книги / Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях

Пример.

Рассмотрим цилиндрический сосуд радиусом г = 1 м, находящийся под дейст­ вием внутреннего давления q. Считая нагрузку нормальным стационарным процес­ сом с корреляционной функцией типа (2.10), найдем толщину оболочки, при кото­

рой ее надежность Н = 0,99. При этом т„ = 5 • 106 Па; о„ = 5 • 105 Па; mR = 5 х X 10* Па; oR = 0; Т = 10 лет = 315 ■10* с; а = 0,1 с ' 1; 0 = 0,7 с ' 1.

Подставляя все исходные данные в выражение (2.15), найдем

Пример 2.

Пусть прямоугольная пластина длиной 2 м, шириной 1 м нагружена равномер­ но распределенной нагрузкой q, величина которой случайна и представляет собой

°S ~ K°qa’

следовательно,

Полученное решение легко распространить на случай проектирова­ ния элементов конструкций заданной надежности по жесткости. Следует лишь провести замены с учетом w = K*q. Следовательно, в формулах надо везде поменять К на К*, S на vv, R на w3afl и считать ow = 0. В частности, выражение (2.9) примет вид

а формула (2.12) соответственно

61

Пример 3.

Рассмотрим круглую пластину радиусом 1 м, нагруженную в центре сосредо­ точенной силой Р, величина которой описывается стационарным нормальным слу­

Аналогично решается задача проектирования элементов конструк­

ций заданной надежности по устойчивости. В этом случае, когда q (г) - нормальный стационарный процесс, выражение (2.6) примет вид

Пример 4.

Рассмотрим прямоугольную пластину длиной 2 м и шириной 1 м, равномерно сжатую вдоль длинной стороны. Нагруженные края защемлены, два других свобод­ но оперты. Нагрузка - нормальный стационарный процесс с корреляционной функ­

62

где с = 4.

В общем случае действующие нагрузки могут быть произвольными стационарными процессами. В этом случае можно, как и в разд. 1.7, воспользоваться приближенной заменой произвольного закона распреде­ ления вероятностей взвешенной суммой нормальных законов распре­ деления.

Пусть одномерные заменяющие законы распределения несущей спо­ собности R, нагрузки q и максимальных напряжений S соответственно будут

/зам (Я ) —

Можно показать [20, 42], что по (2.1) с учетом (П. 96) для стационар­ ных процессов среднее число превышений уровня R за время Т равно

Kqj(T) - корреляционная функция нагрузки.

Тогда надежность, представляющая собой вероятность Л> того, что за Время Т не произойдет ни одного выброса за уровень R , по (2.2) будет

63

(2.32)

Для корреляционной функции нагрузки в виде (2.10) после несложных преобразований получим

Решив это уравнение, получим искомое АГ, которое обеспечивает задан­ ную надежность. Зная АТ, по табл. 1.1 легко найти искомые размеры по­ перечного сечения.

В случае детерминированного уровня, выбросы за который запреще­ ны, уравнение (2.33) примет вид

Если проектируется элемент конструкции заданной надежности по жесткости, формула для определения К* будет иметь следующий вид

При проектировании на заданную надежность по устойчивости для опре­ деления <?Кр используют формулу

2.3.УЧЕТ НАКОПЛЕНИЯ УСТАЛОСТНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ

Впредыдущем разделе задача определения размеров поперечного сечения, обеспечивающих заданную надежность, рассматривалась в пред­ положении ’’внезапного” механизма отказа, т.е. под мерой надежности понималась вероятность непревышения действующим напряжением не­ сущей способности. Но очень часто характер действия нагрузок таков, что разрушение наступает в результате постепенного накопления уста­ лостных повреждений.

Поставим следующую задачу. Пусть на элемент конструкции дейст-

64

вует нагрузка q(t), которая представляет собой случайную функцию времени, но* характер ее изменения таков, что силами инерции при определении напряжений можно пренебречь, т-е. напряжения определя­ ются по уравнению (2 .7 ). Предел выносливости /?_, материала конструк­ ции - случайная величина с известным законом распределения. Тре­ буется определить размеры поперечного сечения элемента конструкции, при которых надежность его равна заданной.

Рассмотрим общий случай, когда нагрузка и, следовательно, напря­ жения меняются по асимметричному циклу.

Приведенную амплитуду напряжений асимметричного цикла будем

где ф - коэффициент приведения асимметричного цикла к симметрич­ ному; экв - амплитуда симметричного цикла, эквивалентная по пов­ реждаемости действующим случайным нагрузкам.

Воспользовавшись линейной теорией накопления усталостных пов­ реждений, в предположении, что нагрузка q (t) - нормальный-стацио­ нарный процесс, можно записать для определения 5а экв следующее вы­ ражение [ 3, 35]:

где N0, m - параметры кривой усталости; Р(у\, m + 2) - функция ^-распределения Пирсона; Ф(ш + 2) - функция, выражаемая через полную гамма-функцию

Т - срок службы; Те - ’’эффективный” период. Для нормальных стационарных процессов

(2.41).

Для различных видов корреляционных функций Те приведены в табл. П.4.

Предположим, что у 0 достаточно мало, чтобы при заданном m можно

было принять P ( y l ,т + 2) ** 1. Это означает высокий уровень напряжен­ ности и идет, вообще-то, в запас долговечности.

Учитывая выражение (2.37), найдем предел выносливости материала, при котором будет обеспечен срок службы Т,

Очень часто для описания статистического распределения предела вынос­ ливости применяют формулу Вейбулла

(Я_, -у)Р Р = е х р [ - ------ (2.44)

где Р —вероятность того, что предел выносливости не менее R- t ; а, 0, у - параметры распределения.

Подставим уравнение (2.43) в (2.44) и получим формулу для опре­

'И(m + 2) + *m ,

Зная К, по табл. 1.1 легко определить размеры поперечного сечения эле­ мента конструкции, которые и обеспечат заданную надежность.

Пример.

Прямоугольная пластина длиной 2 м, шириной 1 м нагружена равномерно рас­ пределенной нагрузкой q (f), величина которой случайна и представляет собой нор­

66

Для рассматриваемой пластины [2]

со1

К = - j - , где с = 0,497.

Т1

Тогда

2.4. ПРОЕКТИРОВАНИЕ УПРУГИХ СИСТЕМ ЗАДАННОЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ

В предыдущих разделах размеры элементов конструкций заданной

с учетом возникающих сип инерции. Предлагаемая ниже методика применима для различных типов элементов конструкций, размеры сечений которых определяются одним параметром (стержни, плас­ тины, оболочки с постоянным сечением, либо переменным, но зави­ сящим от одного параметра).

Воспользуемся некоторыми уже известными результатами [27].

где vv (х, у, z, t) —перемещение точек системы; от —масса элементарного объема; q{x, у, z, t) - внешняя случайная нагрузка, L[p,w(x, у , г, Г) ] — линейный дифференциальный оператор в частных производных.

Для стержня

£ —логарифмический декремент затухания.

Как и обычно, представляя решение в виде разложения по формам

$7(О - обобщенная координата, его можно свести к системам обыкно­ венных дифференциальных уравнений. При этом для обобщенной коор­ динаты f/(f) получено уравнение [27]

coy - частота собственных колебаний no /-й форме. Формы собственных колебаний определяются из уравнений

при v = 0; и = 1.

В результате этого система уравнений распадается на отдельные уравне­ ния и становится возможным исследовать поведение каждой обобщен­ ной координаты независимо от остальных.

Известно [9], что для линейных систем связь между спектральными плотностями ’’входа” и ’’выхода” системы, а в нашем случае между спектральными плотностями обобщенной силы Q/(t) и обобщенной координаты f /( 0 определяется формулой

Hj (гео) - передаточная функция системы при колебаниях по /-й форме, которая для рассматриваемого случая имеет вид

68

Для нахождения дисперсии перемещений w (х, у, z, t) воспользуемся уравнением (2.52) и операцией осреднения по ансамблю реализаций (3]

где Ку (f,, t2) - корреляционная функция второго порядка для обоб­ щенных координат f/(f), которая при t x = t2 = t, т.е. т = 0, определяется ПО формуле [27]

Аналогично для среднеквадратичного отклонения, например изгибаю­ щего момента в сечениях стержня, получаем формулу

Которая в случае отсутствия корреляции между обобщенными силами принимает вид

где W - момент сопротивления.

69

Из уравнения (2.67) видно, что Og зависит от вероятностных харак теристик нагрузки и размеров поперечного сечения элемента конст рукции.

Поставим задачу: подобрать размеры поперечного сечения таким об­ разом, чтобы надежность элемента конструкции была заданной. Под ме­ рой надежности будем понимать вероятность того, что ни разу за срок службы Т максимальное напряжение не превысит несущей способности.

Для определения надежности воспользуемся уравнением (2.2). Выразвив входящие в это выражение сомножители через известные вероят­ ностные характеристики нагрузки, размеры поперечного сечения и про­ интегрировав, получаем выражение

где h - искомый размер поперечного сечения, который и обеспечивает заданную надежность.

Для случая, когда 5(f) - нормальный стационарный процесс, надеж­

Полученное решение легко распространить на случай проектирова­ ния элементов конструкций заданной надежности по жесткости. При этом под мерой надежности принята вероятность того, что максималь­ ное перемещение tv в течение срока службы Т ни разу не превысит задан­

Пример.

На шарнирно опертую по концам балку постоянного прямоугольного попе­ речного сечения действует в середине пролета случайная нагрузка P(t), представ­ ляющая собой стационарный нормальный случайный процесс, корреляционная функция которой определяется выражением (2.10). Математическое ожидание и дисперсия нагрузки соответственно равны тр = 20 кН, ор = 5 кН. Параметры кор­ реляционной функции о = 1 с ' 1; (3 = 2 с ' 1.

Определить высоту сечения балки Ипри заданной ширине b = 0,1 м такую, что­ бы надежность по жесткости Н — 0,99. При этом примем w3afl = 0,001 м. Срок службы Т = 10 лет = 315 • 106 с.

Для решения воспользуемся формулой

2ir(-lnff)ow

(w3afl-m w)J = 2 o & [ -ln ------— -------- ). iow

70