книги / Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях

что совпадает с результатом (1.34), полученным ранее. В безразмерной форме уравнение (1.38) имеет вид

и

3. Нагрузка распределена по закону распределения наибольших зна­ чений (двойное зкспоненциальное распределение), несущая способ­ ность - по нормальному закону

С учетом того, что S= Kq, для закона распределения S имеем

где Pi — Kp3 ; a j — K a 3 .

Используя (1.4), для надежности можно записать

J Л (Л)[ J / , (S)dS]dR = J Л (/?)F, (Л)Л?.

Для рассматриваемого закона распределения напряжений

F i (R) = e x p [ - e x p ( - ^ - ^ i )].

21

В безразмерной форме с учетом того, что/я. = а3 + 0,57703, оа = 1,28303,

Проведя аналогичные выкладки для различных сочетаний законов распределения нагрузки и несущей способности, когда не удается анали­ тическими методами взять интеграл в выражении для надежности, мож­ но получить подобные же выражения для определения К (эти результаты приведены в табл- 1-2).

По этим выражениям для различных сочетаний изменчивости нагруз­ ки Aq и несущей способности AR , определив значение интеграла для ряда значений п методами численного интегрирования, можно построить гра­ фики зависимости п = /(Я ), которыми удобно пользоваться при рас­

четах.

Пример.

Цилиндрическая оболочка радиусом г = 1 м нагружена внутренним давлением q, величина которого случайна, с нормальным законом распределения с параметра­ ми rriq = 1,8 МПа, Oq = 0,036 МПа. Несущая способность материала оболочки слу­ чайна и распределена по закону Вейбулла с параметрами 0 = 3, Л0 = 670 МПа, о = 2263 МПа3.

Подобрать толщину оболочки И таким образом, чтобы надежность ее Язад == = 0,9985. Учет случайного разброса толщины оболочки провести с доверительной вероятностью Я/, = 0,9986, т.е. Язаа1Ц, = 0,9999.

Воспользуемся данными табл. 1.2. Для рассматриваемых параметров законов распределения имеем Г = 0,8934, Г * = 0,324,

Определив значение интеграла для ряда значений п методами численного интегриро­ вания и построив график зависимости л = /( Я ) , найдем для надежности Я = 0,9999 значение п = 1,3. Тогда для К имеем

Для рассматриваемой оболочки К = r/h, отсюда/) = r/К = 2,67 ■10"3 м. В предпо­ ложении нормального закона распределения значения толщины оболочки с коэф­ фициентом вариации 4^ = 0,033 и доверительной вероятности Щ =< 0,9986 (для которой 7 = 3 ) по формуле (1.12) для номинальной толщины можно получить

*ном = “j----- ~т —2,97 ■10-3 м. 1 - у Ah

Таким образом, для искомой толщины имеем (2,97 ± 0,3) • 10"3 м.

4. Нагрузка и несущая способность распределены по логарифмичес­ ки нормальному закону

22

5. Нагрузка распределена по нормальному закону, а несущая способ­ ность - по закону Релея

Для этого случая надежность определяют по следующему выражению [31]:

После несложных преобразований это выражение можно представить в виде, удобном для графического решения,

H2 (2mR + itntqAq К2) = 2тR exp( - 1 ■)• (1.42)

2"R

+ A i

m iqK 2

Графическое решение данного уравнения позволяет получить искомое значение К. При малых изменчивостях нагрузки Ад для определения К можно использовать приближенную формулу

Зная К, легко найти размеры поперечного сечения.

6. Нагрузка распределена по закону Релея, несущая способность - по нормальному закону

23

После несложных преобразований это выражение можно представить в виде, удобном для графического решения,

+ A i

1Гт%

в результате которого получают искомое значение К. При малой измен­ чивости несущей способности AR для определения К можно применять приближенную зависимость

Пример.

Прямоугольная пластина длиной а = 2 м и шириной b = 1 м, шарнирно опер­ тая по трем сторонам и защемленная по четвертой стороне, нагружена распреде­ ленной нагрузкой, меняющейся по треугольному закону, величина qa которой слу­ чайна с релеевским законом распределения с параметром а3 = 0,06 МПа (рнс. 4 ).

При в, = 0,6 МПа имеем mq = 1,253 • 0,06 = 0,075 МПа. Несущая способность материала пластины R случайна и распределена по нормальному закону, имеющему

Рис. 4. Схема нагружения прямоугольной пластины рас­ пределенной нагрузкой, меняющейся по треугольному

азакону

24

Графическое решение полученного уравнения дает К -- 2S43. Для рассматриваемой пластины имеем [28 ]

К = 6 ■0,084а2 / А1, отсюда А = У —-2’^ Z E = 2,8 ■10'* м.

7. Нагрузка распределена по экспоненциальному закону, а несущая способность подчиняется гамма-распределению

/ з ( < 7 ) = Х з е - ^ ;

Так как S = Kq, то для напряжения S по (1.29) в качестве закона распре­ деления имеем

Л Ф ^ е - ^ . г д е Х , = \ 3/К.

Тогда используя (1.4) и проведя преобразования, аналогичные сделан­ ным ранее, можно получить [21 ]

1 - а+У~Гчн ■

Пример.

Стержень растянут силой Р, величина которой случайна и распределена по экспо­ ненциальному закону, имеющему параметр распределения Л, == 10~4 1/Н. Несущая способность материала стержня также случайна, но подчиняется гнмма-распределе-

25

8. Нагрузка подчиняется гамма-распределению, а несущая способ­ ность - экспоненциальному закону

Пример.

Прямоугольная пластина, у которой b <а, имеет две шарнирно опертые сторо­

ны, одну защемленную и одну свободную (рис. 5 ). Посредине свободной стороны приложена сосредоточенная сила Р, величина которой случайна и распределена по гамма-распределению с параметрами а = 3; 05 = 5000 Н. Несущая способность ма­

териала пластинки также случайна с экспоненциальным законом распределения,

г^ 400 МПа

Необходимо определить толщину пластины А, при которой ее надежность по прочности Н = 0,99.

26

В этом случае/з (<7) и / 2 (Ю описываются выражениями вида (П.29)

Л 1 и Л2 —точки усечения слева и справа соответственно. Значение интег­ рала, входящего в выражение надежности, можно рассчитать лишь чис­ ленными методами с помощью ЭВМ, пользоваться этим выражением для нахождения искомого К крайне неудобно. Поэтому для высоконадеж­ ных систем, когда точка усечения слева R\ достаточно близка к mR (рис. 6), в качестве нижней оценки для надежности можно записать

' Пример.

Найти толщину стенки А трубопровода диаметром d = 5 см, обеспечивающую

надежность Н = 0,999. Трубопровод выполнен из стали, несущая способность кото­ рой случайна, и нагружен внутренним избыточным давлением q, величина которого случайна с нормальным законом распределения с параметрами та = 1 0 МПа; о„ =

Как известно из теории безмоментных оболочек, К = djTh. Отсюда А = —~г =

5 io-J

= 0,182 • 10-1 м.

27,4

Для сравнения найдем толщину стенки трубопровода без учета усечения за­ кона распределения несущей способности.

27

fWifrsj

Коэффициент К определим по уравнению (1.18), подставив в него следующие значевния:

“ = 90,39 МПа1; д = 3,62 • 104 МПа1; f = 4 • 103 МПа1,

к = 4 ' J° 3 “ / 1 6 • 10* - 4 • 90,39 • 3,62 • 104

2• 90,39

адля толщины стенки получим

Таким образом, учет усечения распределения несущей способности слева (а это означает отбраковку трубопроводов, у которых несущая способность меньше Л ,) приводит к уменьшению толщины стенки на 9 % при той же надежности.

10. Нагрузка и несущая способность подчиняются гамма-распреде­ лению

Проведя соответствующие преобразования,из (1.4) можно получить[31]

где /§ [(а 2 + 1) (аз + 1) ] —функция, определяемая по специальным таб­ лицам.

Она представляет собой отношение функций Эйлера первого и вто­ рого рода

8

(1.57)

(1-58)

28

Рис. 7. Схема нагружения круглой пласти­ ны равномерно распределенной нагрузкой

Схема решения выглядит следующим образом. Из условия /{ [(а 2 + 1) X X (аа + 1) ] = 1 - Н по специальным таблицам [6], зная а 2 и а 3, ищут па­

& а - в ) '

Пример.

Круглая пластина диаметром 1 м нагружена равномерно распределенной наг­ рузкой q, величина которой случайна и подчиняется гамма-распределению с пара­ метрами а3 = 10 и 0з = 0,2 МПа (рис. 7 ). Несущая способность материала пласти­

ны также случайна и имеет законом распределения гамма-распределение с пара­

Очень часто бывает неудобно использовать в расчетной практике специальные таблицы табулированных функций. Во-первых, они не очень широко распространены и не всегда доступны. Во-вторых, в тех случаях, когда расчет надежности является частью расчета конструкции на ЭВМ, использование табулированных функций затруднено. Поэтому можно ис­ пользовать приемлемо точную аппроксимацию параметра 8 функции Уб[(а2+ 1) (а3 + 1) ] и гауссовского уровня надежности у*

* Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.832 с.

29

Рис. 8. Зависимость относительных размеров поперечного сечения от надежности по проч­ ности для различных комбинаций законов распределения нагрузки и несущей способ­ ности:

1 - экспоненциальный - экспоненциальный;

2 — распределение Релея - распределение Релея; 3 - логарифмически нормальный - лога­ рифмический нормальный; 4 — экспоненци­ альный - гамма-распределение; S - распре­ деление Вейбулла - распределение Вейбулла; 6 - гамма-распределение - экспоненциальный

В безразмерной форме с учетом того, что п = mRIKmq,

mR ~ 02 (<*2 + 1) , mq = 0з (а3 + 1), для п можно получить: п = e2w.

Расчет по этим зависимостям будет выглядеть следующим образом. По заданному Н находят t, затем у, после этого, найдя X и А, подсчиты­ вают w. Зная vv, определяет п и К = mR/nmq . Имея значение К, легко найти размеры поперечного сечения. В частности для вышеизложенного примера для Н = 0,997 t = 3,40856, у т 2,74979, X = 7,602, А = 19,95, w = 0,6454, п = 3,636, тогда

0.2 • 11 ■3,636

Для удобства использования результаты, полученные в данном разделе и полезные в практических приложениях, сведены в табл- 1.2.

На рис. 8 показаны графики зависимости относительных размеров поперечного сечения А/А* от надежности по прочности для различных комбинаций законов распределения нагрузки и несущей способности. Здесь А* — размеры поперечного сечения, подсчитанные при значениях нагрузки и несущей способности, равных их математическим ожида­ ниям. Для наглядности по оси абсцисс откладывается величина -lg (1-И).

30