книги / Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях

По этим данным строят гистограммы распределения. Разбивая эти распределе­ ния на равнобедренные треугольники и заменяя их нормальными распределениями, как это было сделано выше, для нагрузки q и несущей способности R получают сле­ дующие заменяющие законы распределения:

/ зам (Я) = 0,7/н (3; 1,22) + 0,25/„(6; 1,22) + 0,05/„(9; 1,22);

/зам(Л) = 0,1/„(130; 12,2) + 0,3/„(160; 12,2) + 0,6/„(190; 12,2).

Для максимальных напряжений S с учетом того, что S = Kq, имеем

/з а м (« = 0,7/„(3/Г; 1.22ЛГ) +0,25/„(6/Г; 1.22А) + 0,05/„(9А ; 1,22А ).

Составим разность Z = R -S, для которой можно записать:

/зам<г ) = 0,07/н(1 3 0 -ЗАГ; V 150+ 1 .5A 1 ) + 0,025/„(1 3 0 -

-6 А ;о 2) +0,005/н (130 -9А ;ог) + 0,21/н (160 - ЗА; о г) + 0,075/н (160 -

“ 6А; о г) + 0,0015/„(160 -9А ; ог ) + 0,42/„(190 -ЗА ; о J + 0,15/1,(190 -

-6 А ;о г) + 0 ,0 3 /„ (1 9 0 -9 А ;%) ,г д е о г = V 150+1,5 А1 .

где a z = V 150+ 1,5AJ .

Решив приближенными методами это уравнение относительно А, получим А == = 9,75. Для рассматриваемого трубопровода, как это известно из теории безмоментных оболочек, А = d\1h

1.8. ДИСКРЕТНЫЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАЗМЕРОВ

ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ЗАДАННОЙ НАДЕЖНОСТИ

Как было показано выше, при определении размеров поперечного сечения, обеспечивающих заданную надежность при произвольных зако­ нах распределения нагрузки и несущей способности, возникают значи­ тельные трудности. Кроме этого, нелегко подобрать соответствующий экспериментальным данным сам закон распределения нагрузки и несу­ щей способности. В связи с этим ниже рассмотрен приближенный способ,

51

который позволяет решать ряд новых задач при произвольных комбина­ циях законов распределения нагрузки и несущей способности, так как не требует нахождения их аналитического выражения. Будем пользо­ ваться записью законов распределения в табличной форме:

для нагрузки

для несущей способности

разрядов.

Таблицы строят следующим образом. Всю область изменения случай­ ной величины разбивают на разряды в порядке возрастания и заменяют совокупность значений случайной величины внутри разряда "представи­ телем” разряда, с которым производят все дальнейшие операции. В ка­ честве представителя разряда можно брать средневзвешенное значение случайной величины внутри разряда или среднее значение разряда [9]. Для удобства и в запас надежности в качестве представителя разряда бу­ дем брать: для нагрузки - верхнюю границу разряда, а для несущей спо­ собности - нижнюю границу. Учитывая известную зависимость S = Kq, для закона распределения напряжений можно получить следующую таб­ лицу:

Составим разность Z = R - S = R - K q и запишем ее закон распределения в табличной форме

52

Из полученного закона распределения R - S можно найти искомое К, обеспечивающее заданную надежность, следующим образом. Ищем раз­ ряд, до которого сумма вероятностей попаданий в предыдущие разряды равна (1 - И). Тогда, приравняв нулю представителя этого разряда, имеем

Это означает, что представители всех остальных разрядов больше нуля, т.е. R - Kq > 0, и вероятность этого равна Н.

Отсюда

где Rj и <7/ - представители разрядов, попавших в граничный разряд.

Пример.

Квадратная пластина со стороной 4 = 1м , два края которой шарнирно оперты, а два защемлены, нагружена равномерной нагрузкой q, величина которой случайна и имеет следующий закон распределения:

53

Будем-искать закон распределения разности R - S в виде аналогичной таблицы, располагая значения R - S в порядке возрастания,

= RA lqi с величиной Л, “ *<П- 1 - Пройдя все значения Л, - Kqj, переходят к Л, -

- Kq( и т.д. Для рассматриваемого случая после 1-го шага К = 1000/10 = 100; 1000 -9* = 100, а 2000—10* = 1000, поэтому переходим ко второму шагу. После второго шага К = 1000/9 = 111,1 опять 1000—8* < 2000 -10* и т,д.

Как только сумма частот попадания в разряды достигнет величины 1 - Н, процесс можно прекратить и для последнего разряда приравнять/? - 5 = 0 [для раз­

Дискретный метод применим также для определения размеров попе­ речного сечения, обеспечивающих надежность по жесткости.

Схема решения здесь выглядит следующим образом. Пусть задан за­ кон распределения нагрузки

54

Найдя К*, по табл. 1.1 легко определить искомые размеры поперечного сечения.

Пример.

Шарнирно опертая прямоугольная пластина (а = 1 м; Ъ= 2 м; д = 0,3) нагру­ жена гидростатическим давлением (рис. 18); q0 - случайная величина со следую­

щим законом распределения:

Найти толщину пластины А, при которой ее надежность по жесткости Н = 0,99; и'зад == 0,3 - 10-* м. Закон распределения величины максимального прогиба с уче­ том того, что wmax = K*q, будет иметь следующий вид:

А- 1

55

Рис. 19. Схема нагружения треугольной пластины равно­ мерной распределенной нагрузкой

Также легко применим дискретный метод для расчета иЗ условий надежности по устойчивости.

В этом случае из закона распределения нагрузки

Приравняв <7кр = qk, что означает,что вероятность непревышения нагруз­ кой q величины <7кр равна Я, легко найти необходимые размеры попереч­ ного сечения.

Пример.

Треугольная пластина, у которой размер а —2 м, сжата со всех сторон распре­ деленной нагрузкой q, величина которой случайна и имеет следующий закон распре­ деления (рис. 19):

56

ГЛАВА 2

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Сначала поясним, что мы будем понимать под термином ’’динами­ ческие задачи”, так как обычно этим термином обозначают задачипроектирования и расчета конструкций с учетом сил инерции. Но как мы ви­ дели, ряд задач, в которых учитываются силы инерции, с успехом могут решаться квазистатическими методами и могут быть отнесены к квазистатическим. Поэтому в данной работе под термином "динамические задачи” мы будем понимать задачи, для решения которых необходим аппарат теории случайных функций.

2.1. РАСЧЕТЫ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ЗАДАННОЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ, ОПИСЫВАЕМЫХ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИЕЙ

нагрузки представляют собой случайные функции. Но и в этом случае желательно создать такую методику расчета элементов конструкций, ко­ торая заранее учитывает требуемую надежность.

Поставим задачу: на элементы конструкции действует нагрузка, ко­ торая представляет собой случайную функцию времени, вероятностные характеристики которой известны. Требуется определить размеры по­ перечного сечения конструкции исходя из заданной надежности.

Под мерой надежности Н будем понимать вероятность того, что ни разу за срок службы Т максимальное напряжение S не превысит несущей способности/?.

Пользуясь некоторыми результатами теории выбросов случайной функции за случайный уровень [34, 41], для среднего числа выбросов случайной функции 5 (0 за случайный уровень R в течение срока службы

где V(RjT) — среднее число превышений уровня/?; S(t) —производная функции S (г) ; /(/?, S/t) —совместный двухмерный закон распределения S и ее производной в момент времени t при S = R.

Найдем вероятность того, что в течение данного времени будет не более заданного числа выбросов. Особый интерес представляет частный случай, когда появление последовательных выбросов можно считать независимыми ’’редкими” событиями. При этом принимаем, что число выбросов в течение времени подчиняется закону Пуассона.

57

Так как вероятность Рт появления события т раз в этом случае за­ висит только от V(RjT), то вычисление Рт может быть доведено до конца.

Например, для вероятности Р0 того, что за время Т не произойдет ни одного выброса (а это и есть принятая надежность), получим [34]

Подставим в формулу (2.2) известные вероятностные характеристики нагрузки <7(0 и несущей способности R. Принимая во внимание, что должно выполняться равенство Н -- Н^ц, для определения размера по­ перечного сечения А получим выражение

Полученное решение легко распространить на случай проектирова­ ния элементов конструкций заданной надежности по жесткости. При этом под мерой надежности понимается вероятность того, что макси­ мальное перемещение wmax в течение срока службы ни разу не превысит заданного. Следовательно, в этом случае для надежности можно записать

Подставив в уравнение (2.4) известные вероятностные характеристики нагрузки, получим выражение для определения искомых размеров по­ перечного сечения h, обеспечивающих заданную надежность:

рузки <7 (0 • Аналогично решается задача проектирования элементов конст­

рукций заданной надежности по устойчивости. В этом случае мерой на­ дежности является вероятность того, что ни разу за срок службы Т дейст­ вующая обобщенная нагрузка q не превысит критической <7кр. Под обоб­ щенной нагрузкой можно принимать силу, распределенную нагрузку, изгибающий момент, крутящий момент и т.д.

Решая это уравнение с учетом того, что должно выполняться условие Н ~ Я 3ад, получаем необходимый уровень <7кр, зная который легко найти размеры поперечного сечения, которые и обеспечат заданную надежность.

S8

2.2.РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

ЗАДАННОЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ БЕЗ УЧЕТА СИЛ ИНЕРЦИИ

где коэффициент К связан простыми зависимостями с размерами попе­ речных сечений элемента конструкции (см. табл. 1.1).

Предположим, что характер действия нагрузки q (t), которая пред­ ставляет собой случайную функцию, таков, что силами инерции при опре­ делении напряжений можно пренебречь, т.е. напряжения определяются по (2.7). Подставив в (2.2) уравнение (2.7), получим выражение для определения К. Зная К, легко найти размеры поперечного сечения.

тд - математическое ожидание несущей способности материала конст­ рукции; Т - срок службы.

Для многих реальных физических процессов корреляционная функ­

Константы а и 0 подбираются так, чтобы экспериментальная кривая Kq (г) совпадала с теоретической кривой, построенной по формуле (2.10).

Для этого случая имеем

= *S (0) = - *S ( 0 1 г = 0 = °s («* + Р У= к2 о2ч (ОС2 + р2). (2.1D

(В случае других вариантов корреляционных функций нагрузки расчет Можно вести по табл- П.4.)

Запишем выражение для надежности

из которого можно определить искомое К.

59

В общем случае уравнение (2-12) удобно решать графически, для чего перепишем его в виде

Для случая aR = 0 (т.е. уровень, выбросы за который запрещены, детер­ минирован) уравнение (2.12) удается разрешить относительно К:

Ту /а 1 + р2

Втом случае, когда уровень, выбросы за который запрещены, является случайным с законом распределения Релея

60