книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии
..pdf
|
2а3у 2 |
] |
. 0,0787е® |
Г |
|
а4 |
|
|
** |
|
|
|
|
||
15 (х2 + у 2) 2 I-1" |
h |
[35 (*2 + |
у 2) |
3 ( х 2 + |
|
у 2) |
|
||||||||
|
2а2х* |
|
|
2а° |
|
|
|
|
|
8а4*1 |
|
|
. |
|
|
|
15 (х2 + |
у 2)2 |
|
315 (х2 + |
у 2)2 |
|
|
105 (*2 + У2)3 |
|
|
|||||
|
16а0.*2 |
|
|
16а«х* |
|
|
1 |
0,0098е° |
w |
|
|||||
+ |
315 (х2 + у 2) 3 |
з15(*2 + |
г/2)° |
1 1 |
h |
|
|
Х |
|
||||||
|
а 4 |
|
у 4 |
|
|
|
2а2у* |
|
|
2а° |
|
|
|||
35 (х2 + у 2) |
з (*2 |
у 2) |
|
15 (*2 + |
г/2)2 |
315 (х* + |
у 2)2 |
||||||||
|
8aV |
|
, |
16а 3у 2 |
|
|
|
16а®*/4 |
|
1 |
|
||||
|
105 (х2 + |
у 2) 3 |
1 |
315 (х2 + |
у 2) 3 |
|
315 (*2 + |
у 2)4 |
J |
|
|||||
0,1181еб |
Г |
а4 |
1 и2\ |
|
|
х2у 2 |
|
|
2х 2у 2а2 |
|
. |
||||
|
Л |
1ПК{л,2 |
|
Я |
/V2 |
1 <24 |
1К/~2 |
1 ..242 |
1 |
||||||
|
[105 (*2 + t/2) |
|
3 (*2 + |
у2) |
15 (*2 + |
у2 2 |
|
||||||||
|
2а° |
|
8а4х202 |
|
|
|
16а°*2</2 |
] \ . |
|
||||||
т" |
315 (*2+ у2)2 |
105 (дс2+ |
j/2)3 |
|
315(*2 + i/2)4J |
/ ' ,“ |
|
||||||||
|
|
+ |
0 (ee)j — 0(1), |
е = |
£ , |
|
|
|
(V.36) |
||||||
где 0(1) — величина, |
ограниченная |
при |
V x2 + |
у2 |
а. |
||||||||||
Используя уравнения (V.28), соотношения (V.18) и (V.36), для определения предельного значения внешней нагрузки р = р * находим
р* = |
2<гт [sin 2a* + У sin2 2a* + l8am~2a2TK icf (a*)]- ' |
|
(V.37) |
m = ^ |
[1 — e3 (0,0638 - f 0,0605 e2 + 0,0522e4) -j- 0 (e8)]. |
В этом случае угол ср*, характеризующий место на чального распространения трещины, равен 0 и я. Если
е—»-0 и |
оо, вторая формула (V.37) |
преобразуется |
к виду |
т — 1,2732, |
(V.38) |
|
что соответствует случаю неограниченного тела с дис кообразной трещиной и совпадает с формулой (11.45) при (JT= 2 TS. Е сли е ^ О Д то с достаточной для практи ческих целей точностью вместо формулы (V.37) можно пользоваться равенством (11.45).
ill
Хф[Е + ih У з , ( - l)I+/n + 3jh - ( - |
1)'-+/ 4- - |
4 ] X |
|||
x |
(* |
(y- |
В)2d^ } |
’ |
^V -39) |
где Д0 — область |
круга £2 + |
tf ^ |
а2. |
|
|
Интегральное уравнение (V.39) будем решать мето дом простой итерации, процесс которой сходится.
В результате громоздких преобразований и вычисле
ний, а также использования формулы |
(V.39) для |
при |
||||||||
ближенного |
определения |
(с |
точностью |
до малых |
вели |
|||||
чин порядка |
0(е6)) |
нормальных напряжений GZ{ X , у, 0) |
||||||||
получим такую |
формулу: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1<*-«■'°>:= |
„ |
у |
, |
{(“ |
- |
|
х |
|
|
|
X arcsin |
y j |
p |
=f ) [! + е3 (о,1938 — 0 , 0 6 3 0 + |
|
|||||
+ |
0,05351- + 0,1294 -g-jj+ е4|о,0630 3(*2 + У2) + |
|||||||||
+ |
0.05356 |
3 (Х2 + у 2) |
+ 15 (*2 + |
— |
15 (**+0*)? ) + |
|||||
|
+ 0,12946 f- ^ Й |
у 2) |
1 |
15(х2+ г/2) |
|
|||||
|
|
|
I |
3 (х2 + |
|
|||||
|
|
|
|
2а3у2 |
|
|
|
|
(V.40) |
|
|
|
|
15 {х2 + |
у2)2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь е = а /? -1< 1 ; R — радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник с длинной стороны 2h.
На основании соотношений (V.18), (V.28) и (V.40)
ДДВ вычисления предельного значения внешних |
усилий |
р = р . находим следующую приближенную формулу: |
|
р =s 2<гт[sin 2а* + Уsin2 2а* + 18mT2aOjKicf (а*)]-1; |
|
|
(V.41) |
лГ‘ = у п [1 + е3 (0,1938 + 0,0420е + 0,0812е2) + |
0 (е6)], |
3 Угол ф*, определяющий место начального распростра нения трещины, будет равен я/6, 5л/6, Зл/2. Если е^0,3, то с достаточной для практических целей точностью (по грешность не превышает 1%) для определения предель
Уравнение (V.42) решаем методом последовательных приближений, процесс которых сходится. На основании этого, а также пользуясь зависимостью (V.33), для опре деления нормальных напряжений az(x, у, 0), действую щих в поперечном сечении бруса с трещиной, получаем (с точностью до малых величин порядка е8) формулу
+'** + »■ - а * X
|
х arctg ______а_____ |
1 + |
0,2393б3 + 0,0304еб + |
||||||
|
|
V х2 + |
(/* |
-^ " а 2 |
|
|
|
||
+ |
0,0574ев+0,0059б7 + |
е3(*^+у2) (0,0759 + 0,0412;) + |
|||||||
|
+ .?*. <*.+ £) |
0,0557. |
0.128UW. j _ аеб (0,0253 + |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Л4 |
|
|
+ |
0,0138е2)— |
0,^ |
eJf |
|
— 0,0074е7а — |
0,0186£ ( * + & + |
|||
|
|
ъ*х2у 2 |
|
|
г ’ах2у2 |
|
е7а5 |
||
-Ь 0,0798 h (x 2 + |
y 2) |
0,0320 W + W |
0,0015 (** + »*)* |
||||||
I |
л п] о о |
& !а 3х 2у 2 |
I |
л |
0 1 9 9 |
с7о6^г{/2 |
- + |
0(е8)| + 0(1), |
|
+ |
0,0183 |
ф + |
+ |
0,0122 |
(x2 + i/2)4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/______(V.43) |
где |
0(1) — величина, |
ограниченная |
при |
у х2+ у2->• а; |
|||||
е = ah~l.
Подставляя соотношение (V.43) в равенство (V.18) и решая уравнения (V.28), предельное значение внеш них усилий р= р* определяем следующим равенством:
р* = 2<хт[sin 2а* + V sin2 2а* + 18m 2aa\K\cf (а*)]
|
(V.44) |
т= |
[1 — е3 (0,2393 + 0,08 Юе2 + 0,0592е4) + 0 (е8)], |
где угол ф* равен 0; л/2; л и Зл/2.
Точность результата, получаемого по формуле (V.44), уменьшается при е->1. Для достижения замкнутости ре шения, включающего величины е, близкие к единице, по ступим следующим образом. Заметим, что в граничном случае рассматриваемой задачи при е-^1 из соотноше ния (V.44) должно следовать предельное значение внеш
форму поперечного сечения бруса и, следовательно, находить предельное значение
нагрузки р = р * по формулам (V.37), (V.41), (V.44) и (V.47).
3.Разрушение неограниченного слоя, ослабленного системой параллельных трещин
Постановка задачи. Рассмотрим квазихрупкое тело в виде неограниченного плоскопараллельного слоя. Пред положим, что в таком слое имеется система п парал лельных круглых в плане внешних трещин, расположен ных вне окружностей радиусов а^, центры которых на ходятся на общей оси круговой симметрии. Введем ци линдрическую систему координат р, cp, z таким образом, чтобы ось Ог совпадала с осью симметрии, а плоскость 2 = 0 — с одной из поверхностей слоя (рис. 34). Пусть такой слой подвергнут растяжению внешними усилия ми, приложенными только к основаниям слоя, и главный вектор этих усилий Р направлен вдоль оси Oz (поверх
ности трещины свободны |
от внешних усилий). Задача |
||
состоит |
в |
установлении |
наименьшего значения силы |
р = р *, |
при |
котором хотя |
бы одна из трещин приходит |
в состояние подвижного равновесия, а также угла определяющего начальное направление ее распростра нения.
