книги / Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях
..pdfКомбинация законов распределения нагрузки и несущей способности
Нормальный - нормальный
Логарифмически нормальный - логарифмически нормальный
Нормальный - распределение Релея
Распределение Релея - нормальный
Гамма-распределение - гамма-распределенне
Экспоненциальный — экспоненциальный
Таблица 1.2
Выражение для определения К
К - |
m R |
( l - у 2A R ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m q ( \ + У \ / А ^ + А% ~ y 2A f c A g ) |
|
|||
|
|
m R ^ / l + A 2 |
|
||
|
m g y / l + A f c |
exp^7 \/ln [(l + A f c ) (1 |
+ A ^ ) ]J |
||
" • |
/ ~ ~ ы Г “ P '~ |
|
' |
||
|
1 |
----- exp[ |
1 |
) |
|
H —1 - |
|
||||
|
m R Afa S |
|
параметр табулированной функции |
||
К = |
-------- г — ------где 6 - |
||||
|
m q A q (1 " « ) |
|
|
|
|
|
|
J R [ |
- г г * ; |
-т=- ), обеспечивающий надежность Н |
|
|
|
|
A k |
A q |
|
|
А а |
|
l - A q - n ( l - A R ) |
|
|
|
A q S ' A t ” * ' |
|
A q |
1 |
|
Комбинация законов распределения нагрузки и несущей способности
Экспоненциальный
нормальный
Нормальный - экспоненциальный
Распределение Вейбулла - распределение Вейбулла
Нормальный - распределение Вейбулла
Продолжение табл. 1.2
Выражение для определения К
Н — |
Аа + п ~ \ |
Аа + п ~ \ |
A Rn |
|
лМ Ъ |
1-А„п |
|
||||
—— т ------ |
) ' ф ( - ^ Ч ---------------- |
|
7 - > ехР1-^ГГ - |
+ |
, |
1 |
|||||
|
OA R |
|
HAR |
|
Ад |
|
2Ад |
|
Ад |
|
|
„ _ |
n - n A R - l |
Ад+ п -1 |
ARn |
|
n -nAR - \ |
|
А'д |
||||
н = ф ( |
----------------- Ад |
) + ф ( ------- |
----------------— ) е х р [-------- |
nAR--------- |
+ |
■■1 |
|||||
|
|
Ад |
Ад |
|
|
2n2Afr |
|||||
Н = 1 - |
^ ехр| - [( £ у 1/(3* +А)Р} + у ]jdy; |
|
|
|
|
|
|
||||
Г*A r „ |
Г* |
Г, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г*А1 2 Sig ' |
АЛд (П~ |
1Г*2 |
ПА* ~ 1)+ |
Г*; |
|
|
|
|
|
||
при /3, = /Зэ = 0, <7о = л о = 0, К = |
mR |
в / 1 |
~Н |
|
|
|
|
|
|||
----- |
V — — |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
/ 3 = 1 - |
экспоненциальный закон, / 3 = 2 - закон Релея |
|
|
|
|
||||||
|
С |
|
1 |
|
. я |
|
|
|
|
|
|
Н = Ф(А)+ --------- |
/ ехр[- — (Су + А)г - y p]dy; |
|
|
|
|
|
|||||
|
V 2ст |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ь4^ |
1 |
/ь4^ - Г |
|
|
|
|
|
|
|
||
356 Лак
Распределение наибольших значений - распределение Вейбулла
Распределение наибольших значений - нормальное
Распределение наибольших значе ний - распределение наименьших значений
Экпоненциапьный - распределение Вейбулла
Распределение Вейбулла - нормальный
Н = |
^ ехр{-у -е х р (~Су 110. A)]dy ; |
||||
|
1,283>4Rn |
; А = |
1,283* |
ГпАр |
|
С = ------— |
— |
— — (л - |
— — -1 ) + 0,577 |
||
|
г *Ап |
|
|
|
|
Н = |
1 |
00 |
( |
у3 |
|
_ _ _ _ _ |
/ |
ехр j - — - e x p l - C y - A ]} d y ; |
|||
|
s f 2 Т ~ ° ° |
I |
2 |
|
|
|
1,283Арп |
; А = |
1,283 (л-1) |
|
|
С = ------— |
— |
------ ----------- +0,577 |
|||
|
Ал |
|
|
Ап |
|
Н= J ехр[-у -exp(-C lny ~A)]dy ;
0
Арп |
; А = |
1,283 |
(л + 0,4497Арп~1) + 0,577 |
||
С = —f - |
— |
||||
Ад |
|
|
|
|
|
Н = 1 - 7 ехр [-у |
~ Су1/(3- A )dy; |
||||
0 |
|
|
1 |
|
|
пАр |
|
|
( я - — |
- - D + l |
|
С = ----- Д |
|
_ ; 4 = — |
|||
ГМД |
|
л* |
|
|
|
// = 1 -Ф (Л) ■ |
С |
7ехр[- |
— (Су + /1)J |
||
|
|
sPhi |
0 |
2 |
|
Ап |
|
|
1 |
1 |
ГА, |
С = |
|
; а = — |
( — |
-1) |
|
|
|
|
А, |
л |
Г*л |
Продолжение табл. 1.2
Комбинация законов распределения нагрузки н несущей способности
Я =
Распределение Вейбулла - распреде ление наименьших значений
С=
Н =
Нормальный - распределение наименьших значений
С =
|
|
Выражение для определения К |
||
J exp ( - у -exp (O' |
+ A)\dy ; |
|||
1,283/1,, |
1,283 |
1 ТАЦ |
||
Г*пАг |
|
> А= — г - |
( 7 Г - Т ^ Г - 1)-2° ’577 |
|
1 |
во |
у |
* |
|
—/ ехр[“ ----- -exp lQ ' + 4))</у;
2
1,283/1^ |
1,283 |
1 |
-Г " - ; -4 = —з— ( — —1) —0,577
ЛЛЛ/1д п
П р н м е ч а к и е . Здесь везде Ац —ац/т^; Ац |
Од/т^; п — т^/Кт^; 0 _ параметр распределения Вейбулла; Г и Г» - |
константы, известным образом зависящие от 0; у - |
гауссовский уровень надежности. Все интегралы, приведенные в таблице, |
|
«л» различи«^комбинаций законов распре- |
1.5. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
ЗАДАННОЙ НАДЕЖНОСТИ ПО ЖЕСТКОСТИ
ПРИ ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРУЗКИ,
ОТЛИЧНЫХ ОТ НОРМАЛЬНОГО
Если закон распределения нагрузки отличен от нормального, то часто удается получить просше расчетные формулы для определения коэффициента К*.
Для решения воспользуемся уравнением (1.6), учитывая при этом, что записанный интеграл представляет собой интегральную функцию рас пределения
^зад
Н = |
J |
f l (w)dw = F(w3aa), |
(1.60) |
|
— оо |
|
|
где с учетом того, что w = K*q, |
|
||
/ . И |
= |
~ / з ( ~ ) . |
(1.61) |
Рассмотрим различные законы распределения нагрузки
1. Закон равной вероятности (равномерное распределение)
1 |
|
|
/з (я) = Ь - а |
|
|
Пользуясь уравнением |
(1.61), можно записать закон распределения пе |
|
ремещений |
|
|
Тогда, воспользовавшись зависимостью (1.60), имеем |
||
Wтад ■аК * |
|
|
Н = К• (Ъ -а) |
' |
(1.62) |
Разрешив зто уравнение относительно К*, получим |
||
"зад |
|
(1.63) |
К* = |
а |
|
Н(Ь - « ) + |
|
|
Пример.
Равносторонняя треугольная пластина, шарнирно опертая по всему контуру, Нагружена случайной силой Р, приложенной- в центре масс (рис. 9 ). Нагрузка Р распределена с равной вероятностью в пределах (1 ... 2) ' 10* Н. Необходимо подобрать толщину пластины так, чтобы надежность ее по жесткости была 0,99 при Н’эад -- 0,32 • 10~* м. Согласно Уравнению (1.63) можно записать
0,32 • 10-а___________
= 16 - 10-* м/Н.
0,99(2 ■104 - 1 • 104) + 1 ■104
Для рассматриваемой пластины для АГ* имеем (29 ]
0,00575а1 • 12(1 - д 1) _ |
125,58 • Ю’ 14 |
ЕНг |
А3 |
35
Рис. 9. Схема нагружения равносторонней треугольной пластины случайной силой Р
Здесь принято м = 0,3; Е = 2 ■1011 Па; а = 2 м. Отсю да для h имеем
125,58 ■10-
|
|
|
|
|
|
К• |
|
|
|
|
, / |
125,58 10- 14 |
|
|
|
|
“ |
V |
1 6 1 0 - ------ = 1.987 10‘ * м. |
|
2. Треугольное распределение |
|
|||||
\4 (q - a ) |
|
_ |
. |
в + Ь |
||
7 Г 7 Р |
* * • < * < |
|
||||
/ э ( « ) “ |
|
„р, |
*1 |
» |
< , < » . |
|
|
|
|||||
< * - в )2 |
|
2 |
|
|
||
Воспользовавшись уравнениями (1.60) и (1.61), можно записать |
||||||
2 (МГ*-м>зад) |
|
|
(1.64) |
|||
жл 1 |
j |
2 |
* |
|
|
|
(* |
-а)2К*2 |
|
|
|
|
|
Разрешив это уравнение относительно К*, получим |
||||||
Ь ± |
N/ ъ 2 - 8w 3afl(1 - Я ) |
( Ь - а )2 |
||||
*Г.а = |
2(1 |
- Я ) |
(6 - с )2 |
(1.65) |
||
|
|
|||||
5. Гамма-распределение
А®-
Подставив это выражение в (1.61), получаем
A |
W |
З й |
" - |
|
где fit |
= АГ/Зз. |
|
|
|
Подставив это выражение в (1.60), получим |
||||
F(w) = Н = ~ |
|
(а + 1), |
||
где |
|
(а + 1) |
- неполная Г-функция, табулированная Пирсоном. |
|
Вводится функция [6] |
||||
У( |
узад |
а + |
0 |
= — Ги,зад/й (“ + 0 ■ |
|
||||
которая выражается через табулированный интеграл вероятностей х2> связанный с функцией распределения х2:
36
w3afl |
2wc |
( 1.66) |
> a + l ) ^ l - P [ ^ L 2 (а+ 1) ] , |
||
0. |
|
|
2Wtan
где P[—-г-----, 2 (a + 1) ] - табулирована. Pi
Схема решения будет выглядеть следующим образом. По таблицам Р(2Х, 2п) [6] для заданной (a + 1) подбираем 2и>зад//}, = с, дающее вели чину вероятности отказа (1 - Н ).
Тогда Зи'ззд _
~Щ Г .
Отсюда |
|
||
|
ги'зад |
(1.67) |
|
к |
- - К Г - |
||
|
|||
Пример. |
|
||
Круглое кольцо радиусом г = 1 м нагружено силой Р, лежащей в его плос |
|||
кости |
(рис10). Величина силы Р случайна и подчиняется гамма-распределению с |
||
параметрами а = 34; р, = ISO Н. |
|||
Необходимо найти такие размеры поперечного сечения кольца, при которых |
|||
надежность его по жесткости |
(в смысле перемещений по оси Оу) равнялась 0,99. |
||
Пусть w3afl = 1,5 ■ 10" 1 |
м. Для рассматриваемого случая а + 1 = 35; 2 (а + |
||
+ 1) = 70. По таблицам Р[2Х, 2л] для 2л = 70 ищем 2Х = с, для которого веро ятность отказа равна 1 - Н = 0,01. Этому случаю соответствует с = 100.
Тогда
2и»3ад |
2 ■1,5 • 10"а |
К* = |
= 2 • 10-‘ м/Н. |
|
150 ■100 |
Для рассматриваемой конструкции (28) К* = 0,149г>
EJ
Отсюда момент инерции поперечного сечения кольца равен
0,149т3 |
0,149 • 1 |
ЕК* |
2 ■10“ ■i • к Н = 37- 10-* м«. |
4. Экспоненциальное распределение
/э(<7) = Х3е - хэ4.
В соответствии с (1.61)
/,(w ) = X1e - x,,v,
гдеХ, = Х3 /К*.
Рис. 10. Схема нагружения кольца силой Р, лежащей в его
плоскости
37
Воспользовавшись уравнением (1.60), для надежности имеем
Я = 1 - e " XlW®w= 1 - е ^ з ^ з W **.
Разрешим это уравнение относительно К*:
ХзWЧЦп
Пример.
(1.68)
<1Л>
Круглая пластина радиусом г = 1 м, шарнирно закрепленная по всему кон туру. нагружена равномерно распределенной нагрузкой я, величина которой слу чайна и распределена по экспоненциальному закону с параметром X, = 100 МПа"1.
Необходимо найти толщину пластины/), при которой надежность по жесткости Н = 0,99. Ограничитель деформаций w3aa = 0,5 • 10"* м.
Воспользуемся уравнением (1.69)
^зад |
100 • 0^ • 10- |
К* = - |
= 0,108 м/МПа. |
ln (1 -Н) |
1п(1 -0,99.) |
Для рассматриваемой пластины (2]
К* = 0,695т4
Eh1
Отсюда
= |
= ъг |
ш т _ |
, |
V К*Е |
V |
0,108 • 2 • 10* |
ЗД? 10 |
5. Распределение Вейбулла
По (1.61) для закона распределения перемещений имеем
/ i (*0 = |
~ ~ (w ~ 7 i)g ^ 1 ехр[- |
«1 |
} |
], |
|||
|
|
Д) |
|
|
|
|
|
где ai |
= К*0а3; 7i |
= К*у3 ■ |
|
|
|
|
|
Используя уравнение (1.60), можно записать |
|
||||||
и |
1 |
г |
(ц,зад ~ 7 i)g |
, |
|
|
|
Я = 1 - ехр[-------- 5] |
]. |
|
|
|
|||
или |
|
|
(м^зад ~К*Уз)^ |
|
|
|
|
Я = 1 -ехр[- |
]; |
|
(1.70) |
||||
К*Раз |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(и*зад |
|
1п(1 -Я ) = - |
|
К*Раз |
|
Разрешив зто уравнение относительно К*, имеем |
|
vзад |
(1.71) |
К* = |
|
- а 3ta d - Я ) + |
7з |
38
Пример.
На шарнирно опертую балку действует приложенная посредине гармоничес кая нагрузка PU) = Л, sinef, где Р0 - случайная величина, распределенная по за кону Вейбулла с параметрами 03 = 3; у = 0; а3 = 22470’ Н3. Длина балки/ = 2 м. Материал балки имеет следующие характеристики: 7 = 7,8 • 104 Н/м’ ; — 2 X
X 1011. Па. Поперечное сечение балки — прямоугольник шириной Ь = 0,1 м. Частота вынужденных колебаний в = 50 1/с.
Необходимо найти высоту поперечного сечения А, обеспечивающую надежность
по жесткости Н = |
0,99. Пусть w3afl = |
0,00112 м. Вычислим величину К* по фор |
|||
муле (1.71) |
|
|
|
0,00112 |
|
К* = |
''зад |
|
= 3 ■10 -’ м/Н. |
||
|
|
|
|
||
f y - a 3ln(l -Н) |
^ 4 2 2 4 7 0 )’ In(1 -0,99) |
||||
Для рассматриваемой балки (11 |
|
|
|
||
/ ’ |
|
|
|
|
(1.72) |
к ' = 15ЖГ |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
7F01/4 |
|
|
|
|
W X - i2 t ^/ |
|
|
|
|
|
Подставив исходные данные, получим |
|
|
|||
|
7,8 • 104 • ОДА • 10’ • 24 • 12 • 25 |
_ 0,186 |
|||
2 |
х |
9,81 -2 - |
1011 |
ОДА’ |
sfh |
|
|
|
|
|
|
Перепишем уравнение (1.72) в следующем виде: |
|
||||
32EJK* |
_ |
1 |
|
|
|
/ ’ |
= — (tgX-thX); |
|
|
|
|
|
\ ’ |
|
|
|
|
32 - 2 ■1011 |
- 3 - 10*’ - ОДА’ |
-(tg \ - t h \); |
|||
|
12- 2’ |
|
|||
|
|
|
|
||
200A’ = |
-\b ( t g \ - t h \) . |
|
|
(1.73) |
|
При графическом решении этого уравнения надо учесть, что А должно быть не мень ше А* — высоты, обеспечивающей заданный прогиб при статическом действии нагрузки, равной математическому ожиданию Р0, т.е.
тр Р _ |
2 • 104 - 8 ■12 |
_ |
2 |
|
48£7 |
4 8 -2 ■10" ОДА’ |
~ |
Ю‘ А” |
|
Где для закона Вейбулла можно записать (см. уравнение (П.62) и табл- П.2| |
||||
т р = а 1 /РГ ( 1 + |
— ) = { / |
22470’ |
• 0,8934 = 2 • Ю4 Н. |
|
|
Р |
|
|
|
Отсюда А* = V —1 |
^ |
= 0,126 м. |
|
|
0,00112 • 106 |
|
|
|
|
Следовательно, при графическом решении надо брать А > А *. Графическое |
||||
решение уравнения |
(1.73) дает А = 0,15 м. Таким образом, размеры искомого се |
|||
чения будут b —ОД м; А = 0,15 м.
39
6. Распределение Релея
h |
(</> = |
V |
|
|
|
в3 |
2в3 |
По ( 1.61) для закона распределения перемещений имеем |
|||
/ , ( « ) = 4 е х р [ - ^ 1 ]. e l
где а, =К*а3.
Воспользовавшись уравнением (1.60), можно записать
/ / = l - exp[- _ ^ _ j , |
(174) |
|
|
2а] |
|
Разрешая это уравнение относительно К *, получим |
|
|
К* = |
1зад |
(1.75) |
|
||
а3 V - 2 In(1 - Н)
Пример.
На квадратную пластину, два края которой защемлены, а два других шарнир но оперты, действует распределенная нагрузка (рис. 11), у которой qa — случайна с релеевским законом распределения, параметр которого а, = 0,08 ■10* Па.
Найти толщину пластины И, при которой надежность ее по жесткости Н = 0,99 при и'эад = 0.08 • 10' ‘ м.
По (1.7S) для А'* имеем |
|
|
||
К* |
цэад |
0,08 -1 0 -1 |
|
|
а3 х/-21п(1 -Н) |
0,08 -10* |
21п(1 -0,99) |
|
|
|
|
|||
= 0,33 10-’ м/Па. |
|
|
|
|
Для рассматриваемой пластины [291 |
|
|
||
|
|
_ 0,00236* |
= 0,00236* ■12(1 - ц г) |
20,93 |
^ ~ Г Г ? Т П Ч° |
° |
ЕН* |
А* • 101* |
|
|
при Е = 2 ■1011 Па и м = 0,3. |
|
||
|
|
20,93 -1 0 ’ |
|
|
|
Тогда А = |
= 3,98 • 10-1 м. |
|
|
|
|
10“ |
-0,33 |
|
|
Рис. |
11. Схема нагружения квадратной пластины |
распреде |
|
|
ленной нагрузкой |
|
|
|
40