книги / Применение частотных преобразований в теории цепей
..pdf
5. Передаточную функцию, имеющую полученные полюсы, реа лизуем с помощью схемы Саллена-Ки (см. рис. 2.15). Это схема реализации на основе идеального усилителя напряжения (# вх =
=оо, /?вых= 0 ), имеющего фиксированный коэффициент усиления
Ки не изменяющего фазу усиливаемого напряжения.
Параметры элементов схемы-прототипа определяем, применяя методику, известную из § 2.4.
а) Вводим обозначения
Р\,2 = — 01 ± /<оI = 1,5 ± / 0,5.
б ) Определяем о>01 (расстояние полюса от начала координат плоскости р
“ 01 = V (У? + «1 = У 1,52 + 0,52 = 1,58.
в) Принимаем /?0 = 1,0 Ом и находим
С0= 1/шо1^о= 1/1,58 • |
1 ;= 0,632. |
г) Задаемся значением расчетного |
параметра я, имея в виду, |
что увеличение я, с одной стороны, полезно, поскольку уменьшает чувствительность схемы к изменениям усиления /(, а с другой — нежелательно, поскольку увеличивает диапазон номинальных значений емкостей. Достаточно хорошим компромиссом является
значение п = |
2. |
|
|
|
|
|
|
д) При |
выбранном |
(любом)’ |
я |
оптимальное (по |
величине |
||
запаса устойчивости) значение /г определяется формулой |
|||||||
|
|
|
|
к = |
1/я . |
|
|
В нашем случае |
к = |
1/2 = |
0,5. |
|
|
||
е) Определяем |
коэффициент |
усиления усилителя |
по (2.40): |
||||
К = 1 + |
1 /(к п )2 + |
1 / |
п2 + |
2 ( — сг|) / о)0\кп, |
|
||
где в скобках числителя последнего слагаемого фигурирует значение вещественной части полюса.
Рис. 4.22. Активное /?С-звено ФНЧ (а) и результат его преобразования в схему ПФ (б)
[27], 'сопротивление которого опре деляется формулой
|
|
г (з) = 52е . |
|
|
|
|
|
Схемное обозначение ЧЗОС В. |
|||
|
|
элемента приведено на рис. 4.23. |
|||
Рис. 4.24. Преобразование |
Бру |
Предположим, что в схеме из |
|||
элементов трех видов |
(Я, |
Ь и С) |
|||
тона |
|
||||
|
|
каждая индуктивность |
Ьрк |
заменя |
|
ется сопротивлением Як, ачсаждая емкость Срк — ЧЗОС ^-элементом:
|
Р ^ р к |
|
р С р к —> 5"О к ) |
|
|
||
где |/?*| = |{.м | и |
|0„| = |
1Ср*|. |
|
|
|
|
|
Такому схемному преобразованию (рис. 4.24) соответствуют |
|||||||
преобразующие функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ч ) |
= |
1 |
И |
[с (5) = |
X2. |
|
Найдем преобразующие функции сопротивления и частоты: |
|||||||
/* ( |
= |
{с (°)/!с (*) |
- л Л / * |
= |
>/« |
||
и о |
= V |
и |
(*) 1С ($) |
= V"* |
^ |
= * |
|
Полученная преобразующая функция сопротивления означает |
|||||||
замену каждого |
сопротивления |
Крк схемы-прототипа емкостью |
|||||
Ск- |
|
|
|
|
|
|
|
\Ск\=1/\КР1
а преобразующая функция частоты /(11(5) = 5 свидетельствует, что рассмотренное преобразование сводится к простой замене перемен ного р на 5 и, следовательно, никак не отражается на передаточных функциях напряжения, тока и на рабочей передаточной функции схемы.
Преобразование предложено Брутоном [26] и обосновано им как одновременное умножение аналитическихвыражений опера-
Рис. 4.25. Схема ВС ФНЧ (а) и результат ее преобразования по Брутону
(б) (исключение индуктивностей)
|
|
Т(со) |
|
формул |
квадрата |
модуля |
искомой |
|
|
|
1 |
|
комплексной функции |
имеет вид |
|||
|
|
|
|
т%« » )------------;---------г |
- |
+ Ьа1йи |
||
|
-Ч)с |
0 |
сос со |
|
до Ц- Ь ,ы - |
Ь2<о* ■+• |
||
|
|
|
|
|
(5.1) |
|||
Рис. 5.1. Амплитудно-частотная |
При |
|
|
|
||||
правильном выборе коэф- |
||||||||
характеристика идеального ФНЧ |
, ....... |
Л |
|
|
|
|||
у |
у |
|
|
фициентов многочлена знаменателя |
||||
Ьк в этой формуле увеличение час тотной переменной будет приводить к уменьшению этой функции» что и характерно для ФНЧ.
Выбор коэффициентов осуществляется так, чтобы функция «наилучшим образом» воспроизводила частотную зависимость квад
рата модуля |
передаточной |
функции идеального ФНЧ |
(рис. |
5.1), |
||
у которого |
на интервале |
0< ш < о)с Г'(о>) = |
1, ’а |
при |
ш><1>с |
|
Г -(о ). = |
0. |
|
|
|
|
|
Что |
подразумевается |
под «наилучшим |
воспроизведением», |
|||
будет уточнено несколько позже, а пока заметим, что для совпаде
ния |
значений функции |
(5.1) |
и «идеальной» |
функции |
на рис. 5.1 |
||
при |
со = |
0 необходимо |
в |
(5.1) |
принять &0 = |
1. |
|
|
Далее рассуждаем следующим образом. Поскольку идеальная |
||||||
функция |
в пределах |
полосы |
пропускания |
является |
постоянной, |
||
то ее первая производная, а также все производные более высоких
порядков в окрестности |
точки со = О |
тождественно равны |
нулю. |
С целью обеспечить |
наилучшее |
совпадение функции |
(5.1) |
с идеальной выберем коэффициенты ее знаменателя таким образом, чтобы максимально возможное число производных (5.1), взятых по переменной со2, обращались в нуль в окрестности нулевой частоты. В частности, первая производная выражается формулой
ёЦ |
~~(^' “Ь |
+ |
+ |
пЬ„ита 3) |
|
— 7 = |
--------------------------------:------- . |
(5.2) |
|||
|
(I + |
д/ш2 + |
+ |
|
|
и обращается в нуль при со = 0 только в случае, когда |
Ьх — 0. |
||||
Повторным дифференцированием |
(5.2) |
по со2 убеждаемся, что |
|||
условие обращения в нуль второй производной имеет вид Ь2= 0,
или, |
в более |
общей форме, условие |
равенства |
нулю производной |
||
к-го |
порядка |
при ш = |
0 записывается |
как Ьк = |
0 . |
|
Обращаясь к (5.1), замечаем, что обращать в нуль все коэф |
||||||
фициенты |
ее |
знаменателя по Ьп включительно |
нельзя, поскольку |
|||
в таком |
случае (5.1) |
становится тождественно равной единице |
||||
и не является более функцией частотной переменной ев.
Таким образом, максимальное число коэффициентов (и произ
водных), которые |
допустимо обратить в |
нуль, равно |
(/1—1), |
и функция (5.1) приобретает вид |
|
|
|
7 » |
= 1 /(1 + Ьпа>2й) = 1 /(1 |
+ « V " ), |
(5.3) |
этого переменного. Обозначим
—Ь2(0^-\-Ьо= р2\ —Ь${й~-\-Ь\ = Р \.
Тогда
Ц /<о)Я(-/ш ) = [ Ря-Ь/ш/7.]'[/7о- / о,^ 1| = П+<*2Р1
В правой части равенства получена сумма квадратов веще ственной и мнимой частей функции 0 (/со), т. е. квадрат ее модуля: |Д(/со)|2. Такой же результат получим, рассматривая многочлен числителя УУ(/со). Следовательно,
Г(/о))7'(%- ; ш ) = |Г(;Чо)|2 = Г2(«>), |
(55) |
где принятая форма записи правой части второго равенства отражает тот факт, что функция квадрата модуля зависит в явной
форме уже не от комплексного |
переменного (/со), а от |
частотной |
|
переменной со. |
|
|
|
Подставим полученный результат в (5.4): |
|
||
Т(Р)Т(-Р) I |
= |
Г(/о))Т(-/ш )= Т\со). |
(5.6) |
I Р = |
/0) |
|
|
Формула (5.6) отражает переход от произведения двух операторных функций (различающихся только знаком аргумента) к функции квадрата модуля. Но эта же формула, если прочитать ее «наоборот», т. е. справа налево, решает и обратную задачу, поскольку "позволяет трактовать квадрат модуля как произведение двух комплексных передаточных функций, различающихся-знаком переменного /со:
7 » = Г(;ш )Г(-/Ш). |
(5.7). |
Замена переменного в правой части этого равенства по формуле |
|
/о>=р |
(5.8) |
даст произведение 1\(р)Т(—р), от которого можно перейти к искемой функции Т{р).
Поскольку зависимость Г2(со) в явной форме является функ цией вещественной переменной со, а не комплексного переменного
/со, то для практического |
выполнения подстановки (5.8) |
следует |
решить это выражение относительно со: |
|
|
|
® =Р/У |
(5.9) |
после чего получим из (5.7) и (5,8) |
|
|
П*) I |
= Цр)Т(-'р). |
(5,10) |
.1 01= р// |
|
|
Для перехода к Т{р) запишем правую часть (5.10) следующем |
||
образом: |
|
|
Ц р ) Ч - р ) = Г(р) = |
Н М / О Л Р ) - ЬгЯ ар) / Ъ а р ), |
(5.ш |
ходимо из каждого квадруплета корней полинома Й Р(р) взять любую пару комплексно-сопряженных корней, т. е. пару корней, принад
лежащих либо левой, либо правой |
полуплоскости. Полином |
|
Мт{р) получаем как произведение двучленов |
вида (р — ргк), где |
|
Р г к - к -й корень из числа выбранных указанным способом. |
||
Наконец, коэффициент к т находим |
как |
корень квадратный |
из коэффициента кР функции Р{р). В соответствии с правилами извлечения алгебраического корня сохраняется возможность выбора любого знака: плюс или минус.
Пример 5.1. Найти операторную передаточную функцию по заданному аналитическому выражению квадрата ее модуля:
Г2(со)=1/(1 + о)4)
(характеристика Баттерворта второго порядка с единичной граничной
угловой частотой полосы пропускания |
|
и с неравномерностью ослабления |
|||||
в полосе пропускания ДА= 3 дБ>. |
|
|
|
|
|
|
|
Реш ение. В соответствии с |
(5.10) |
|
|
|
|
||
Р(р) = Т2(00) 1 |
|
___!___I |
|
= — |
|
||
|
|
1 |
|
(о* |
“ — р П |
1 + р 4 |
|
В данном случае имеем |
|
|
|
|
|
|
|
Яр(р) = |
1; Ор(р) = |
рл + |
1; кр = |
1. |
~ |
||
Находим корни полинома знаменателя функции Р/р): |
|||||||
ЪР(Р) - |
Р4+ |
1 = |
0; |
|
|
|
|
•Р р \,2.3.4 = V — 1 |
= \ |
е,п |
= |
е1 |
7 |
* = |
о ,1,2,3. |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
. . . |
Л |
|
|
Рр1 = |
С05~Т“ + / 51П — ! |
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
л » |
|
Р Р2 = |
V ' |
V |
' Ч Л |
|
|
\ |
|
|
/ |
|
\ |
Р Рг = |
/ |
|
\ |
|
-<и |
|
|
|
|
|
6 |
|
г |
|
I |
|
|
Р р 4 |
||
|
|
№ |
\/
р^
т
Рис. 5.2. План полюсов функции Г(р) к примеру расчета
ие)
З л |
З л |
С 0 5 - Г - + |
/ 51П |
4 |
т = |
|
5л |
5я |
|
|
|
|
+ |
/ 51П |
1 |
|
|
с08т |
4 |
|
|
||
|
7л |
7л _ |
|
|
|
С 05 — * + |
/ 51П |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
Расположение |
|
корней на. плос |
||
кости беременного |
р |
[план полю |
|||
сов |
функции Р^р) ] |
представлено |
|||
на |
рис. 5.2. |
|
|
|
|
|
Для |
образования |
нормирован |
||