книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии

где угол р* определяется по формуле (11.43), если при­ нять, что m = sin 2Y3cos_2y3(2 — v)-1 .

При Уз — О из формулы (П.44) следует решение задачи Сакка: _____________________________

р* = 4TS[sin 2а* + V sin2 2а* + 89,979Qcn2sK icf (а*)]-1 . (П.45)

Так как структура формул (11.45) и (1.16) одинако­ ва, за исключением числового коэффициента под знаком радикала, то, выбрав безразмерные параметры aQ и г\ таким образом:

р128ат^

получим для рассматриваемого случая точно такую же, как и на рис. 2, графическую зависимость между пара­ метром нагрузки р и радиусом трещины а.

При стремлении радиуса трещины а к нулю формула (11.45) дает корректное значение предельной нагрузки, равное пределу прочности бездефектного материала. Однако для малых значений а величины предельной на­ грузки, вычисляемые по формуле (11.45), нельзя считать достоверными вплоть до оптимального размера трещины а, когда выполняется условие автомодельности. Это сле­ дует из примененной здесь расчетной модели (см. пара­ граф 2 гл. I). Поэтому необходимо определить оптималь­ ный размер трещины а, по достижению которого право­ мерно использование формулы (11.45). С этой целью применим изложенный в параграфе 2 гл. I подход для установления условий автомодельности. На основании соотношений (1.17), (II.30), а также учитывая регуляр­ ную часть растягивающих усилий а2(х, у, 0), опреде­ ляем для данного случая безразмерную функцию

где Х=Хо/2а\ x0 = l cosa*; /, a* — величины, которые вы­ числяются по формулам (1.7) и (1.9).

Подставляя значение функции /(0)(Я) из равенства (11.46) в неравенство (1.19) и решая его относительно X, находим, что

Тогда условие автомодельности (1.22) для задачи Сакка запишется в следующем виде:

а > 0,090Щ сх - 2cos се*[1—cos (За* — 30°)]2(1 — r\sin 2а*Г2. (11.48)

Таким образом, формула (11.45) справедлива для размеров трещин, определяемых соотношением (11.48).

4.Учет локальной дефектности квазихрупких материалов

при определении прочности элементов конструкций

Рассмотрим элемент конструкции, изготовленный из квазихрупкого материала. Линейные параметры Ь* харак­ теризуют конфигурацию элемента, а силовой параметр р — внешнюю нагрузку. Методами дефектоскопии уста­ новлено отсутствие в элементе больших (сравнимых с его размерами) дефектов, не превышающих некоторую величину d. Задача состоит в определении наименьшего значения внешней нагрузки, по достижении которого данный элемент разрушится.

Предполагаем, что в окрестности наиболее напряжен­ ной точки О рассматриваемого элемента находится де­ фект с характерным размером d. Таким дефектом мо­ жет оказаться и плоская трещина S с наибольшим диа­ метром d. Задача может быть решена предлагаемым способом в случае других дефектов (полостей, включе­ ний и т. д.), однако здесь исследуются только дефекты типа трещин, которые являются наиболее опасными.

Методами теории упругости находим главные на­ пряжения (Ti, 02, Оз в точке О данного элемента, рассмат­ ривая его сначала как бездефектный. Тогда получим, что

где fj(p, bi) (/= 1 , 2, 3)—вполне определенные функции. Учитывая непрерывность тензора напряжений, а так­ же малость величины d, будем считать (увеличивая при

этом только запас прочности), что в окрестности V с наименьшим диаметром D (D » d ) вокруг точки О имеет место однородное напряженное состояние с главными на­ пряжениями ои to, Оз. Предположим теперь, что в ок­ рестности точки О данного элемента находится плоская трещина S с наибольшим диаметром d. Поскольку £>3>d, то наличие трещины S в теле не будет возмущать напря­ женного состояния на поверхности объема V, т. е. там реализуется трехосное растяжение — сжатие напряже­ ниями Oi, в2, Оз. Следовательно, напряженное состояние в окрестности контура трещины S можно вычислить, как и для неограниченного тела с таким дефектом при трех­ осном растяжении — сжатии его усилиями (Xi, 02, 03. При этом предельные значения ai=cri*, 02= 02*, 03= 03* на­ ходим по уравнениям (II.4) и (II.5), выбирая самую опасную ориентацию трещины S относительно направле­ ний усилий Oi, 02, 03. В результате получим

Oi* == Ф {d, r)i, т]2> a0, K\c), О2Ф= riiOi^, 0*3=

(11.50)

Если предельно равновесное состояние объема V най­ дено, то критический параметр внешней нагрузки вычис­ лим из условия

которое даст нижнее (самое безопасное с учетом дефект­ ности материала) значение предельной нагрузки. Опре­ деляя величины T]i и г\2 из соотношений (11.49) и под­ ставляя их в соотношение (11.50), получаем равенство

о^ — Ф (d, о2*/ош ozJOi*, Ts, a 0, Kic) = 0, (11.52)

являющееся уравнением поверхности предельных напря­ жений в декартовой системе координат Ос^оз. Сечения этой поверхности плоскостями сгг=0 (£ = 1, 2, 3) пред­ ставляют собой диаграммы предельных напряжений, по­ строение которых для задач о предельно равновесном состоянии в случае пластин с произвольно ориентиро­ ванными трещинами было разработано ранее [34] с по­ зиций иного модельного подхода.

Поверхность (11.52) ограничивает область значений главных напряжений ои 02, оз, не опасных в отношении прочности элемента конструкции, содержащего дефекты

рассматриваемого класса. Учитывая это, а также поль­ зуясь соотношением (11.52), находим следующее условие прочности квазихрупких тел:

содержит дефекты типа дискообразных трещин радиуса а. Эта конфигурация трещины является наиболее харак­ терной для хрупких материалов, так как трещина в ус­ ловиях симметричного напряженного состояния стремит­ ся к ней при стабильном развитии, предшествующем глобальному разрушению. Поэтому будем полагать, что исследуемый материал элемента конструкции является идеально хрупким. В этом случае /о(г|о)«1, регулярные части компонентов тензора напряжений, действующих в окрестности контура трещины, будут незначительно влиять на формирование зоны предразрушения и соот­ ношения (11.41) примут следующий вид:

Здесь величины т, ти тг, т 3 вычисляются по формулам

Уравнение (11.55) определяет поверхность безразмер­ ных предельных значений главных напряжений а<°>, а^0),

о!®> в декартовой системе координат Оу<0>, о{20), ст(,°> для

данной дефектности материала. На основании соотношения (11.55). а также численных значений т ^ , т 2*, т 3*. найден­ ных из равенства (11.54) с помощью ЭВМ, построена по­ верхность предельных значений главных напряжений

<40>, о(0> (рис. 9,а), а также ее сечение плоскостью а<0) = = а<°> (рис. 9,6). Эта поверхность представляет собой гра­ ницу изменения главных напряжений о(°>, о<°\ безо­

пасных в отношении прочности элемента конструкции, ма­ териал которого содержит дефекты типа дискообразных трещин.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН В КВАЗИХРУПКИХ ТЕЛАХ

ПРИ СЛОЖНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ

Наличие в реальном материале различных дефектов, а также технологических концентраторов напряжений вы­ зывает в отдельных местах конструкции появление и ло­ кализацию пластических деформаций. Такие пласти­ чески деформированные объемы тела в условиях повтор­ ных нагружений являются очагами зарождения уста­ лостных трещин. Вместе с тем дефекты типа трещин могут появляться в материале конструкций и по другим причинам (в результате термической обработки мате­ риала, особенностей технологии изготовления изделия, влияния факторов рабочей среды и т. д.). Различные за­ родышевые дефекты при циклическом нагружении раз­ виваются в магистральные трещины критической длины и приводят к разрушению конструкции при напряжениях более низких, чем предел прочности. Поэтому исследо­ вание кинетики развития усталостной трещины на ста­ дии ее докритического роста — весьма важный этап в определении долговечности конструкции.

Исследования последних двух десятилетий в области механики разрушения твердого тела (см. обзоры [17, 19, 47, 54, 61, 63, 65, 66, 69, 74]) позволили установить важ­ ные закономерности усталости материалов, особенно ме­ таллов, в рамках концепций теории распространения

странения усталостной трещины вдоль прямой линии является функцией коэффициента интенсивности напря­ жений Къ Однако процессы распространения трещин в трехмерных телах при сложных напряженных состоя­ ниях как в экспериментальном, так и в аналитическом плане почти не исследованы.

Настоящая глава и посвящена решению некоторых важных задач этой проблемы [8, 10, 11, 37, 38, 40, 41].

1. Вводные замечания

Рассмотрим элемент конструкции, в котором усталост­ ная трещина распространяется в одной плоскости. Вре­ мя работы элемента будем характеризовать числом цик­ лов нагружения N, а геометрическую конфигурацию по­ движного •>контура усталостной трещины — радиусом-

вектором R и координатным углом а (рис. 10). Примем,

что N очень велико, а приращение радиуса-вектора ДR ■>

за один цикл весьма мало, так что с величинами R к N можно обращаться как с непрерывными переменными. Направление скорости распространения усталостной тре­ щины будет по нормали до ее контура. Поэтому из фи­ зических и геометрических (см. рис. 10) соображений скорость v распространения усталостной трещины пред­ ставим формулой

На основании соотношения (III. 1), а также теории размерности для определения кинетики усталостного распространения трещины можно записать такое диффе­ ренциальное уравнение:

ж[*'г(1 г)!+ 1]',!=4 f<Х‘...*•">• <ш3)

Здесь F(Xt......A,m) — неизвестная безразмерная функция от безразмерных величин Я,,- (t = l, 2, 3, т), которые

могут зависеть от R, N, внешней нагрузки, физических характеристик материала и т. д.

Если кинетическая система контуров трещины кон­ центрическая (R — изменяющийся радиус подвижного кругового контура трещины) или трещина распростра­ няется в пластине (R — изменяющаяся длина трещины), уравнение (III.3) принимает вид