книги / Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях
..pdfb H H i . H 2 |
H„,X) |
__ Э С (Я ,,Я 2...... |
Я „) |
ч |
Э Я (Я ,.Я 2......... |
Я „ ) _ |
Щ |
|
Щ |
+ |
Х |
ЭЯ,- |
|
= 0, / = 1 , 2 |
......п. |
|
|
|
|
(3.10) |
Система уравнений (3.10) состоит из п уравнений с (л + 1) неизвест ным Я , , # 2, ...,Нп, X. Вместе с условием (3.6) система (3.10) дает реше ние задачи.
Исключим из числа неизвестных неопределенный множитель X. Выразив его из первого уравнения системы (3.10) и подставив во все остальные, приходим к системе (л - 1) уравнений с п неизвестными Я , , Я 2, ...,Я„ вида
ЭС |
ЭЯ |
- dG |
ЭЯ |
_ п |
■_ | <7 |
,п. |
(3.11) |
~ Щ |
1 я 7 |
ift/7 |
эя,- |
0> |
1*~’ |
|
Решая ее совместно с (3.6), находим значения Н ,,Н 2, ...,Я„, соот ветствующие минимальной массе конструкции при ограничении на на дежность всей конструкции.
Решение обратной задачи сводится к той же системе уравнений (3.11), но дополняющим уравнением будет (3.8).
Вид функции Я (Я ,, Я 2...... Я„) зависит от вида связей элементов конструкций между собой. Вид функции (7(Я ,, Я 2, ..., Я„) зависит от типа и формы элементов конструкции, их нагружения, закона распреде ления и вероятностных характеристик нагрузки и несущей способности и вида надежности (по прочности, жесткости или устойчивости). Для раз личных элементов конструкции вид функции G(К) или G(К*), а также б7(<7Кр ), где К или К*, а также ? кр известным образом связаны с надеж ностью, может быть одним из следующих:
G = А |
А |
К |
у/~К* |
G = |
А * |
(3.12) |
|
|
у/Т7 |
Конкретные виды функций и значения коэффициентов А, А*, А* * рас смотрим в следующем разделе.
81
3.2. ЗАВИСИМОСТИ G (К) ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ
КОНСТРУКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И НАГРУЖЕНИЙ
1. Растягиваемый стержень:
G = pFl,
по табл. 1.1 F = 1/К.
Тогда G = |
= Л ., |
(3.13) |
где Л = pi. |
|
(3.14) |
2. Изгибаемая балка: |
|
|
G = pFl, |
|
|
согласно табл. 1.1 для размеров поперечного сечения балки можно за писать
Если балка круглого сечения:
ltd3 _ |
а I |
“32 |
F -* |
или (nd2)3 |
_ тга2/2 • 16 |
64 |
|
IT*7 |
Z/17 |
где А = p i\/а 2!2 • 1б7г .
Если балка имеет прямоугольное сечение:
(3.15)
(3.16)
Тогда G = p l y j S b a l _ |
А |
(3.17) |
|
у/Т~ |
s/T* |
||
|
|||
|
|
(3.18) |
82
3. Вал при кручении:
G = pFl,
для размеров поперечного сечения можно записать
|
ltd2 |
1 |
i* d 2)2 |
|
|
16 |
» |
64 |
|
|
К |
|
||
Тогда G — |
pllj 47Г |
А |
(3-19) |
|
|
|
У Р |
У Р |
|
где А = pi \/~4п. |
|
(3.20) |
||
|
4. |
Сферическая оболочка радиусом г, находящаяся |
под действием |
|
внутреннего давления q. |
|
|||
|
В этом случае |
|
|
|
|
G = Anr2hp, |
|
|
|
по табл. 1.1 для размеров поперечного сечения имеем |
|
|||
т |
„ |
47тг*р |
А |
(3.21) |
Т ог» с - |
|
- -J-. |
||
где Л =• |
= 2irr3p. |
(3.22) |
||
5. Цилиндрический сосуд радиусом г, нагруженный внутренним дав лением q.
Для него
G = lmlhp,
по.табл. 1.1 А =г/К.
_ l m 2lp _
Тогда G =
Л
где .4 = 2пг21р.
б. Круглая симметрично нагруженная пластина:
G = яг2Ар,
по табл. 1.1 для размеров поперечного сечения имеем
(3.23)
(3.24)
83
Тогда С - |
^ |
_ |
А |
(3.25) |
|
уП Г |
|
>/**’ |
|
гдеА = риг3 у/а[ . |
|
|
(3.26) |
|
7. Прямоугольная пластина длиной Ь и шириной а:
G = bahp,
по табл. 1.1 А = |
J а*а . |
|
|
Л |
|
Тогда G - а2» |
Р ^ - |
А |
(3.27) |
||
sTT- |
|
|
где А = а2Ьр\/ |
а2 . |
(3.28) |
Аналогичные формулы можно получить для других типов элементов конструкций и нагруженийПо этим формулам и зависимостям А = /(//) для различных законов распределения нагрузки и несущей способности можно получить в явном виде зависимости G = /( # ) .
3.3. ЗАВИСИМОСТИ С (А*) ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ И НАГРУЖЕНИЙ
1. Растягиваемый стержень:
G = pFl.
По табл. 1.1 для F имеем
f |
— |
^ |
|
|
|
Е К • |
' |
_ |
_ |
р/2 |
А * |
Тогда |
|
|
* * > |
j *
где>1* = — .
2.Изгибаемая балка:
G = pFl.
По табл. 1.1
2 аЕК*
Если балка имеет круглое сечение:
(3.29)
(3.30)
84
nd |
CtEK г. или |
( n d 2) 2 |
7Г/4 ■4 |
|
|
||||
~бт |
|
16 |
оЕК* |
|
|
||||
F=712ST |
^ Z . |
|
|
|
|
|
|
||
|
V |
CtEK* |
|
|
|
|
|
|
|
Можно записать |
|
|
|
|
|
|
|||
с _ |
2р/3 У¥~ |
__ |
|
Л* |
|
|
|
||
|
\/ Of N/ * 7 |
|
7 ^ " |
|
|
|
|||
где А * = 2р/3 |
off |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если балка прямоугольного сечения: |
|
|
|
||||||
b h 3 |
|
|
|
|
з |
Л 2 12 |
„ |
3/ / V • 12 |
|
12 |
а£7Гг ; |
1 = |
— r r ^ , T . e . F = |
>/— — — . |
|||||
(« tf |
|
aFA- |
|
CtEK* |
|
||||
Тогда G |
|
Ib2 • |
12 |
|
|
|
|
|
|
= p l2 / ~ |
CtEK* |
|
ZJ K * |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где/1' = P/2 ^ |
/ft |
• 12 |
|
|
|
|
|
||
|
a£ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Вал при кручении: |
|
|
|
|
||||
С = р/7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По табл. 1.1 для размеров поперечного сечения имеем |
|
||||||||
Jp |
GjK*’ |
nd |
|
Г |
(n d 2)2 |
nl ■2 . |
F = |
||
32 |
|
G . K * |
16 |
GjK*’ |
|
||||
2nl
Тогда G = Р Ы -
G j K *
где A* = pi Ш .
(3.31)
(3.32)
(3.33)
(3.34)
(3.35)
(3.36)
4. Сферическая оболочка радиусом г, нагруженная внутренним дав лением q.
В этом случае
G = 4nr2hp. |
, |
|
Согласно табл. 1.1 h = |
г |
|
2ЕК* |
||
|
_ |
4 п г р |
А ' |
Тогда О = ------——= — |
||
|
2ЕК* |
К* |
л » |
4пг*р |
|
где А * = |
-------—. |
|
|
2Е |
|
(3.37)
(3.38)
85
5. Цилиндрический сосуд радиусом г, нагруженный внутренним дав лением q.
В этом случае имеем
G = litrhlp.
По табл. 1.1
Тогда G = |
2пг3/р |
А • |
|
ЕК» |
К» ’ |
где А* = 2пг31р
Е
б.Круглая симметрично нагруженная пластина:
G = яr2hp.
По табл. 1.1 h = |
|
Тогда G = т ъ р $ a f г |
А* |
I f T $~к* |
уИГ* |
где А * = пг*р / Ш 1 . |
|
Е |
|
7. Прямоугольная пластина длиной Ь, шириной а :
G = abhp.
(3.39)
(3.40)
(3.41)
(3.42)
По табл. 1.1 h = |
ЕК• |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
а2Ьр У а.2* а |
А • |
|
|
G = |
(3.43) |
|||
|
$~ЁК* |
У к* ’ |
|
|
где А* = |
а2Ьр |
|
|
(3.44) |
Аналогичные формулы можно получить для других типов элементов конструкций и нагружений. Зная эти формулы, а также зависимости К* = /(Я ) для различных законов распределения нагрузки, можно в явном виде получить необходимые нам зависимости G = /( Я ) .
86
3.4. ЗАВИСИМОСТИ G ( q ^ ) ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ И НАГРУЖЕНИЙ
1. Сжатый вдоль оси стержень:
G = pFl\ Ркр = я2£7
ШУ
Ркр(МО2
Отсюда J
я 2 Е
Если стержень имеет круглое сечение:
PKp W ) 2 |
(ffrf2 )2 |
_ PKp(iU/)2ff |
4 |
||
64 |
Я 2Е |
|
16 |
я 2 Е |
|
F = |
|
|
|
|
|
Тогда G = 2ppl2 |
|
= А**\Г?к p . |
(3.45) |
||
гдеА * * = 1 ^ 2 . |
|
|
|
(3.46) |
|
Если стержень прямоугольного сечения: |
|
||||
^кр(М0 2 . |
)> = |
» » а* ,ф 0 «0 а |
l= J3 l 2 b 2PKp(pJ) |
||
12 |
я'Е |
|
|
я 2 Е |
1Г2Е |
|
г |
|
|
|
|
ТогдаG = р /У |
Ш |
|
|
^ ? к Г , |
(3.47) |
|
я |
Е |
|
|
|
где /1 - „ « |
б " * |
» |
* |
|
(3.48) |
я2 Е
2.Сжатая равномерно распределенной нагрузкой 4 вдоль длинной стороны а пластина шириной 6.
Для этого случая
G=abhp.
Для определения QKp можно записать следующее выражение [2]:
с я 2 Е й 3
Акр —
Ь2 ■12(1 - l l 2V
87
отсюда для h имеем |
|
|
|
|
||||
|
Л = |
з\J |
q*Vb2 ' 12 У > |
|
|
|||
|
|
|
|
стт2Е |
|
|
|
|
Тогда С |
|
|
|
стгЕ |
|
'кр > |
(3.49) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где/4** - |
^ |
У -Ч |
12,» .-“ У |
|
(3.50) |
|||
|
|
|
|
с7Г2£ |
|
|
|
|
|
3. |
|
Круглая пластина радиусом г, сжатая равномерно распределенной |
|||||
по контуру радиальной нагрузкой q. |
|
|
||||||
|
В этом случае для G имеем |
|
|
|||||
|
G = m 2hp. |
|
|
|
|
|
||
Выражение для определения <7кр имеет вид [2] |
|
|||||||
|
?кр — |
|
CIT2E |
а . |
! |
|
|
|
|
|
------------ г" |
( — ) |
• |
|
|
||
|
|
|
12(1 |
~р2) |
г |
|
|
|
Отсюдаh =J qкрг2'12(1~*,а' |
|
|
||||||
|
|
|
|
сп2Е |
|
|
|
|
т |
~ |
|
з Акр-12(1 -Д2 |
---- |
(3.51) |
|||
Тогда С = г 3 ру/---- ----------------- =Л** |
V<7Kp , |
|||||||
где |
|
|
v |
с£ |
|
|
(3-52) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Цилиндрическая оболочка радиусом г, сжимаемая внешним дав лением <7.
В этом случае
G = litrhlp.
Согласно [2] для <7кр имеем: а) длинная оболочка
Eh1
<7кр
4(1 - д 2)г3 ' |
|
|
|
<?кр '4(1 - д 2) |
= Л * * ^ кр |
(3.53) |
|
Тогда G = 2vr2lp у Чкр |
|
||
где Л** = 21тг21р ^ / — ^1 |
^ ^ \ |
|
(3.54) |
88 |
|
|
|
б) оболочка средней длины
< 7 к р = 0 , 9 1 8 - ^ - v f -
Тогда G = 2тгrip у |
Якр * .. =Л ** $ |
q ip , |
(3.55) |
|
4 |
0JME |
|
|
|
где А ** = 2го7р \/ |
- г- |
■. |
|
(3.56) |
5. Цилиндрическая оболочка сжата осевой силой Р. |
|
|||
В этом случае |
|
|
|
|
G = Inrhlp. |
|
|
|
|
По [2] для •^кр можно записать |
|
|
||
Лер = «с ’ 3,8£й2. |
|
|
|
|
ТогдаG = 2vrlp J - - * ? |
= А** |
s / T ^ , |
(337) |
|
|
«С |
|
|
|
где А ** = — — |
£ ---- . |
|
|
(3.58) |
V «с • ЗДЕ |
|
|
|
|
Аналогичные формулы можно получить и для других типов конст руктивных элементов и нагружений. По этим формулам, а также по извест ным зависимостям qKp =f(H) для заданных законов распределения наг рузки можно найти искомые зависимости G = f(H ).
3.5. ПРИМЕР РАСЧЕТА ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НАДЕЖНОСТИ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ КОНСТРУКЦИИ
В качестве иллюстрации вышеизложенной методики рассмотрим задачу опти мального распределения надежности для конструкции, состоящей из четырех после довательно соединенных элементов - трех цилиндрических оболочек и плоского днища в виде круглой симметрично нагруженной пластины (рис. 22). Для цилин дрических оболочек будем считать определяющей надежность по прочности, для днища - надежность по жесткости. Величины нагрузок и несущей способности для каждого элемента будем считать некоррелированными случайными величинами со следующими вероятностными характеристиками:
1- й элемент - цилиндрическая оболочка радиусом г = 1 м, нагруженная внут
ренним избыточным давлением q, величина которого случайна с релеевским зако ном распределения, имеющим параметр в, = 0,04 МПа. Несущая способность мате риала оболочки также случайна с релеевским законом распределения, имеющим па раметр в, = 319,2 МПа. Длина оболочки I = 2 м; р = 7,8 ■10* кг/м*; Е — 2 X X 10* МПа;
2- й элемент —цилиндрическая оболочка радиусом г = 1 м, нагруженная внут
ренним избыточным давлением q, величина которого случайна и распределена по
89
С Ж Ж И Э Д Ж Ж 1Х П 4 и
♦ |
| |
* |
Рис. 22. Пример оптимального распре- |
Т ♦ ♦ ♦ ♦ |
деления надежности между элементами |
||
та, |
Тл, |
lhj |
в четырехэлементной системе |
|
закону Вейбулла с параметрами и, = 3 и а, = 0,07’ МПа3. Несущая способность материала оболочки также случайна и распределена по закону Вейбулла с парамет
рами /3, = |
3; а, = 447,73 МПа3. Длина оболочки / = 2 м ; р = |
7,8 • 103 кг/м3; |
Е = 2 ■10s МПа. |
1 м, нагруженная внут |
|
3- |
й элемент - цилиндрическая оболочка радиусом г = |
|
ренним избыточным давлением q, величина которого случайна и распределена по экспоненциальному закону с параметрами X, -- 100 1/МПа. Несущая способность материала оболочки также случайна, подчиняется гамма-распределению с пара метрами о, = 1; 02 = 200 МПа. Длина оболочки / = 2 м; р = 7,8 • 103 кг/м3; Е =
= 2-10* МПа.
|
4- |
й элемент — круглая пластина радиусом г = 1 |
м, нагруженная равномерно |
распределенным по площади пластины избыточным давлением q, величина кото |
|||
рого случайна с экспоненциальным законом распределения |
с параметром Л, = |
||
= |
100 |
1/МПа. Величина перемещения, выбросы за которую запрещены, w3an == |
|
= |
0,5 • 10- 3 м; р = 7,8 • 103 кг/м3; Е = 2 • 10* МПа. |
|
|
Выразим массу каждого элемента конструкции через надежность.
Для заданных законов распределения нагрузки и несущей способности имеем
С,1 |
А, |
_ |
2яг3/р |
12,28 S/ H T |
К |
|
|
|
|
|
|
|
*э Ж |
|
С, = А |
|
2w 3/p |
|
|
|
|
|
||
|
к, |
|
|
|
Сз^ |
= |
2пгЧр |
-4,9; |
|
|
||||
|
|
|
М з |
|
|
|
|
1 - “ +УГ=7Г |
|
G* |
|
А*, |
W3P</ 0,695гЕ |
|
- -------- |
|
= 4 6 6 < /-ln (l -Н4) . |
||
VKT
У - 1п(1 -Н4)
Теперь задача оптимизации (3.5) заключается в следующем: необходимо миними зировать функцию массы
12,28 \ГЩ~ t |
15,3 y t f T t |
4,9 |
-A$ + 466 У - In(1 - Я ,) |
|
sITHT, |
</Т=7/, |
JT=Ht |
||
|
при условииHtH2Ht Ht > Нзаа.
90