книги / Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях
..pdf1 Ь-а
0 |
0 |
i X |
|
Рис. 32. Равномерное распределение |
Рис. 33. Треугольное распределение |
||
5. Треугольное распределение (рис. 33) характеризуется
|
О |
п р и х < а ; |
|
||
|
4 (х - а ) |
, |
_а + b |
||
|
(ft ~ а ) г |
при а < х < |
— — ; |
||
/(* ) = |
|
|
|
||
4 (ft-x ) |
при |
|
< х< Ь ; |
||
|
|
||||
|
(Ь - а ) 2 |
|
|||
|
|
|
|
||
|
О |
при* >Ь\ |
|
||
|
О |
при х < а; |
|
||
|
2 (х -а)2 |
при а <х < |
I + ft |
||
|
ОЬ~аУ |
|
|||
F(x)=< |
|
|
|
||
, 2(ft-x)2 |
« + ft |
^ |
|||
|
|||||
|
1- -------- — при —------ <х<Ъ\ |
||||
|
(Ь-а)2 |
У |
2 |
|
|
(П.50)
(П.51)
прих >Ь.
Параметры этого распределения следующие:
_ |
а + |
Ь |
(ft - а ) 2 |
|
|
т -----------------, D X - |
— - ------;мз = 0 ; |
|
|||
|
|
|
24 |
|
|
Д4 |
(& - а ) 4 |
&“Л |
(П.52) |
||
|
S |
~ |
|
|
|
|
240 |
|
%/"б”(ft + в) |
|
|
Sk = 0 ; E = 2,4. |
|
|
|
||
6. Гамма-распределение (рис. 34)): |
|
||||
|
|
,а+ 1 |
“ e_Jf^ |
при х > 0; |
|
/ ( * Н |
|
|
|
(П.53) |
|
а!<} |
|
п р и * < 0, |
|||
|
О |
|
|
|
|
причем 0 > 0 и а > - 1; |
|
|
|
||
F(x)= |
[ — -------- xatT*/Pdx= — Гх / р(а+1) |
(П.54) |
|||
|
О |
а! 0в+ |
1 |
а! |
|
где Гх/п(а + |
1) - |
неполная |
гамма-функция, табулированная |
Пирсо |
|
ном [39]. |
|
|
|
|
|
111
Для этого распределения [39] |
|
|
||
тх = 0 ( а + 1); |
Dx = 02 (ос + 1) ; |
|
|
|
Дз = 203 (а + 1); д4 = Зр{а + 1) (а+ 3); Ах = |
1 |
(П.55) |
||
ч/сГ+Т |
||||
|
,Е = |
|
||
** = |
|
|
||
л/сГГТ |
а+ 1 |
|
|
|
Если а — целое число, то неполную гамма-функцию можно не искать, так как в этом случае
J |
---- 1------ - |
x ae~x l ^dx= 2 |
e"f/0 ( i ) ' - L . |
* |
a ! 0o,+ 1 |
i = 0 |
fi /j |
7. Экспоненциальное распределение (рис. 35) :
Xe"X(jc_a) |
при х >а |
/ ( * ) = • |
п р и х < а |
0 |
|
> |
|
1 _ е” Х(х - а ) |
п р и х > а |
F( x) = - |
п р и х < а |
0 |
Параметры этого распределения следующие [39]:
тх = 1/Х + а;/)* = 1/Х2;
д3 = 2 /Х 3; д 4 =9/Х 4 ;/1* =
т +а
Sk = 2-E = 6.
(П.56)
(П.57)
(П.58)
(П.59)
112
Рис. |
35. Экспоненциальное распреде |
Рис. 36. Распределение Вейбулла |
|||||||
ление |
|
|
|
|
|
|
|||
8. Распределение Вейбулла (рис. 36) : |
|
||||||||
|
|
А (х - у ) Р - 1ехр[ - -(* |
? —] |
при* >7; |
|||||
т = |
|
а |
|
|
|
|
|
(П.60) |
|
О |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
при* < 7 ; |
||
|
= < |
|
|
|
|
|
|
при* ^ 7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(П.61) |
||
П * ) = |
|
О |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
при* < 7- |
|
Параметры этого распределения для случая 7 = 0 [39]: |
|||||||||
т , |
= « 1/РГ(1+ |
j ) ; |
|
|
|
|
|||
Dx = a 2'^[Г(1+ |
I ) |
- { Г ( 1 + |
- i ) } 2]; |
|
|||||
Л |
. - Л |
Е |
Е |
7 |
, . |
|
|
|
|
|
|
r ( i |
+ А |
) - з.г (1 + А |
)Г(1 + 1 ) |
+ г[г(1 + I ) ) 3 |
|||
$* = |
|
|
|
|
|
|
|
(П.62) |
|
|
|
|
|Г(1+^ "{Г(1.+}>Г'3/2 |
||||||
Е= |
Г (1 + А ) - 4 Г ( 1 + j ) r ( l + j ) |
|
|||||||
|
|
2 |
Г ' |
1 |
122 |
|
|||
|
|
| г ( 1 + _ ) - | г ( 1 + |
|
)] , |
|
||||
113
6 Г ( 1 . |
£ ) { ■ - « ♦ |
|
^ . ) } ’ - з { г ( | * |
|
|
+ |
2 |
f |
1 |
)2 2 |
-3 . |
[ г (1 + F ) - | r a + 7 |
)J , |
|
|||
Для некоторых значений 0 величины некоторых параметров распределе ния Вейбулла приведены в табл. П.1 [21 ].
9. Распределение х2 -Пирсона (рис. 37):
1 |
2 / 2 у х / 2 |
2 " / 2 Г ( - £ )
/(* ) =
0
0
|
1 |
^ { х 2 |
< * } |
- |
2 " / 2 г ( | ) |
|
|
7 |
( f . |
|
т » |
п р и * |
> 0 ; |
|
( П . 6 3 ) |
п р и * < 0 ; |
|
|
п р и *• < 0 ; |
f e ^ / 2 |
f T ~ ldt = |
0 |
|
|
( П . 6 4 ) |
при * > О,
' «т>
где у( ~Y . —у ) —неполная гамма-функция, табулированная Пирсоном
[39].
Параметры этого распределения следующие: [39]
™х = »\Ох = 2v\ д3 = 8и;
д4 = 12t»(t» + 4); Ах = |
у/ 2 [ р \ |
(П.65) |
Sk = 2 yfT f^\ Е — 12/ |
V. |
|
10. Распределение Релея (рис. 38) является частным случаем распре деления Вейбулла при 7 = 0; 0 = 2; а = 2а2:
т = |
х |
г х |
при* < 0 ; |
(П. 66) |
|
при * > 0 ; |
|||||
|
|
|
|
||
П х ) = ‘ |
1 -е х р [-^ - г ] |
при* < 0 ; |
(П.67) |
||
при * > 0 . |
|||||
|
|
2« |
|
|
|
114
|
|
|
|
|
|
|
Таблица П.1 |
0 |
тх |
1 |
Dx |
2 |
1 |
|
£ + 3 |
1 F = r ( 1 + - ) - т о = I Г (1 + —) - Г 2 (1 + |
) |
Sk |
|||||
|
а р |
0 |
otilP |
М /3 |
0 |
|
|
0,5 |
|
2,000 |
|
20,000 |
|
6,614 |
87,72 |
1,0 |
|
1,0000 |
|
1,000 |
|
2,00 |
9,0 |
2,0 |
|
0,8862 |
|
0,215 |
|
0,626 |
3,28 |
3,0 |
|
0,8934 |
|
0,105 |
|
0,454 |
2,672 |
3,5 |
|
0,8998 |
|
0,081 |
|
0,026 |
2,742 |
4,0 |
|
0,9064 |
|
0,065 |
|
-0,062 |
2,925 |
5,0 |
|
0,9182 |
|
0,044 |
|
-0,333 |
2,938 |
6,0 |
|
0,9275 |
|
0,033 |
|
-0,905 |
3,624 |
10,0 |
|
0,9514 |
|
0,013 |
|
-1,000 |
9,00 |
20,0 |
|
0,9730 |
|
0,004 |
|
-2,000 |
25,000 |
Параметры этого распределения следующие [38]: |
|
|
||
тх = а / 1 = 1,253а; Я , = а2 (2 - у |
) = (Q.6551а)2; |
(П.68) |
||
Л* =0,52; Sk =0,63; £ = -0,3. |
|
|
||
|
|
|
||
11. |
Распределение Эрланга - частный |
случайгамма-распределения |
||
(а = а - 1 ; Д= 1/Х) при целочисленных а: |
|
|
|
|
|
0 |
при* < 0 ; |
|
|
№ |
= '■ XV7' 1 .-Хх |
при х |
> О |
(П.69) |
|
(а - 1)! |
|
||
|
|
|
|
|
(а = 1,2,3,...).
Рис. 37. Распределение х*-Пирсона |
Рис. 38. Распределение Релея |
115
Параметры этого распределения:
тх = а/ X; Dx = а/ X2; д3 = 2а/ X3;
д4 = За(а + 2)/Х4;Л* = Ц y/a^,Sk = 2/ yja ;
Е= 6/а.
12.Распределение наибольших
/(* ) = -4- ехр(-^ - е - ^); £ (х ) = ехр( -е *),
х - а |
°°<лг < |
|
|
где ^ = р |
|
|
|
и наименьших значений |
|
||
/(* ) = -J - ехр(у - е>>, |
|
||
F ( x ) = l - e x p ( - e >'); |
|
||
m* = а |
±0,577/3; Л* = -------- 2Ё---------- ; |
|
|
|
|
s/T(а ±0,577/3) |
|
Dx = |
|
Sk = ±1,3; £ = 2 , 4 , |
|
знак ”+” относится к распределению наибольших, а знак |
- к распре |
||
делению наименьших значений. |
|
||
П.2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Случайными функциями называются функции, значения которых при фиксированных значениях аргументов являются случайными вели чинами [34]. Как известно, в общем случае для полной характеристики случайной функции необходимо задать всю последовательность ее зако нов распределения
f ( x i . x 2......х„, t x, t 2.......t„) |
(П.72) |
для всех значений п.
Однако для практических приложений описание случайной функции при помощи л-мерных законов распределения часто оказывается слож ным. Поэтому вместо самих многомерных законов распределения в большинстве случаев ограничиваются заданием соответствующих чис ловых параметров этих законов подобно тому, как в теории случайных величин часто вместо закона распределения этих величин указывают соответствующим образом выбранные параметры этих законов. В качест
116
ве таких параметров можно выбрать различные величины, однако наибо лее удобными являются начальные (или центральные) моменты различ ных порядков, т.е. математические ожидания произведения соответст вующих степеней ординат случайной функции, определяемые равенством [9,34]:
<*«,. .2...... |
>п = * { [* (* ,)]'« [X(t2))i2 ... |
[*(*„)]'«), |
(П.73) |
где порядком момента называется сумма показателей степеней /, + /2 + ...
... + М - символ математического ожидания.
Из бесконечного числа моментов наиболее важными, с точки зрения характеристики случайной функции, являются моменты первого-и вто рого порядка. Момент первого порядка а , = Л/ {л((г,)} является мате матическим ожиданием ординаты случайной функции в произвольный момент времени.
Так как математическое ожидание, вообще говоря, зависит от выбранного значения t ,, то в дальнейшем мы будем обозначать его сле дующим образом:
mx (t) = M{x(t)}. |
(П.74) |
Функция тх (t) уже не является случайной и в соответствии с понятием математического ожидания полностью определяется законом распреде ления первого порядка[34]
тх ( 0 = lxf(x/t)d x . |
(П.75) |
—оо
Начальные моменты второго порядка могут быть двух типов: второго порядка одной из ординат случайной функции
а2 = м { х ( г {)2} |
(П.76) |
и смешанные моменты второго порядка
= |
(П.77) |
Очевидно, момент а 2 зависит от одного аргумента t ,, а смешанный на чальный момент ct| ] от двух аргументов f| и t2. Вместо начальных мо ментов чаще применяются центральные моменты второго порядка:
D[X(t)]~M{\X(t) - m * (r )]2J ; |
(П.78) |
K (tu Г2)= Л /{ [* (М - ш * (М Р Г (г2) - т л (г2)]). |
(П.79) |
Как видно из выражений (П.78), (П.79) D[X(t) ] является дисперсией случайной функции X (t) , а К (г,, t2) —моментом связи случайных ве личин Jf(Ji) и X (t2). Функцию К ( t,, t2) в теории случайных функций называют корреляционной функцией. Через законы распределения они могут быть записаны следующим образом [34]:
D[X(t)]= / [X(t)-mx (t)ff(xlt)dx- |
(П.80) |
— оо
117
*(f i . fa) - Я [ * ('i) |
(f i)Pf(fa) ~ m x (fa)l X |
|
—oo |
|
|
X f ( x J, x 2l t l , t 2)dxl dx2. |
(П.81) |
|
Раздел теории случайных функций, оперирующий только с момен тами первых двух порядков, носит название корреляционной теории случайных функций.
Моменты первых двух порядков являются значительно менее пол ными характеристиками случайной функции, чем ее л-мерные законы распределения, однако во многих практически важных случаях они пол ностью определяют случайную функцию, в частности, когда случайная функция распределена нормально. В практических приложениях боль шую роль играют стационарные случайные функции, т.е. функции, у которых статистические свойства не зависят от аргумента.
Для стационарных функций [34]
|
ее |
|
|
тх (0 = |
! xf(x)dx = const; |
(П.82) |
|
— ОО |
|
|
|
D[X(/)] = |
оо |
(X ~mx )2f(x)dx = const; |
|
/ |
(П.83) |
||
|
—оо |
|
|
К (f 1»f j ) = JJ |
(Jfj - тх )(Х2 - т х) X |
|
|
|
оо |
|
|
X f [ x t, x 2/ (Г2 - t t )]dx,dx2 = K (t2 -1,) = К(т), |
(П.84) |
||
T = t 2 - г , . |
|
|
|
Стационарные случайные процессы, которые обычно встречаются в тех нических приложениях, часто обладают свойством эргодичности. Важной особенностью эргодичных случайных процессов является то, что при вы числении их характеристик возможна замена осреднения по множеству реализаций осреднением по времени одной достаточно длительной реа лизации [9]
(П.85)
(П.86)
На практике часто возникает задача определения вероятностных харак теристик какой-либо случайной функции Y(t) по известным вероятност ным характеристикам случайной функции X (t) при известной связи между функциями X ( t) и Y(t). Оставаясь в рамках корреляционной теории, это значит, что необходимо определить
my (t) и. K j,(fi.fa).
Если ’’вход” X( t ) и ’’выход” У(0 связаны линейным оператором, т.е.
(П.87)
118
тр можно показать [9 ], что |
|
my (t) = L [w* (r)j, |
(П.88) |
h ) = L ^ ^ L ^ [ K x (tu f2)j, |
(П.89) |
т.е. для нахождения математического ожидания |
Y (г) нужно применить |
тот же оператор L к математическому ожиданию случайной функции X (г). Для нахождения корреляционной функции нужно дважды приме нить тот же оператор к корреляционной функции ’’входа” сначала по од ному аргументу, затем по другому. Но непосредственное использование связей между корреляционными функциями ’’входа” и ’’выхода” часто встречает значительные вычислительные трудности. Поэтому на практике пользуются различными модификациями корреляционного метода, в частности, методом канонических разложений [9].
Наибольшее распространение получил спектральный метод. Предста
вим корреляционную функцию К (г) |
при помощи косинус-преобразова |
|
ния Фурье [9] |
|
|
К (т) = j Ф(со) cos штёш. |
(П.90) |
|
Обратное преобразование будет иметь вид |
||
Ф(оо) = |
^ К (т)coscJTdr. |
(П.91) |
Вновь введенная функция Ф(со) называется спектральной плотностью стационарной случайной функции и при т = О (П.90) будет представлять собой дисперсию случайной функции
K(0) = J<t>(оо)Ло = D. |
(П.92) |
Такое представление корреляционной функции в виде спектрального разложения очень удобно потому, что между спектральными плотнос тями ’’входа” и ’’выхода” существует очень простая зависимость [9]
♦ ,,( « ) = |
|Я ( /ы ) |аФх (ы), |
(П.93) |
|
где Фс(о;) - |
спектральная |
плотность ’’входа” ; |
(ш) - спектральная |
плотность ’’выхода” ; H (iос) |
- частотная характеристика системы, пред |
||
ставляющая собой реакцию системы на единичное гармоническое воз действие с частотой CJ.
По найденной спектральной плотности "выхода” легко найти либо корреляционную функцию (П.90), либо дисперсию (П.92). Приведем примеры наиболее употребительных нормированных корреляционных функций и соответствующих им спектральных плотностей [16] (табл. П.2):
119
* (т )
е - а |т |
е - « ы COS0T
e - “ v COS0T
sinar
at
sinar ■(2cosar - 1 ) ar
e ““ M 0 0
(cos r + ^ -sin |r |)
e 'a M |
(cos0T -y -sin 0|r |) |
e - “ M |
(ch0r + — sh0|r |) |
e - “ M |
(ch0T- j - sh0|r |) |
Таблица П.2
Ф (и)
2_ а
па2 + и)1
а ч/iT” |
|
|
4а1 |
|
|
a |
|
w l + a2 + p2 |
|
||
n |
(cj5 |
~a2 ~P2)2 + 4a2 ш2 |
|
||
|
1 |
je x p , - (" + » ’ ,+ e x p , - - ^ | |
|||
2a\Zir” ^ |
|
4a’ |
4a5 J |
||
— (0 < |
w |
< |
a) |
|
|
a |
|
|
|
|
|
-i—(a < |
w |
< |
2a) |
|
|
a |
|
|
|
|
|
4 |
|
a (a* + f}2) |
|
||
n |
(и* ~a2 ~P2)2 + 4a2 w 2 |
|
|||
4aw2
nl(ui2 + a2 + p2)2 ~4p2w 2\
2a (aJ - p 2) |
|
|
|
JT[ (a ~p)2 + |
][ (a + |
p)2 + |
| |
|
2aw l |
|
|
jr[ (a ~p)2 + |
][ (a + |
p)2 + |
ы 2J |
Для оценки надежности конструкций приведем некоторые сведения, необходимые при решении задачи о выбросах. К ним относятся задачи об определении вероятности выброса значений случайной функции за дан ный уровень, нахождение среднего времени пребывания случайной функ ции выше заданного уровня, определение закона распределения времени пребывания случайной функции выше заданного уровня и т.п.
Пусть X (t) - непрерывный случайный процесс; а - значение орди наты функции X (f), выбросы за которую нас интересуют. Для решения задачи необходимо знать совместный закон распределения /(*, х, t) для функции и ее производной X (Г), зависящей от t как от параметра.
120