книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии
..pdfЭтот случай был исследован в работе [12] на основании точ ного подхода. Из сравнитель ного анализа соотношения (IV. 26) и результатов работы [12] следует, что при Xi^0,7 ошиб ка приближенного подхода не превышает 6%.
Определение коэффициента интенсивности напряжений для тела, ослабленного системой параллельных трещин, близких в плане к круговым. Пусть неограниченное тело, ослаб ленное периодической систе
мой параллельных трещин, близких в плане к круговым, подвергнуто растяжению в неограниченно удаленных точках развномерно распределенными усилиями интен сивности 9, перпендикулярными к плоскостям располо жения трещин. При этом считается, что описанными кругами к заданным трещинам является система круго вых трещин, рассмотренная в первом случае. Необходи мо найти коэффициенты интенсивности напряжений Кь /Си, Кпь
Как и в предыдущем случае, напряженное состояние в теле будет симметричным относительно плоскостей расположения трещин и величины /С н=/С ш =0. Для определения величины Ki применим интерполяционный подход. Представим приближенно коэффициент интен сивности напряжении Ki таким функциональным соот ношением:
К1=2^Уап |
-‘ (Ф(ф. V |
0, 0, 0) + Ф(ф, 0. X,. 0. 0, 0) + |
|
+ Ф (ф. |
0. 0, Х„ 0) + Ф(ф, 0, 0, 0. ЯЛ — 3]. |
(IV.27) |
|
Здесь >4=1—а~*/?(ф); |
R (ф )— радиус-вектор |
контура |
трещины, близкой к круговой (рис. 24); а — радиус ок ружности, описанной вокруг этого контура; Хь Х2, Хз — безразмерные параметры, определяемые, как и в предк дущем случае; функции Ф(ф, X,, 0, 0, 0), Ф(ф, 0, Х2, 0,0 К Ф(Ф, 0, 0, Xj, 0) вычисляются по формулам (IV.23) и (IV.24); Ф(ф, 0, 0, 0, X*) — безразмерная функция, кото рую находим нз задачи [34] для случая одинарной тре-
ленных размерах образца и трещины область предразрушения вдоль всего ее контура находится в состоянии плоской деформации, и напряжения в ней описываются коэффициентом интенсивности напряжений Кь Однако при определении трещиностойкости достаточно пластич ных материалов необходимо испытывать образцы боль ших сечений, для разрушения которых по этой силовой схеме требуются испытательные машины большой мощ ности и жесткости. Другие силовые схемы, например внецентренное растяжение плиты с трещиной или попе речный изгиб прямоугольного бруса с трещиной, реко мендованные американским стандартом [15] для опре деления вязкости разрушения материалов, более доступ ны при экспериментальном установлении трещиностой кости пластичных материалов. Вместе с тем эти силовые схемы не точно реализуют условия автомодельности рас пространения макротрещины (состояние плоской дефор мации в области предразрушения) вдоль всего ее конту ра. Причина — выход трещины на поверхность тела, что приводит к видоизменению области предразрушения, Правда, для ликвидации этого явления иногда на сво бодной поверхности делают боковой надрез, который жестко локализирует пластические деформации вдоль контура трещины. Однако для такой силовой схемы отсутствуют теоретические решения какой-либо опреде ленной точности, что делает невозможным ее примене ние для нахождения трещиностойкости материалов.
В настоящем параграфе рассматривается силовая схема изгиба цилиндрического образца с кольцевой тре щиной [39]. Эта силовая схема, как и для образца с боковым надрезом, жестко локализирует Пластические деформации в окрестности контура трещинМ и вместе с тем легко технически реализуется.
Постановка задачи. Рассмотрим квазИХрупкий ци линдр длины 2L, ослабленный в центральном сечении внешней кольцевой трещиной. Диаметры внутреннего
ивнешнего контуров трещины соответственно равны d
иА Цилиндр нагружают силой Р согласно схеме, ука занной на рис. 25. При этом считается, ч^о длина ци линдра 2L намного больше диаметра его поперечного сечения D, т. е. выполняется принцип Сен-Венана отно
сительно влияния усилий на опорах и в точке при ложения силы Р. Задача состоит в определении такого
где величина % определяется из условия i/2
2п | o z(г, 0) rdr = R0. |
(IV.33) |
о |
|
Упругая задача (IV.32) является частным случаем рассмотренной в работе [34] задачи. Используя резуль таты [34] для вычисления коэффициента интенсивности K(1)imax напряжений az(r, 0), действующих в перешейке трещины, получаем формулу
|
= |
(IV. 34) |
|
у nd |
|
Номинальные напряжения a^nom для рассматривае |
||
мого случая |
вычисляем так: |
|
|
o^L=FST\ |
(IV.35) |
где F — усилие, действующее на тело; Si — поперечное сечение тела. В данном случае Si — площадь перешейка трещины,
SA= 4-1jtd2. |
(IV.36) |
На основании соотношений (IV.31), (IV.35) и (IV.36) найдем, что
с<‘> |
nd2D |
(IV.37) |
nom |
|
Сравнивая выражения (IV.7) и (IV.34), а также учи тывая соотношения (IV.31) и (IV.37), для вычисления геометрической части ai коэффициента интенсивности напряжений /С(1)шах получаем формулу
а ‘ = т / ¥ - |
( i v -38) |
Малость перешейка трещины по сравнению с попе речным сечением цилиндра (d<CD) требует небольшого нагружения Р, которое практически не вызовет проги бов двух составных частей цилиндра. Прогиб hi (см. рис. 26, отрезок ON) в центральной части цилиндра воз никает из-за упругого перемещения перешейка трещины ОС' и в результате этого жесткого поворота составных частей цилиндра. Из простых геометрических соображе
ний и вычислений на основании данных рис. 26 можно установить, что между величиной rii и прогибом hi су ществует аналитическая зависимость
hl = 2i\lLD~1. |
(IV. 39) |
Определяя значение T|I из уравнения (IV.39), а так же используя соотношения (IV.31) и (IV.39), находим
ft1 = PLan_1d _ ,C_2( l — v). |
(IV.40) |
Случай мелкой трещины (A,i->1). При этом напря женное состояние в цилиндре представим как сумму на пряженного состояния цилиндра без трещины, который изгибается силой Я, и напряженного состояния цилинд ра с внешней кольцевой трещиной, на поверхностях которой приложено нормальное давление, равное нор мальным напряжениям crz(r, 0) в центральном сечении сплошного цилиндра для первого напряженного со стояния.
Первое напряженное состояние можно определить, используя теорию изгиба стержней [45, 49]. В резуль тате получим, что в центральном сечении цилиндра нор мальные напряжения
|
|
az(r, ф, 0) = |
32PLn~lD~4rsm <p. |
(IV.41) |
|||
Второе напряженное состояние соответствует случаю |
|||||||
упругого |
цилиндра |
с |
внешней |
кольцевой |
трещиной |
||
(2_1с (< г < 2 “ Ф ), на |
поверхностях |
которой |
приложены |
||||
напряжения |
(IV.41). Так как во втором граничном |
слу |
|||||
чае А,г-И |
и |
(D—d)-*0> |
то вместо |
изменяющихся |
по г |
напряжений (IV.41) на поверхностях кольцевой трещи
ны необходимо задавать |
их граничные значения при |
|
r = 2 _1Z), т. е. |
|
|
аг(2_1Д ф, 0) = |
16л~'PLD~3sin ф. |
(IV.42) |
Поскольку первое напряженное состояние не зависит от параметров трещины, оно не влияет на величину коэффициента интенсивности напряжений КЩтах, кото рая всецело определяется вторым напряженным состоя нием в окрестности точки В (см. рис. 25).
При напряженное состояние для второго слу чая медленно изменяется вдоль контура трещины и в малой окрестности точки В с диаметром, не меньшим
На рис. 27 представлено графическое сравнение зна чений функций Fi, получен ных в этом параграфе (кри вая 7), а также Бетхемом и Койтером (кривая 2) [67], Харрисом (кривая 3) [60] и экспериментальным путем [39] (7 — сталь У8; II —
сталь 40Х,/Отп=300°С; /7 7 - сталь 40Х, ^отп=400°С). Как
0,4 0,6 0,8 Aj следует из этого рисунка, формулы (IV.47) и (IV.48)
хорошо согласуются с ре зультатами экспериментальных исследований, что под тверждает их достоверность. Неточность результатов Харриса [60], Бетхема и Койтера [67], полученных тоже на основании соответствующих интерполяционных под ходов, можно объяснить тем, что эти подходы не учиты вают зависимости силовой части сгПот коэффициента ин тенсивности напряжений Ki от глубины трещины, как это сделано в данной главе соотношениями (IV.10). Та кой неучет для неосесимметричных случаев напряжен ных состояний может привести к значительным ошибкам.
Используя критериальное уравнение (1.15), а также соотношения (IV.10), (IV.37), (IV.44), (IV.47) и (IV.48), для определения предельного значения Р = Р * внешней нагрузки получаем формулу
_ |
яOLD3 |
[sm 2а* + |
|
|
Р* = |
-------------- :— |
|
||
* |
2L (1 + |
)2 |
L |
|
+ Vsin2 2а*+ |
1 8 ^ К -2 /(а * )Г ‘, |
|
||
С = 0,6264V D — d (XT'— 0,8012). |
(IV.49) |
Аналогично, как и в предыдущих случаях, для вычис ления стрелы прогиба h цилиндрического образца при! произвольной глубине кольцевой трещины построим та кую интерполяционную формулу:
Л*= (ht — Л, |х=,)* -f- ho- |
(IV. 50) |