книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии
..pdfМЕТОД ГРАНИЧНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ТРЕЩИН
Известные в настоящее время аналитические методы определения предельного равновесия тел с трещинами позволяют в основном решать задачи для случаев оди нарных трещин несложной конфигурации, содержащих ся в неограниченных телах. В таких задачах, как пра вило, фигурирует один (максимум два) безразмерный параметр, что дает возможность при их решении эффек тивно использовать асимптотические и числовые мето ды. Однако практически важные задачи теории трещин, которые ставит перед наукой о прочности твердых тел инженерная практика, в большинстве случаев являются многопараметрическими. Для их решения, хотя бы ка чественного, в настоящее время отсутствуют какие-либо универсальные методы.
В настоящей главе предлагается [13, 39, 40] метод приближенного решения многопараметрических задач такого класса. Этот метод основывается на интерполя ционном подходе и позволяет строить решение многопа раметрических задач теории трещин, если известны ре шения их граничных случаев, т. е. решения соответствую щих однопараметрических задач.
1. Формулировка метода
Постановка задачи. Рассмотрим хрупкое тело, ослаблен ное системой трещин и подвергнутое действию внешних усилий, точки приложения которых сравнительно удале ны от контуров трещин. Пусть конфигурация тела и гео метрическое размещение трещин характеризуются ли нейными параметрами аи 02, 0п, а геометрическая конфигурация каждой трещины — параметрами Ъi,
Кьт.
Принимаем параметры a,j такими, что при стремле нии всех параметров а ^ о о (/ = 1, 2, п) получаем неограниченное тело, ослабленное одной трещиной вы бранной конфигурации Ь{.
Как следует из гл. II, установление предельного рав новесия такого тела сводится к вычислению коэффици ентов интенсивности напряжений Кь Кп, Кт. Поэтому основная суть развиваемого здесь метода заключается в способе эффективного определения коэффициентов ин тенсивности напряжений для тел с трещинами.
На основании П-теоремы о размерностях [53] коэф фициенты интенсивности напряжений Ki^\ Kii(i), Km{i) Е точках контура трещины конфигурации й* можно пред ставить в виде
|
|
|
1(1) |
, |
1(2) |
|
1 ( т К |
)' |
|
|
|
|
оФ12)(Мп, |
, Ап |
Al |
, . . . , Aj |
(IV. 1 |
||||
|
|
» hn » |
т » |
» |
i(mk |
;» |
||||
|
|
|
i d ) |
|
1 (2) |
|
|
|
|
|
К[?1 |
=К \^Ф \3)(Х\1 , |
i d ) |
|
i ( 2) |
|
i ( wh |
|
|
||
) Ал |
, Aj , |
. >Al |
), |
|
|
|||||
где Ki‘L, |
/Си», Кшоо — коэффициенты интенсивности |
на |
||||||||
пряжений К[‘\ Кн\ /Ciu |
в случае |
неограниченного тела с |
||||||||
трещиной |
конфигурации |
b-L при |
аналогичном |
нагруженит |
||||||
тела; |
%\l)= b.Ja} — безразмерные |
параметры, |
а |
функции |
||||||
Ф(/° (М1’, . |
, Ял’, Vi2), |
, %[т ) (k = |
1, 2, 3) считаются |
не |
прерывными и непрерывно дифференцируемыми.
Если число параметров n, т~> 1, то задачу называют многопараметрической; если n = m = 1, то задача соот ветственно будет однопараметрической.
Решение многопараметрических задач. На основании сделанных допущений относительно линейных парам01' ров а, безразмерные функции
<Df>(0, |
, 0 )= 1 |
(6 = |
1,2,3). |
(IV-2: |
Приняв безразмерные параметры |
разложим фу!1К |
|||
ции Ф(*’ (V,0, . , Хл0, X(j2), . |
. , Х(!т>) в |
ряды в |
окрести00, |
|
ти точки (0, . .. , 0): |
|
|
|
|
Ф<(5) ( *v\ . . . . |
М*».. . . . |
х П = |
|
oo f п m )
= ! + |
Щ |
“S [MT + |
1 < |
[> “ 1* + |
|
||||
|
|
A=1 l/=l |
|
|
|
1=2 |
J |
|
|
eo |
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
a * ’ П |
П |
[ M Y “ [Ь/V /A |
|
(s = |
1. 2, 3), |
( IV.3) |
||
h=[ |
1=2/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где afk , afk , «ftS) — неизвестные |
коэффициенты; |
Aih, Ajh— |
|||||||
натуральные числа |
1, 2, 3, . . . |
|
|
|
|
||||
Учитывая равенства |
(IV .2), |
а такж е |
разлож ение упо |
||||||
мянутых функций по каж дому из параметров |
выра |
||||||||
жение (IV.3) записываем так: |
|
|
|
|
|||||
Ф?, (М,). . |
•, Я*1», М2), . |
. , Х\т) = |
2 — п — /л + |
||||||
|
+ |
2 |
<X,(S)(°- |
• |
|
|
. . . . о ) + |
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
ф‘(5)(°> |
>°> |
••>м*)) + |
|
|||
|
|
k=2 |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
т |
п |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
а * *П |
П |
[М |
[W |
' * |
|
( s = |
i . 2, з). |
(iv .4 ) |
k=\ |
(=2/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
один |
из параметров |
|
|
будет большим |
по сравне |
нию с другими, то, пренебрегая в (1V.4) смешанными про
изведениями этих |
параметров, |
функции |
Ф*5) (к\'\ . |
, |
||
\(?\ |
, к\т) |
вычисляем приближенно |
по формулам |
|||
|
ф ?} (М°, |
, |
к[2\ |
, Ь(Г ’) « |
2 - п - т |
+ |
|
+ |
2 |
ф ?)(° .- |
> ^ и. |
. 0 ) + |
|
/=1 |
|
|
т |
|
|
+ 2 Ф <5)(°* • |
-°> |
( 5 = 1 , 2 ,3 ). (1V.5) |
k=2 |
|
|
Формулы (IV .5) являю тся предельно простыми для практического использования и даю т удовлетворитель ную точность такж е в случае, если граничные значения искомых функций в основном определяю тся первыми членами их степенного разлож ения.
Таким образом, на основании соотношений (IV.1) и (IV.5) коэффициенты интенсивности напряжений Кь Кп и Кт во многих конкретных случаях могут быть при ближенно установлены через их граничные значения для соответствующих однопараметрических задач.
Решение однопараметрических задач. Пусть конфи гурация тела характеризуется одним линейным парамет ром а, а размер имеющейся в нем трещины — линейным параметром b. В этом случае задача предельного рав новесия тела с трещиной описывается двумя линейными параметрами а и b или одним безразмерным параметром %= b/a<. 1 и является однопараметрической.
Представим коэффициенты интенсивности напряже
ний в окрестности контура трещины в следующем |
виде: |
|
* 1 == ^ о т 06’» *11 ==: Т1потР’» |
= Т2пот^> |
(IV .6 ) |
где сГпот, Ттот, Т2пот — номинальные напряжения |
[31], |
вычисленные для данного случая на основании простых формул сопротивления материалов; а, (3, у — геометри ческие части коэффициентов интенсивности напряжений, зависящие от формы элемента конструкции и типа на пряженного состояния.
Коэффициенты интенсивности напряжений Ki, Кт Кт вычисляем, обобщая для задач теории трещин ин терполяционный метод Нейбера [31]. При этом рассмат риваем два граничных случая:
1) неограниченное тело с трещиной заданной конфи
гурации |
6, когда |
(а-*-оо), |
а коэффициенты |
интен |
сивности |
напряжений определяются формулами |
|
||
K P - o ffl .* .; |
= |
*13 = ■■&.?.; |
(IV-7> |
2) тело конфигурации а с трещиной, размер которой приближается к размеру поперечного сечения тела
(Аг-»-1), а коэффициенты интенсивности напряжений Kiw, Кп(1\ Кт(1 вычисляются по формулам
*!!> = ’ ‘iio .fc КМ = « . „ v . - (iv.8)
Рассуж дая аналогично, как и в работе [31] при н а хождении коэффициентов концентрации напряжений, геометрические части коэффициентов интенсивности н а
пряжений Ki, Кп, Km для произвольного значения пара метра X определяем так:
«0<*1 |
о |
M l |
т - |
VoVi |
/ « § + «? |
’ |
Кр20 + Р2 ’ |
|
Г Y^ + Y? ' |
|
|
|
|
(IV.9) |
При этом для вычисления номинальных напряжений ffnom, Тгпош предлагаются такие интерполяционные фор мулы:
<Сш = |
« и т+ |
W U m - |
« lD x=o’ |
|
ТГпош = |
(Ti°n)om)m + |
(T(1' )om)m “ |
(TZ m K U ’ |
(IV. 10) |
T2nom= |
( 4 J m + |
( 4 1 Г - |
(^nDxLo- |
|
где показатель степени т дает наилучшее приближение,
как показывают |
экспериментальные данные |
[39], |
при |
т = 0 ,5 . |
если известны величины |
at, рг, |
yiy |
Таким образом, |
anom’ T/nom для соответствующих граничных случаев, реше
ние задачи дается формулами (IV.6), (IV.9) и |
(IV. 10). В |
|||
заключение |
отметим, что для частного случая, когда |
|||
Кп= 0; /Сш = 0, a'nom = |
K o r J ^ l' |
ТЗК0Й ПОДХОД бЫЛ ИС- |
||
пользован ранее другими |
авторами |
при определении вели |
||
чины KYдля |
цилиндра с |
кольцевой |
трещиной, |
подвергну |
того растяжению. Однако для других случаев неосесим метричного напряженного состояния прямое применение метода Нейбера [31] для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений Ki, Кп, Кт без учета соот
ношений |
(IV. 10) |
может привести к значительным ошиб |
||
кам |
(см., |
например, параграф |
5 настоящей главы и |
|
рис. |
27). |
|
|
|
|
|
2. |
Апробация метода |
|
|
|
|
на известных задачах |
|
Растяжение неограниченной |
плоскости, ослабленной |
периодической системой прямолинейных трещин. Рас |
|
смотрим неограниченную пластину |
(рис. 20, а), кото |
рая растягивается в неограниченно |
удаленных точках |
равномерно распределенными |
усилиями |
интенсивности |
q и ослаблена периодической |
системой |
прямолинейных |
трещин длины 21, располо женных вдоль прямой под уг
&лом а к направлению действия
|
|
|
внешних усилий на расстоянии |
|||
|
|
|
2 (Л— I) |
одна |
от другой. |
|
|
|
|
Задача |
определения коэф |
||
|
^ |
I^ |
фициентов |
интенсивности на |
||
|
пряжений Кь Кп будет одно |
|||||
|
a |
|
параметрической с параметром |
|||
1 1 1 1 1 1 1 ? |
к |
X=lh~i<. 1. Решение ее осуще |
||||
Л |
« \ |
<ь 2 |
ствляем |
на |
основании предло |
|
у' |
\ |
|
женного |
выше |
приближенного |
|
|
подхода. Для |
этого исследуем |
||||
0 |
|
|
фграничные случаи такой зада
И I И И? |
|
чи при А,—*-0 и А,-*-1. |
{0 |
Случай А,—>-0 соответствует |
|
S |
в |
задаче о растяжении усилиями |
Рис. 20 |
|
q неограниченной плоскости с |
|
прямолинейной трещиной дли |
|
|
|
|
|
|
ны 21, расположенной под |
углом а к направлению действия усилий q (рис. 20, б). Используя результаты работы [34], а также соотношения (IV.7), для вычисления значений а<®>т , т<°>от, а0, ро получаем
формулы
ornom = |
q sin2а; |
г(0 |
<7sin а cos а; а0 |
■Ро == V nl. |
Тпот = |
||||
|
|
|
|
(1V.11) |
Случай |
Аг-»-1 |
соответствует задаче |
о растяжении |
внешними усилиями с главным вектором Q=2qh неог раниченной пластины, состоящей из двух полуплоско стей, которые соединены по перешейку длины 2 (h— /) (рис. 20, в). При этом считается, что линия трещины направлена под углом а к направлению действия глав ного вектора внешних усилий Q. На основании резуль татов работы [61], а также соотношений (IV.8) для
определения величин оПот(1), ? т о т (1). |
Pi находим урав |
||
нения |
|
|
|
о4от = <7(1 — А) 1sin2а; |
х| n0m = |
q (1 — А) 1 sin а cos а; |
|
|
р1 = |
|
(IV. 12) |
al = 2n-'/2Vh — l; |
2n -l/2Vh — l |
|
|
НИЙ K l МОЖНО ВЫЧИСЛИТ! |
||||
|
|
приближенно |
из |
такого |
ра |
|
|
|
венства: |
|
|
0)+ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ Ф (0 ,Я 2) - 1 ] . |
(IV. 17) |
|||
|
|
Здесь Ф(Яь 0), Ф(0, Я2) — |
||||
|
|
безразмерные |
функции, |
оп |
||
|
|
ределяемые из задач о пре |
||||
|
|
дельном |
равновесии полось |
|||
|
|
неограниченной длины и ко |
||||
|
|
нечной |
ширины, |
ослаблен |
||
О |
0,2 ОА |
0,6 Л, ной трещиной, соответствен |
||||
|
|
но параллельной |
или |
пер |
||
|
Рис. 22 |
пендикулярной к |
ее кром |
|||
|
|
кам [751. |
|
|
|
Используя результаты работы [75] и вычисляя зна чения Ф(Я], 0), Ф(0, Яг), на основании формулы (IV. 17) приближенно определяем коэффициент интенсивности напряжений Кь По этим данным на рис. 22 (сплошные кривые) построены графики изменения величины R — =Kiq~i (2яа)- ‘/2 в зависимости от Я1 и ЯгКривые 1—3 соответствуют значениям Яг=2Я1, Яг=Я1 и Яг=0. На рис. 22 пунктирными линиями представлены аналогич ные зависимости, полученные на основании точного ре
шения этой задачи |
[75]. |
|
||||||
Из сравнения графиков следует, что ошибка прибли |
||||||||
женного |
решения |
не |
превышает |
14% при 0^Я ^0,7. |
||||
Растяжение |
упругого цилиндра, |
ослабленного внут |
||||||
ренней |
|
дискообразной |
|
|||||
трещиной. |
Пусть |
упру |
|
|||||
гий |
цилиндр |
длиной |
2с |
|
||||
и диаметром 2Ь, ослаб |
|
|||||||
ленный |
|
внутренней цент |
|
|||||
ральной |
круговой |
трещи |
|
|||||
ной |
радиуса |
а, |
зажат |
|
||||
между |
жесткими |
основа |
|
|||||
ниями, |
как |
показано |
на |
|
||||
рис. |
23. |
Считается, |
что |
|
||||
на поверхностях трещины |
|
|||||||
действует |
равномерное |
|
||||||
давление интенсивности q. |
|
Требуется найти коэффициент интенсивности напряжений
Ki ( K i i = K m = 0 ) .
Используя предложенный выше подход приближен ного вычисления коэффициентов интенсивности напря жений для многопараметрических задач теории трещин, величину Ki д л я данного случая вычисляем по такой формуде:
* i = 2q Y l T [ф (*i. 0) + Ф (0, *2) - 1]. |
(IV. 18) |
Здесь %i=ac~i, X 2= d b ~ i 1 а функции Ф(А,1, 0), Ф(0, А,2) определяются из задач об интенсивности напряжений в окрестности контура дискообразной трещины радиуса а, находящейся соответственно в неограниченном слое тол щиной 2с [56] и длинном цилиндре диаметром 2b [68]:
ф (*,, 0) = |
1 — 0,512*? + |
0,562*? + |
0,262*,? + |
0 (X?); |
|
|
|
|
(IV. 19) |
ф (О, *2) = |
1 + 0,262*2 + |
0,034*1 + |
0,069*2 + |
0 (*?), |
где 0 (*[) и 0 (*2) — малые величины соответственно поряд-
ка |
л7 |
' л7 |
|
и ^2- |
Используя соотношения (IV. 18) и (IV. 19), для вы числения значения коэффициента интенсивности напря жений Ki получаем такую приближенную формулу:
/(, = |
[1 _ |
0,512*? + 0,562*? + 0,262*? + 0,262*? + |
||
|
+ |
0,034*? + 0,069*1 + 0 (*?, *?). |
(IV.20) |
|
Величина 0(*|; |
*?) |
указывает на точность не |
решения за |
дачи, а только формулы (IV. 20) по отношению к формуле
(IV.18). |
(IV.20) построена графическая |
На рис. 23 по формуле |
|
зависимость величины Rx= |
|/ л/С^-1 (4а)~1/2 от параметра |
\=Ьс~'1, когда р = с/а = |
2,5. На этом же рисунке пунк |
тирной линией показано точное решение данной задачи, полученное в работе [83]. Как следует из сравнения этих графиков, ошибка приближенного решения не пре восходит 3%.
Таким образом, из рассмотрения примеров ранее из вестных задач видно, насколько эффективен и точен
предложенный здесь метод. В последующих параграфах исследуются новые задачи, решение которых практи чески довольно трудно осуществить уже известными ме тодами.
3. Неограниченное тело, ослабленное системой параллельных трещин
Растяжение неограниченного тела с системой параллель ных круговых трещин. Рассмотрим тело, ослабленное системой параллельных круговых в плане трещин ра диуса а, центры которых расположены периодически в трех взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей Ox, Оу, Oz, т. е. координаты их можно предста вить так:
xk = 2kb; yh=:2kc; zk = 2kd |
(6 = 0; ± 1 ; ± 2 , , . . ) . |
|
(IV.21) |
Пусть такое тело подвергнуто растяжению в неогра ниченно удаленных точках равномерно распределенны ми усилиями интенсивности q, направленными перпен дикулярно к плоскостям расположения трещин. Задача состоит в определении предельно равновесного состоя ния тела.
Как следует из данных гл. II, для установления пре дельного равновесия тела с трещинами необходимо вы числить коэффициенты интенсивности напряжений Ki, Кп, Кт. Для этого используем предложенный выше подход.
Поскольку в рассматриваемом случае напряженное состояние будет симметричным относительно плоскостей расположения трещин, Кц—Кт =0, а величину Ki пред ставим приближенно так:
Ki = 2q ]/ |
[ф (Ф, Х^ 0,0) |
+ Ф(<р, 0, Х2, 0 )+ |
|
+ |
Ф(ф, 0, ОДз) |
— 2]. |
(IV.22) |
Здесь Xi= а 6 -1; Х2= а с -1; A*=ad~l; ф — полярный угол, определяющий положение точек контура каждой тре щины; Ф(ф, Xi, 0, 0), Ф(ф, 0, Х2, 0), Ф(ф, 0, 0, Х3) — без размерные функции, устанавливаемые из задач для слу чаев периодически расположенных круговых трещин в