книги / Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях

Очевидно, что максимальный прогиб будет посредине балки, тогда

Здесь принято / = 4 м; Е = 2 ■1011 Па.

Для нахождения дисперсии прогиба посредине прогиба балки воспользуемся формулой (2 64). Но сначала определим дисперсии обобщенных координат.

Для нагрузки, корреляционная функция которой определяется уравнением (2.10), спектральная плотность будет (27 ]

ГДет2 = а2 + р2; а = а2 - р 2.

Подставив это выражение в формулу для определения о^- и взяв с помощью теории

71

Подставив в это уравнение

малы по сравнению с о$-2 , поэтому при определении о£, оставим в Сумме лишь пер­ вый член. Тогда дисперсия прогиба посредине балки будет

13,97(709 • 104Л3 + 8 • 10*Аа + 35.68А+ 2)

Аналогично определяют о^,, надо лишь подынтегральное выражение формулы (2.63) умножить на ш2. Но для узкополосных процессов ’’эффективная” частота uie практически совпадает с несущей частотой процесса и>0 (5). Поэтому,'учиты­ вая данные анализа аналитических выражений и графиков спектральных плот­ ностей "выхода" системы при различных спектральных плотностях "входа” [33, 361, в том числе и для корреляционной функции нагрузки типа (2.10), для случая малых значений а и 0, когда т < uif, в качестве несущей частоты "выхода” системы

которое для приведенных данных при m < u>j принимает вид изе = 1,09

Подставим выражение aw (— ) в уравнение (2.73) :

При графическом решении этого уравнения надо иметь в виду, что А должно быть больше значения А, определяемого из уравнения

т.е. больше А* = 0,252, обеспечивающего статическую жесткость.

72

Графическое решение дает два значения, одно из которых меньше А*,а другое к = 0,313 м.

Таким образом, искомое сечение, обеспечивающее надежность по жесткости

И— 0,99, будет иметь размеры^ = 0,1 м и А = 0,313 м.

Втом случае, когда отказ наступает в результате постепенного на­ копления усталостных повреждений при случайных колебаниях элемен­ тов конструкций, также можно получить достаточно простые расчетные формулы. В этом случае в рамках предположений, сделанных в разд. 2.3, можно записать для надежности

где аБ —определяется по формуле (2.67).

Перепишем уравнение (2.74) в удобном для графического решения виде

Так как тБ и оБ зависят от известных вероятностных характеристик нагрузки и искомых размеров поперечного сечения, то, разрешив урав­ нение (2.75) относительно последних, мы и решим поставленную задачу.

Пример.

На шарнирно опертую по концам балку длиной 4 м постоянного прямоуголь­ ного поперечного сечения действует в середине пролета случайная нагрузка P (t) , представляющая собой нормальный стационарный процесс с корреляционной функ­ цией вида (2.10). Пусть тр = 20 кН; ор = 5 кН. Для корреляционной функции а* = 1 с "'; /3*= 2 с -'.

= Ф(12) = 3840. Подставив эти значения в уравнение (2.75), получим

mpl ■6

Где было учтено, что тБ = ■^ t— .

Для нахождения среднеквадратичного отклонения напряжений аБ воспользуемся уравнением (2.67), определив сначала по (2-63) дисперсии обобщенных координат

2 а* т * 2

о)>Аг (о>)+ 2а*7*Шу + 4а*2ау +——j— )

Подставив

m* 2 = а * 2 + (3*2 = 5; 7 * = б/jr = 0,05;

73

или в сокращенной форме

,S = 1

причем при s = г msr = т г, а прихФ гmsr = 0. Здесьт/ - масса /-й точки системы (/ = 1 ,2 ,..., и) ; Л,у - коэффициент жесткости системы; Pj(t) - стационарные случайные воздействия.

Решение уравнения (2.77) представим в виде ряда

амплитуд перемещений по /-й форме в точке, где расположена масса от, (или /-я форма колебаний). Тогда для /-й обобщенной координаты имеем

Г/ (0 + (и + 'v) wfij (t) = -jyjQj (t) .

ФГ/Г/М= Iя 0'«)12*QjQj (") •

Если предположить, что все силы изменяются одинаково, но с разными дисперсиями, то для обобщенных сил можно принять

75

где

'Mi

Используя связь между спектральными плотностями перемещений и нагрузки,для дисперсии перемещений получим [27]

между отдельными обобщенными координатами. Для систем с малым затуханием взаимной корреляцией обычно можно пренебречь [5, 27] Для нагрузок, корреляционная функция которых описывается выраже­

Для нахождения дисперсий инерционных нагрузок, а затем по ним дис­ персий изгибающих моментов и напряжений воспользуемся обычным представлением [27]

Зная Ор■, легко подсчитать дисперсии изгибающих моментов, перере­ зывающих сил и напряжений.

Если внешние случайные нагрузки различны, но статистически не­ зависимы, т.е.

спектральная плотность для б/ (г) равна

76

Рис. 20. Представление балки в виде трехмассо­ вой системы при случайных колебаниях

Тогда для определения o„s можно пользо­ ваться формулой {2.86) , если в нее вмес-

С помощью полученных формул можно определить размеры поперечного сечения, обеспечивающие заданную надежность эле­ мента конструкции: Если проектируется элемент конструкции по заданной надеж­

ности по прочности, то используют формулы для дисперсии напряжений о |. Если проектируется элемент конструкции по заданной надежности по жесткости, то - формулы для дисперсии перемещений ajj,.

Пример.

На шарнирно опертую балку постоянного прямоугольного поперечного сече­ ния действует в середине пролета случайная нагрузка P(t) , представляющая собой стационарный нормальный процесс, корреляционная функция которого определя­ ется выражением (2.10). Математическое ожидание и дисперсия нагрузки соответ­ ственно равны т р - 20 кН, of> = 25 кН*. Параметры корреляционной функции:

а = 1 с"' ; 0 = 2 с~'.

Определить высоту сечения балки h при заданной ширине Ь = 0,1 м, при кото­ рой ее надежность по жесткости Н = 0,99.

Примем w3afl = 0,001 м; срок службы Т —10*лет = 315 ■10* с. Для решения воспользуемся формулой (2.70)

Найдем дисперсии прогиба посредине балки. Заменим балку трехмассовой систе­ мой, как показано на рис. 20,

7,1*7

ОТ, = 1Я, = 1Я, = 1Я = —-----

Тогда с учетом показанных на рис. 20 форм колебаний можно найти обобщенные массы

Mt = т (1 * + 2г + I 1) = 6 т ;М 2 = т(12 + 0* + 1 *) = 2т \М г = и ( 1 * +

+1* + 11) = Зш

икоэффициенты г)/5

77

Подставив все эти значения в уравнение (2.88), получим выражение для дисперсии перемещений в точке приложения тг :

l6o/>(8923A3 +0,1 • 8923A3 + 4-892A + 200)

= 6360»A3 -8923A3 (8924A4 +0,1 -8923A3 -6 ■8923A3 +0,5- 892A + 25) +

<ф (56413A3 + 0,1 ■56413A3 + 4 ■5641 • A+ 200)

31803A3 ■56413A3 (56414A4 +0,1 -56413A3 -6 • 56413A5 + 0,5 -5641A + 25) '

Приближенно можно считать o^/ow = \ / a 2 + p2 . Подставим дисперсию прогиба в выражение (2.70), графическое решение его дает А = 0,313 м. При графическом ре­ шении уравнения надо иметь в виду, что А должно быть больше корня уравнения

0,001 - = 0,

т.е. больше А* = 0,252 м, обеспечивающего статическую жесткость. Графическое решение дает два корня, но один из них меньше А*, а другой А = 0,313 м. Таким образом, искомое сечение, обеспечивающее надежность по жесткости Н = 0,99,

будет иметь размеры Ь = 0,1 м и А = 0,313 м.

78

ГЛАВА 3.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ

МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ КОНСТРУКЦИИ

3.1. ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ

МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ КОНСТРУКЦИИ

В предыдущих главах мы определяли размеры элементов конструк­ ции, считая надежность величиной заданной, хотя не было ясно, из каких соображений она назначается. Но обычно конструкция — это совокуп­ ность таких элементов, как стержень, пластина, бак, корпус и т.п. И поэтому, говоря о надежности элемента конструкции, мы не можем того же сказать о надежности всей конструкции. Чтобы обеспечить надежность конструкции в целом, очевидно, нужно найти такие надеж­ ности ее элементов, составляющих в совокупности конструкцию, кото­ рые обеспечивали бы ее надежность. Здесь можно пойти и дальше. Искать распределение надежности по элементам не просто для обеспечения надежности всей конструкции, а имея ввиду оптимальное распределение этих надежностей.

Наиболее удобным и важным для летательных аппаратов критерием оптимальности является наименьшая масса конструкции. Предположим, что конструкция состоит из и элементов, связанных между собой извест­ ным образом. Формы этой связи могут быть самыми разными. Будем различать три вида связей элементов конструкции между собой.

1.Система с последовательным соединением элементов (рис. 21, а).

Вэтом случае вся система выходит из строя, если отказал хотя бы один элемент системы. Если в системе отказы элементов статистически неза­ висимы, то надежность всей системы будет [17]

(3.1)

где п - число элементов или подсистем; Я,- —надежность /-го элемента или подсистемы.

б)

Рис. 21. Системы с последовательным (в), параллельным (6) и смешанным соеди­ нением элементов (в)

79

2. Система с параллельным соединением элементов (рис. 21, б). Такая система выходит из строя только в случае отказа всех ее элементов. При условии, что отказы элементов статистически независимы, надеж­ ность всей системы будет [17]

1—1

3.Система со смешанным соединением элементов, в которой часть

п - число элементов, соединенных последовательно; Я,- —надежность /-го последовательно соединенного элемента; к - число элементов, соединенных параллельно; Н* — надежность /-го параллельно соединен­ ного элемента.

Может быть поставлена прямая задача оптимизации [26]: найти такие значения надежности элементов конструкции Я ,, Я 2, ..., Нп, которые обеспечивали бы минимум функции массы всей конструкции при нало­ женных ограничениях на ее надежность

Может быть поставлена и обратная задача: найти значения надеж­ ностей элементов Я ,, Я 2, .... Я л, обеспечивающих максимум функции надежности всей конструкции при наложенных ограничениях на ее массу

Решение обеих задач аналогично.

Рассмотрим решение прямой задачи оптимизации распределения на­ дежностей элементов [26]. Для этого воспользуемся методом неопреде­ ленных множителей Лагранжа. Составим вспомогательную функцию

для оптимальных значений надежностей элементов следующую систему уравнений:

80