книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии

где учтено выполнение условий (1.30). Представим далее

вектор-функцию Ф в виде

Из соотношения (1.37) следует, что в плоскости 2 = 0 функция Фз определяет нормальные напряжения az, а функции Фь Фг — касательные напряжения TXZ и т„г, что и требовалось доказать.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТРЕЩИН В УСЛОВИЯХ

СЛОЖНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ ПРИ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

Используемые в различных областях современной тех­ ники элементы конструкций и детали машин, как пра­ вило, работают в условиях сложных напряженных состояний. Это связано в первую очередь с соизмери­ мостью их линейных размеров, а также несимметрич­ ностью нагружений, возникающих в условиях эксплуата­ ции. Изготовленные из высокопрочных материалов, ко­ торые в условиях сложных напряженных состояний еще больше охрупчиваются, такие элементы конструкций и

их несущей способности важное значение имеют резуль­ таты исследований распространения трещин в условиях сложных напряженных состояний.

К настоящему времени этот вопрос еще недостаточ­ но изучен. Авторы многих работ считают, что трещина всегда будет распространяться в своей плоскости при любом напряженном состоянии в теле. С физической точки зрения это не совсем корректно и не подтверж­ дается результатами экспериментальных исследований.

Авторы работ [34, 61] выдвинули гипотезу, что рас­ пространение трещин в пластинах происходит в направ­ лении максимальной интенсивности растягивающих на­ пряжений. На основании этого составлены критериаль­ ные уравнения [34, 61], которые подтверждаются ре­ зультатами многих экспериментальных исследований [34, 61].

С точки зрения энергетической теории разрушения твердых тел вопрос распространения трещин в условиях сложных напряженных состояний рассмотрен в работе [81], где предполагается, что распространение трещины

происходит в направлении максимального освобождения упругой энергии.

В настоящей главе предлагается [1—4,7,35,36] ме­ тодика исследований предельно равновесных состояний трехмерных тел с трещинами при сложных напряжен­ ных состояниях. Составными компонентами методики являются установленные на основании некоторых пред­ положений и сформулированной в параграфе 2 гл. I рас­ четной модели критериальные уравнения для определе­ ния предельного равновесия трехмерных тел с трещи­ нами и способ установления напряженно-деформирован­ ного состояния в таких телах.

1. Постановка задачи. Вывод критериальных уравнений

Рассмотрим бесконечное изотропное хрупкое тело, ос­ лабленное плоской трещиной с контуром L (рис. 5). Принимаем, что раскрытие трещины очень мало сравни­ тельно с ее размерами, поэтому будем представлять ее в виде плоского разреза. Введем прямоугольную систему декартовых координат Oxyz так, чтобы плоскость г =О соответствовала плоскости трещины (положение систе­ мы декартовых координат Oxyz полностью определяет положение трещины в пространстве). Полагаем, что по­

вающие или сжимающие напряжения р, qf g. При этом будем считать, что напряжения g направлены вдоль оси 0£, напряжения q — вдоль оси Ог|, а напряжения р — вдоль оси 0£ декартовой системы координат 0£г]£. По­ ложение системы Oxyz относительно системы определяется тремя углами Эйлера yi, уг, уз [3] (рис. 6, где прямая OF — линия пересечения плоскостей хОу и

£Ол).

Задача состоит в установлении предельных значений внешней нагрузки р = р *, q=q*, g = g*, по достижении которых трещина начинает распространяться (имеет место локальное разрушение). Эти расчетные величины в некоторых случаях (см. параграф 4 настоящей главы)

z

могут быть использованы при оценке прочности хрупко­ го тела с дефектами типа трещин.

Выясним структуру упругих напряжений в окрест­ ности контура трещины L, для которого предполагается непрерывность кривизны. Возьмем на этом контуре про­ извольную точку Or, ее положение определяется поляр­ ным углом ср. Непрерывность кривизны контура L позво­ ляет выбрать симметричную относительно точки О* дугу АВ (часть контура L), которую можно считать в неко­ тором приближении прямолинейным отрезком (длина дуги АВ мала по сравнению с радиусом кривизны кон­ тура в точке Ог). Так как точка Ог находится на сере­ дине почти прямолинейного отрезка, а напряженно-де­ формированное состояние непрерывно вдоль контура трещины, то возле этой точки можно выбрать такую до­ статочно малую сравнительно с длиной дуги АВ окрест­ ность У, что в этой окрестности напряженно-деформиро­ ванное состояние тела будет приблизительно одинако­ вым вдоль линии части контура, попадающей в эту окрестность. Следовательно, напряженно-деформирован­ ное состояние в окрестности У можно разложить на сумму напряженно-деформированного состояния плоской деформации и напряженно-деформированного состояния продольного (вдоль контура трещины) сдвига. Исполь­ зуя результаты работ [34, 61], компоненты напряженных состояний плоской деформации и продольного сдвига для этой достаточно малой окрестности можно записать в таком виде:

°г ~ 4

+ *п(

(П-1)

где Ог/*рЯ — цилиндрическая система координат, ось ОД которой направлена по касательной к контуру трещины,

[61], зависящих от ориентации трещины, величины на­ пряжений р, q, g и угла ср, который определяет положе­ ние точек контура трещины, в частности положение точ­ ки Ои

Соотношения (ИЛ) значительно облегчают решение задачи об упругом равновесии упругого тела, поскольку в конечном счете поле упругих напряжений в малой ок­ рестности контура трещины определяется только через значения коэффициентов интенсивности напряжений Кь Кп, Кт.

В случае симметричного относительно плоскости тре­ щины напряженного состояния предельное значение внеш­ ней нагрузки вычисляется из соотношения (1Л5). Однако, если изолированная плоская трещина располагается произвольным образом по отношению к приложенным нагрузкам, то условия (IЛ5) недостаточно для вычисле­ ния искомой предельной нагрузки. В таком случае кро­ ме соотношения, определяющего наступление предель­ ного состояния тела с трещинами, необходимо знать ме­

где т = Ки (р*, <7*> g*, ф*) К\ 1(/?*, q*, £*, ф*)-

Итак, если найдены коэффициенты интенсивности на­ пряжений /Ci, Кп, Kniy то предельное значение внешней нагрузки, при достижении которой трещина начинает распространяться, а также углы, определяющие место и направление начального распространения трещины, можно вычислить из системы уравнений (Н.З) и (Н.4).

Ниже предлагается способ установления упругого равновесия тел с трещинами или, что то же, нахождения коэффициентов интенсивности напряжений Кь КиУКт, а также исследовано предельное равновесие неограни­ ченного тела с дискообразной трещиной.

2. Упругое равновесие неограниченного тела с произвольно ориентированной плоской трещиной

Напряженное состояние в неограниченном теле, ослаб­ ленном плоской трещиной и подвергнутом в неограни­ ченно удаленных точках трехосному растяжению — сжа­ тию усилиями р, ?, g (см. предыдущий параграф), мож­ но представить как сумму трех напряженных состояний при следующих нагружениях:

1) растяжение — сжатие тела без трещины усилиями

р> ч> г ;

2)напряженное состояние в теле с трещиной, на по­ верхностях которой приложено внутреннее давление ин­ тенсивности а;

3)напряженное состояние в теле с трещиной, на по­ верхностях которой приложены равномерно распреде­ ленные и одинаково направленные сдвигающие усилия интенсивности т. При этом усилия а и х определяются на основании формул перехода [30] от напряженного

состояния в системе координат к напряженному состоянию в системе координат Oxyz и вычисляются ю равенств

а = рт^Н(/fy);

Т = Р[У т% + т* — РittiiH (m,) + pj/n,],

где

mi = т|! sin2 уд sin2 y4 - f r\2sin2 y3 cos2 yt - f cos2 y3; mz = rjt sin y3 sin yt (cos y4 cos y2—cos y3 sin yt siny2)-f-

+sin y3 cos y3 sin y2 — tfesin y3 cos yt (sin y4cos y2 +

+cos y3 cos yj sin y2);

pi — коэффициент трения скольжения между соприка­ сающимися берегами трещины.

Угол cxi направления касательных усилий т по отно­ шению к оси Ох вычисляется из уравнения

Первое напряженное состояние характеризуется только главными напряжениями

Для определения второго напряженного состояния разработано [34, 44, 61] много различных аналитиче­ ских методов и решен ряд сложных задач для различ­ ной конфигурации контура трещины. Задачи для тре­ тьего типа нагружения исследованы еще недостаточно. Здесь в основном решены трехмерные задачи для таких случаев: круговой трещины [23, 29, 58], эллиптической трещины [20, 21, 48], системы двух круговых трещин [70]. В данном параграфе упругая задача для третьего напряженного состояния сведена к задаче для второго типа нагружения, которая эффективно может быть ре­ шена известными методами [34, 44, 61].

Рассмотрим неограниченное тело, ослабленное плос­ кой трещиной с гладким контуром L; на поверхностях трещины действуют равномерно распределенные и оди­ наково направленные касательные усилия т. Задача со­ стоит в определении напряженного состояния в теле.