|
v |
|
а2Н |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если Р= 2; a = 2а2 (что соответствует закону Релея), то
аз я
Если 0 = 1; a = 1/Х (что соответствует экспоненциальному закону), то Х3 (1 - Я )
к т л — >
20