книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии

к симметричной задаче теории упругости для неограни­ ченного тела с плоской трещиной конфигурации S, на поверхностях которой задано равномерное давление

Если для вспомогательной симметричной задачи (11.18) найдены нормальные напряжения oz{x, у, 0) в плоскости расположения трещины, то упругий потенциал

У, z) можно вычислить по формуле

а решение соответствующей кососимметричной задачи теории упругости определяется на основании соотноше­ ний (11.12) и (11.19), а также результатов параграфа 3 гл. I.

3.Определение предельных напряжений для неограниченного

квазихрупкого тела с круглой дискообразной трещиной

Постановка задачи. Рассмотрим бесконечное изотропное квазихрупкое тело с дискообразной макротрещиной ра­ диуса а. Отнесем это тело к прямоугольной системе де­ картовых координат Oxyz так, чтобы плоскость трещи­ ны совпадала с плоскостью хОу, а начало системы коор­ динат— с центром контура трещины. На рис. 7 схема­ тически изображен разрез такого тела плоскостью xOz. Полагаем, что поверхность трещины свободна от внеш­ них напряжений, а в бесконечно удаленных точках тела приложены во взаимно перпендикулярных направлениях равномерно распределенные и монотонно возрастающие (растягивающие или сжимающие) усилия р, qt g. При этом будем считать, что направления внешних усилий р, q, g совпадают соответственно с направлениями осей

0£, Or], 0£ прямоугольной системы декартовых коорди­ нат 0£т]£. Положение систе­ мы Oxyz относительно систе­

мы 0£т]£ определяется тремя углами Эйлера yi, уг, уз (см. рис. 6). Не нарушая общности задачи, угол уг мож­

трещина начинает распространяться (возникает локаль­ ное разрушение тела). На основании результатов пара­ графа 1 настоящей главы решение задачи сводится к вычислению регулярной части компоненты касательных напряжений Тсс (ос*) вдоль линии пластического скольже­ ния а = а * в зоне предразрушения, а также коэффици­ ентов интенсивности напряжений Ki, Ки, /Сш, или, что то же, к определению напряженно-деформированного со­ стояния в окрестности контура трещины. Для этого, как и в предыдущем параграфе, представим напряженное состояние в теле как сумму: 1) напряженного состояния в неограниченном теле без трещины, подвергнутом воз­ действию усилий р, q, g\ 2) напряженного состояния в неограниченном теле с дискообразной трещиной, на по­ верхностях которой приложено равномерное давление

3) напряженного состояния в неограниченном теле с дискообразной трещиной, на поверхностях которой при­ ложены равномерно распределенные касательные уси­ лия

тХ2 (*> 0) = — т cos а 4; тиг(х, уу0) == — т cos а1э

части напряженного состояния в теле с трещиной. Компоненту касательных напряжений та(а*) определяет только первое напряженное состояние. Поэтому вычис­ лим компоненты этого напряженного состояния, пере­ ходя последовательно от цилиндрической системы коор­ динат ОгрДь в которой заданы кинетическая площадка

а также рис. 8, где изображено сечение зоны предразрушения в окрестности контура трещины, компоненту каса­

В свою очередь компонента напряжений ар, в ци­ линдрической системе координат O^rPiXi выражается че­ рез компоненты напряжений в цилиндрической системе координат (система координат O^Pi^i совпадает с системой координат 0{Г$Х при повороте ее вокруг оси Or на угол 0 (см. рис. 5) так:

компоненты тензора напряжений в цилиндрической си­ стеме координат 0 рф2, ось которой Oz является общей и для прямоугольной системы декартовых координат Oxyz. В результате ряда преобразований получим

трх = тф2cos р — Трф sin р.

Перейдем от цилиндрической системы координат Opcpz к прямоугольной системе декартовых координат Oxyz и соответственно преобразуем компоненты тензора напряжений. Тогда найдем, что

Прямоугольная система декартовых координат Oxyz связана с прямоугольной системой декартовых коорди­ нат 0%т|^, в которой заданы усилия р, q, g, углами Эйле­ ра угуз (у2=0). Поэтому, применяя формулы перехода в напряжениях от одной прямоугольной системы коор­ динат к другой [30], получаем

xuz = P (1 — % sin2 YJ — T12 cos2 Yi) sin y3 cos y3.

Таким образом, подставляя последовательно соотно­ шения (11.22) — (11.26) одно в другое, для вычисления компоненты касательных напряжений та (а*) находим формулу

+ a4 cos Уз sin YJ COS YI — assin Y3 sin Yi COS YI +

+ ae cos2 Yi sin Y3 COS Y3) + a2sin2 Y3 + a3cos2 Y3 —

—cesinY3cosY3];

щ= cos2 0 cos2 ф sin2 0 -)- sin2 Фsin2 0 —

Перейдем теперь к определению второго напряжен­ ного состояния и, таким образом, вычислению коэффи­ циента интенсивности напряжений К\. Так как второе напряженное состояние симметрично относительно плос­ кости расположения трещины z = 0, то задача сведется к нахождению упругого равновесия полупространства z^O, на границе которого z = 0 заданы условия

(11.29)

где Si — область, дополняющая S до полной плоскости. Граничную задачу (11.29) решаем методом, предло­ женным в [34]. В результате получим, что напряжения °г(х, у, 0) в плоскости 2 = 0 вне расположения трещины

вычисляются из равенства

по нормали и касательной к контуру трещины перейдем к цилиндрической системе координат Optpz (см. рис. 5). Тогда на основании равенств (11.25) и (11.27) касатель­ ные напряжения трг(р, ср, 0) и тфг(р, ф, 0) в плоскости расположения трещины z = 0 будут вычисляться по фор­ мулам

va3 I р2 (2 — v) J •

На основании соотношений (11.38), а также исполь­ зуя результаты параграфа 1 настоящей главы, для на­ хождения коэффициентов интенсивности напряжений Кп и Кт получим равенства

Вычисление предельных значений внешних усилий. Перейдем теперь к установлению для поставленной за­ дачи критериальных уравнений и вычислению предель­ ных значений величин р = р *, q = q ,, g= g*, <р^=ф*. 0= =0*, Р = Р*. Подставляя в уравнения (II.4) и (П.5) значения регулярной части компоненты касатвдьцых на­