книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии
..pdfЗададим функции Ф*'\ Ф;2) в виде интегрального разлощерия
Ф/1) (r,z) =
(V.55)
ф Р (Г, 2) = - J Г'А\2 (1) e- (2- 2‘>V0 (&-) di,
О
где Ail) (I), Л<2) (|) — искомые функции.
л
Исследуем сначала напряженное состояние он для неограниченного тела с внешней круговой трещиной ра диуса а*, на поверхностях которой заданы граничные условия (V.53). Для этого рассмотрим раздельно дей ствие на поверхностях трещины нормальных и каса тельных напряжений. Используя результаты параграфа 1 данной главы, а также соотношения (V.53) — (V.55),
определение напряженного состояния ст* сведем к ре шению такой системы дуальных интегральных урав нений:
ОО -
J Л‘° (0 Л> (%г) d| = |
, |
Г< |
а,; |
О |
|
|
|
ОО |
|
|
|
= О, Г<аг, |
|
||
О |
|
|
|
оо |
л4-1 |
оо |
|
|
2 |
[{£ 2| 2 ; - г ; |[Л/,)(!) + |
|
о |
/=0(=М)0 |
(V.56) |
|
|
|||
+ Л[2) (1)1 + |Л,(,) (6)> е~'гг ч % |
(|Л) dl, г > а(; |
||
оо |
П {-1 |
|
оо |
J М12)О A(Sr)'d6 = |
j s£n (z*— ZJ) J {£21z j— Zi\ x |
||
o |
/=0(^0 |
|
6 |
x и !1» (i) + лр> (i)] - 1 лГ>(?)}с-|2/ - г>!ЕУ1«г) dg,
r izj (t — 1} 2 ).. • у/i)»
Здесь Xt — неизвестные |
величины, |
которые вычисляются |
||||
из уравнений равновесия |
|
|
|
|
||
а1п+1 |
|
|
|
|
||
2я J |
2 |
|
(r’ Zi) rdr = Р• |
(V-57) |
||
б |
/=о |
|
|
|
|
|
Решение системы |
дуальных |
интегральных |
уравнений |
|||
(V.56) будем искать в следующей форме: |
|
|||||
4 ° (?) = Я|(1^ |
-) |
sin а£ + |
j |
tpf (0 cos (Ю Л; |
||
|
|
|
„ |
<ч |
|
(V.58) |
|
|
|
|
|
||
Л(,2)(?) = JiM Q sinftOtf.
аI
При подстановке соотношений (V.58) в уравнения (V.56) первые два из них удовлетворяются тождествен но, а другие два приводят к такой системе интегральных уравнений Фредгольма II рода:
ф| (о = 4 £ |
( о + |
№ <*) W (*• о + |
/=и*о |
|
J |
|
1 00 |
|
+ % (*) М !}(х, 0] dx\— |
| ^ |
J [< „ + ,) (&) М!1к(?, О + |
'Аг=0 О
+л ^ ) ( ? ) М и*(?.*)№>
(V.59)
|
1 |
00 |
|
+ ф, (*) |
(х, о] <** + — I J |
№ + » (?) |
(i, о + |
Lft=oо
+4 > + 1 )(? )< )*(?.0]^?.
Здесь
fy) <t) = |
$ )( t - a j ) - q V ( t + |
aj)-, |
|
||
K["{x, t ) ^ qU)(X- t ) - q ^ ( x + |
t); |
|
|||
Щ (*> t) = |
W (t — x )— <?<*> (t + |
x); |
|
||
Ki'!k (x, t) = |
{\zl — 2kh\\ + \)е~'г~ т '1cos It; |
|
|||
K{& = |
\Zi — 2kh\ |
|
cos It; |
|
|
f(,2)(t) = |
W (t + |
a j)-q [V (t -a j); |
|
||
K\2,}(x,t) = |
q?4t + |
x ) - qfH t - x ); |
|
||
K¥>l (.x,t) = |
qW{x + |
t) + qW (t-x ); |
|
||
(l, t ) = |
- (z, - |
2kh) %е-'г‘- 2т sin It; |
|
||
K(2!k {%,t) = |
{\zi — 2kh\\ — 1) |
sin & x |
(V.60) |
||
|
|||||
x sgn (2kh — Zj); |
|
|
|
||
д(1)(ц)— |
-У |
f y g |
___ + |
arctg -J-) ; |
|
4о \У> |
я (l — v) \ P2 + |
(/2 |
|
|
|
Ч[1 (У — (рг + угу. ’>
|
|
|
X^P2 sgn (Zj — zJ |
|
|
^ 1)(f/)=(p |
^ ¥ |
; W ( y ) = я (1 - |
v) (P2 + У2) |
|
|
sgn (Zj— z,) <#> ((/) = |
?<22>(«/); |
|
|
||
P*/2 sgn (z, — z.) |
(2г- 2 ;) . |
|
|||
^ 4 » / ) = — |
J j L , |
‘ , Р = |
|
||
На основании соотношений (V.18), (V.54), (V.55) |
и |
||||
(V.58) коэффициенты |
интенсивности |
напряжений К\1 |
и |
||
K\i для i-й трещины определяются через искомые функции ср; (t) и г|)г (t) следующим образом:
Vnа. (1 —v)
(V.61)
Рассмотрим теперь напряженное состояние Oj для полупространства с поверхностями 2 = 0 и z — 2h, на ко торых заданы граничные условия (V.52). Подставляя в равенства (V.52) соотношения (V.54), (V.55) и приме няя к ним преобразование Ханкеля, находим, что
|
2 |
Л |
+i) © |
[2^(1 - |
i - |
/) + |
( - |
1/] + |
|
|
||||
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(1 - |
i - |
j) A%+n) (g)} e - 2'* 11" '- '! |
= F\l) (8; |
(V.62) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Л |
+ , ) (I) 2 | A |
( l - i - |
j) + Ajf>+1) (|) [2Ag (1 - |
i - j) - |
||||||||||
Здесь |
- |
( - |
1)']} e~24' '~‘4 ' = FT © |
|
(/ = 0; |
1). |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FT © |
= |
( - l ) ' ] r ? |
(г) / 0 (Ir) dr - |
2 |
|
(2Ag (1 - |
/) - |
|||||||
- |
+ |
( - |
1)'] |
n^ |
_ |
v) |
sin |
+ |
j |
|
( [2Ag(l - /) - |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
|
|
|
|
— г © |
К |
(0 cos ^ |
(0 sin |i] + |
(— 1 ) V |
(0 cos g/) cftj x |
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
^—|2Л(1—/)— |
|
|
|
|
|
|
||
|
© |
= |
- |
£ |
{[2ft (1 - |
/) - |
2h] |
|
|
sin |
+ |
|||
|
|
|
*=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
J <i [2ft (1 — j) — Zft] [<Pft (0 COS It + |
Iph(t) sin ffl ~ |
||||||||||||
|
ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
( - |
1 ) 4 |
(0 sin It) cftj |
|
|
|
|
(У = |
0; |
1). |
||||
Таким образом, если из систем уравнений (V.59) и (V.62) определены функции cpi(^) и ф<(/), то задача ре шается на основании соотношений (V.61) и критериаль ных уравнений (V.48).
П р и м е р . Рассмотрим неограниченное тело, ослаб ленное двумя внешними круговыми трещинами радиуса а, которые находятся на параллельных плоскостях. Отнесем такое тело к цилиндрической системе коорди нат г, ср, z так, чтобы плоскость z = 0 была параллельна плоскостям расположения трещин, а ось Oz проходила через центры трещин с координатами (0, 0, ± й ). При нимаем, что в неограниченно удаленных точках тела приложены внешние усилия, главный вектор которых Р направлен вдоль оси Oz. Необходимо определить такое значение вектора Р = Р *, по достижению которого тре щины переходят в состояние подвижного равновесия.
Сформулированная задача является частным слу чаем рассмотренной выше общей задачи. При этом си стема интегральных уравнений (V.59) примет следую щий вид:
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф, (0 = |
4 |
{/</> + |
J [Ф, (*) к [!} + |
Ф, (X) К"}] dx] ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
(V.63) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ф. (О = |
4 |
( ^ |
+ |
|
J № w |
1 + |
VJw |
^ |
2}] dx\ |
|||
|
|
|
(i = |
1,2; |
j = 1, 2; |
i |
/). |
|
|
||||
Здесь |
величины |
ff], |
|
|
|
К\2], |
M j. М 2,/ определяют |
||||||
ся соотношениями (V.60) |
при zL= h, |
z2= |
— h, |
т. e. |
|||||||||
„ „ |
|
^ |
|
Г |
2h{t — a) |
|
2h(t + |
a) |
|
||||
Ч |
=!=л(1 — v) |
[ 4ft2 + |
(< — a)2 |
4/i2 + (/ + |
a)2 |
||||||||
|
агС^ |
4ft2 + |
/2 — a2 |
] |
’ |
|
|
|
|
|
|
||
|
4ХрЛ2 sgn (z^ |
г.) |
Г |
i |
|
|
|
1 |
|
||||
11 ~ |
я (1 — v) |
|
[W(t +a)* |
|
4ft2+(< — a)2J’ |
||||||||
/Cl1./ *= 8/i3 1 4h2 + |
1 |
|
|
4/i2 + |
1 |
|
|
1 . |
|
||||
(x — ty |
|
|
|
||||||||||
( x + / ) 2 |
] ’ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
t — x |
|
t)2 |
< + |
* |
|
I . |
|
||
|
|
|
4Л2 + |
(A; — |
4Л2 + |
(x |
+ ty |
1 * |
|
||||
- 2ft s*" <2' - 2<> {[W + t + O T
( * - Q 2 1 .
|
[4ft2 + |
(* — О2]2/ |
’ |
|
М |
J — 4№ Sgll (2^ |
Zj) | j4/l2 + |
*)2]2 + |
|
~ |
[4ft2 + |
(* — /)*]* |
|* |
J |
Анализируя систему интегральных уравнений (V.63) и учитывая симметричность напряженного состояния в
теле относительно плоскости 2 = 0 , |
находим между иско |
|
мыми функциями cpi(0) ФДО и Фг(0> фг(0 |
следующие |
|
зависимости: |
|
|
Ф1 (0 = Фа (0; Ф1 (0 = |
— Фа (0- |
(V 65) |
На основании соотношений (V.65) система интеграль ных уравнений (V.63) сведется к системе двух инте гральных уравнений относительно функций срДО и opi (f), которые решаем методом последовательных приближе ний. Для удобства вычислений сделаем замену
ф! (0 = со, (0; ф,(0 = |
<о2© ; * = |
-§-; * = |
(V.66) |
В результате этого, |
а также |
соотношений |
(V.65) си |
стема интегральных уравнений (V.63) сведется к инте гральным уравнениям
1
со, © = |
~ |
{а° + |
jj [C0l (л) № |
- |
со2 (л) |
d-n}; |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(V.67) |
“ a (£) = |
4 |
{^2) + |
J К (л) |
~ |
«а (л) |
* 1>. |
где |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гт . |
|
Г « Е ( 1 - е __________ вЕ(1 + 1 ) |
' |
|||
ь2 — n ( l - v ) |
[|2 + |
е2(1 — |)2 |
£2 + |
е2(1 + ! ) 2 |
|
|
- a e t e |
g2 + |
^ |
1- |
|
|
|
arcig |
ea(1_ |
£)4 j , |
|
|
|
|
Щ)— _ W _ r |
|
1 |
|
|
|
5а + |
1 |
5)2 |
|
||
|
зг(I — v) L |
6» + е*(1 — 6)« |
|
в2(1 + |
|
||||||
р ( |
) = 2 М?а[ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
* |
1,2 |
52Л2 + е2 (Е - |
Л)2 |
|2л2 + |
е2 (I + |
г,)2 I* |
|||||
|
|
||||||||||
р( 1) __ |
|
|" |
Л -5 |
|
|
|
Л+5 |
Л |
(V.68) |
||
|
2,2 — a §ri |
^ -6Н|2+ е2 |
ц-zrg)* - |
gH,t+ e*(T,+E)*J* |
|||||||
FU2= |
— e2E2 |
|
-----(IL+£)“---------- |
|
|
|
|
||||
|
|
|
52Л2 + е2 (л + |
5)2]2 |
|
|
|
|
|||
|
|
(Л -5)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
[52л2 + е2 (л - |
5)212 |
|
|
|
|
|
|
|
||
/Г<2>[2)_____ е2С2„^ |
(Г _________Л + |
5__________ . |
|
|
|
||||||
|
2.2— |
6 |
[ |
[rfg2 + е2 (л + |
О Т |
^ |
|
|
|
||
+
л - 5 [Л252 + е2 (л — 5)2]2 }
Решая интегральные уравнения (V.67) методом по следовательных приближений, процесс которых сходится, а также используя соотношения (V.51), (V.54), (V.57), (V.58), (V.60), (V.65) и (V.66), для определения коэф фициентов интенсивности напряжений Ki и /Си получаем формулы
Ki = |
^ 7 = [1 - 0,1670е3 — 0,010446* + 0,2432ее — |
|||
|
|
2а у п а |
||
|
|
|
— 0,0229е« + 0 (е7)]; |
|
|
|
|
(V.69) |
|
Ки-- |
|
Ре2 |
[0,2412—0,0071 е-0,0852е3+0,3595б4+0(б6)]. |
|
2aVna |
||||
|
|
|||
На основании соотношений (V.48) и (V.69) для вы числения значений предельной нагрузки Р = Р * (с точ ностью до малых величин е7) находим формулу
Р* = 2aYHaK\c [1 + 0,1681е3 — 0,0863е4 — 0,3751е6 —
— 0,1245ев + 0 (е7)]; |
(V.70) |
угол направления начального распространения трещин опре деляется так:
р* = — 2arcsin [0,2412е2—0,3963е4+0,2651ее-Ь0 (е7)]. (V.71)
При е = 0 (случай неограниченного тела, ослаблен ного внешней круговой трещиной) из формулы (V.70) получаем
P* = 2al паКгс, |
(V.72) |
что совпадает с ранее полученным результатом в рабо те [34].
Предельное равновесие неограниченного слоя с про извольным количеством равноудаленных трещин. Пусть слой толщины Я, ослабленный системой п осесиммет ричных внешних круговых в плане параллельных тре щин радиуса а, растягивается усилиями, распределенны ми на его основаниях так, что нормальные смещения uz оснований определяются следующим образом:
|
« z U „ = |
S0, |
|
(V.73) |
|
|
2—0 |
|
|
|
|
где |
бо — постоянная величина, |
которая |
вычисляется из |
||
условия равновесия слоя. |
вектор усилий, |
приложен |
|||
|
Пусть далее Р — главный |
||||
ных к основаниям слоя и вызывающих |
их |
постоянное |
|||
смещение (схема возможного |
|
нагружения |
изображена |
||
на |
рис. 35). Кроме того, будем |
считать;- что трещины |
|||
удалены одна от другой на расстояние 2/г, а две крайние от поверхностей слоя — на расстояние h. Задача состоит
в установлении |
предельного значения Р = Р * |
главного |
|||||||
вектора внешних усилий. |
|
|
|
|
(V.48), для |
||||
Как следует из критериальных уравнений |
|||||||||
решения такой |
задачи необходимо |
определить |
величи |
||||||
|
ну |
упругих |
напряжений |
||||||
|
вблизи контуров |
трещин. |
|||||||
|
Компоненты |
тензора |
уп |
||||||
|
ругих |
напряжений |
в |
ок |
|||||
|
рестности |
контуров |
тре |
||||||
|
щин |
будем |
находить |
на |
|||||
|
основании подхода, сфор |
||||||||
|
мулированного |
|
в |
пара |
|||||
|
графе 1 настоящей главы, |
||||||||
|
используя |
при |
этом |
сле |
|||||
|
дующие |
особенности |
за |
||||||
|
дачи. Поскольку |
|
поверх |
||||||
|
ности |
трещин |
свободны |
||||||
|
от внешних усилий и рав |
||||||||
|
но |
удалены |
одна |
|
от дру- |
||||
