книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии

При этом необходимо отметить, что соотношения (111.5) и (III.6) описывают кинетику роста усталостной трещины в материале с однородными механическими свойствами. Кроме того, поскольку о и R — неинвари­ антные переменные, дифференциальные уравнения типа (111.5) пригодны только для описания кинетики усталост­ ной трещины в материале при одной какой-то силовой схеме (установленные константы Cj для одной схемы нагружения, вообще говоря, не могут быть применены к другой). Иными словами, константы Cj, входящие в дифференциальное уравнение (III.5), характеризуют не усталостное разрушение материала, а усталостное раз­ рушение определенной конструкции (например, испы­ тываемых образцов, на основании которых они установ­ лены). Достаточно полный обзор исследований, посвя­ щенных установлению зависимостей типа (III.5), приво­ дится в работах [17, 74].

Функциональная зависимость (III.6) отличается большей универсальностью и это объясняется следую­ щим, Процессы, происходящие в окрестности контура трещины и развивающиеся в условиях циклического на­ гружения, будут в некоторой степени адекватны анало­ гичным процессам при статическом растяжении, если частота наложения циклического напряжения не слиш­ ком высокая, т. е. когда еще не сказываются процессы, обусловленные задержкой пластического течения. Поэто­ му при усталостном распространении макротрещины в малой окрестности ее контура формируется зона предразрушеИНя, механическое состояние которой при сим­ метричном относительно плоскости трещины нагружении описывается коэффициентом интенсивности напряже­ ний Кь

Поскольку скорость v распространения усталостной макротреДщнЫ в основном определяется процессами, происходящими в зоне предразрушения, механическое состояние которой описывается коэффициентом интен­ сивности Напряжений /Ci, вполне логично предположить, что межДУ величинами v и K i существует функциональ­ ная зависимость. Действительно, экспериментальные ис­ следования [17, 38, 61, 63, 65, 66, 74, 75] подтверждают это, вернее функциональную зависимость между ско­ ростью распространения ТреЩИНЫ V И Klmax, Klmln, т. е. подтверждают структуру равенства (III.6).

установлены в указанном направлении зависимости уни­ версального характера, которые эффективно учитывали бы многообразие силовых, геометрических, металлурги­ ческих и физико-химических параметров, ответственных за рост усталостных трещин. Для осуществления этой задачи необходимы дальнейшие аналитические и экс­ периментальные исследования закономерностей роста усталостных трещин.

2.Определение долговечности тела

стрещиной, подвергнутого циклическому нагружению

Постановка задачи. Рассмотрим трехмерное квазихрупкое тело, ослабленное макротрещиной S0 вдоль некото­ рой поверхности и подвергнутое циклическому нагруже­ нию. Задача состоит в установлении времени (числа циклов W =W *), по истечении которого трещина подра­ стет до критического размера и тело разрушится.

Выберем в теле сферическую систему координат р, ф, а (рис. И ). Поверхность распространения усталостной трещины может быть задана уравнениями в параметри­ ческой форме, т. е. _£)=Р(^, ос), ф=ф(М, а), или в век­

торной форме, т. е. r = r (N , а). Уравнения начальной по­ верхности S0 усталостной трещины и ее контура зада­ дим в векторной форме:

*о=*о(ф>а)'> г(0,а) = ^0(а) (III.9)

(углы а и ф указаны на рис. И ).

Кинетику распространения усталостной трещины бу­ дем определять, полагая выполнение следующих усло­ вий [8, 10, 37, 38].

1. Рассматриваемая трещина является макроскопиче­ ской, т. е. около ее вершины реализуется условие авто­ модельности напряженно-деформированного состояния (уровень напряженно-деформированного состояния обус­ ловливается только коэффициентами интенсивности на­ пряжений Кь Kih Кт и значением регулярных частей компонентов напряжений в зоне предразрушения (см. гл. I)).

Рассмотрим поверхность усталостной трещины (см. рис. 11). При изменении параметров а или N на этой поверхности образуются соответственно осили Af-линии. Линии yV=const будут составлять кинетическое много­ образие контуров трещины, а линии oc = const описывают кинетику продвижения точек подвижного контура тре­ щины в определенном направлении. Поэтому вектор ка­ сательной вдоль линии a = con st будет описывать ско­ рость роста усталостной трещины в точке подвижного контура в направлении угла ос, т. е.

Из третьего условия следует, что распространение усталостной трещины происходит в нормальной к по­ движному контуру плоскости, т. е. вектор скорости тре-

(JV^const) будут находиться в этой плоскости под не­ которым углом р друг к другу. Математически это усло­ вие можно еще записать так:

Вместе с тем на основании третьего условия можно заключить, что угол Р определяет максимальное значе­ ние деформации растяжения на площадках, проходящих через касательную к подвижному контуру трещины. По­ этому угол р будет вычисляться через коэффициенты ин­ тенсивности напряжений Ki и Ки (см. гл. II, соотношение

(II.5)), как и для случая состояния плоской деформации (трехмерное тело) или для случая плоского напряжен­ ного состояния (тонкие пластины) по формуле

В

На основании сформулированного выше утверждения и третьего условия для установления скорости распро­ странения усталостной трещины имеем такое равенство:

efc — величина деформации растяжения в зоне предразрушения, при достижении которой усталостный рост тре­ щины переходит в спонтанное разрушение; эта величина для случая сложного напряженного состояния опреде­ ляется аналогично (1.12).

Предполагая, что величина деформации растяжения вшах вычисляется через коэффициент Кг интенсивности растягивающих напряжений, действующих на площадке Вшах, как и в случае симметричного растяжения (см. па­ раграф 2 гл. I), а также пользуясь соотношениями (1.4), (1.8), (1.12) и (1.14), выражение для безразмерного па­

пряжений на площадке с полярным углом р вычисляет­

Используя соотношения (ШЛО) — (III.17), для опи­ сания кинетики распространения усталостной трещины

пересчитана для каждого конкретного вида элемента конструкции в величину долговечности (живучести) это­ го элемента. При этом следует отметить удобство в по­ строении подобных диаграмм. Каждая диаграмма начи­ нается из нулевой точки и, монотонно возрастая, уходит в область многоцикловой усталости (см. рис. 12), измеменяясь в промежутке O^A,5g:A,o< 1. Построение таких диаграмм облегчает сравнительный анализ опытных дан­ ных для различных материалов и условий испытаний. Вместе с тем аппроксимация функции Ф(А,) в виде (III.19), (III.20), в отличие от других подходов [17, 38, 74], дает возможность эффективно аналитически иссле­ довать кинетику распространения усталостной трещины для различных видов циклического нагружения.

Для определения долговечности N = N * элементов

но равновесное состояние тела. На основании соотноше­

ния (II.3) при 0= 0 для определения г* получим урав­ нение

р

/(a*) cos4 ^

/о (Ло) 0 — Лsin 2а*) (К иcos -|- — 3KUt sin -|-)2= 0,2222

(II 1.23)

где Ки и /Си* — коэффициенты интенсивности напряже­ ний Ki и /Си для тела с трещиной, чей контур описывает­

ся радиусом-вектором г*.

Соотношение (III.23) описывает целое семейство кон­ туров трещин, из которого надо выбирать контур, удов­ летворяющий уравнениям кинетики распространения усталостной трещины (III.17).

Таким образом, совокупность уравнений (III.18) и (III.23) при начальных условиях (III.9) вместе с урав­ нениями теории упругости и дает решение задачи об определении долговечности элементов конструкции с де­ фектами типа трещин, если из эксперимента установле­ ны величины Л, т , Х0, Ап для соотношений (III.19) и (III.20).

Распространение усталостной трещины в пластинах.

В этом случае трещина будет двигаться вдоль некоторой