книги / Применение частотных преобразований в теории цепей
..pdfИз формулы (2.35), приняв в ней 5 = 0, получаем коэффициент передачи напряжения при нулевой частоте: 7(0) = К.
Очевидно, в общем случае коэффициент передачи активного фильтра при нулевой частоте отличается ог единицы.
Следует отчетливо понимать, что частотная зависимость харак теристики фильтра полностью определяется коэффициентами' з н а м е н а т е л я передаточной функции и совершенно не зависит от значения К, поскольку этот параметр предполагается постоян ным во всей рабочей полосе частот фильтра. По этой причине значение К называют п л о с к и м '(одинаковым при всех частотах)* у с и л е н и е м звена. При каскадном соединении звеньев значения их плоских усилений перемножаются.
Пример синтеза активного фильтра КС. Синтезируем на основе звеньев Саллена—Ки фильтр КС нижних частот с характеристикой Баттерворта четвертого порядка, имеющий единичную ширину полосы пропускания при неравномерности ДА =±= 3 дБ.
Р е ш е н и е . 1. Передаточная функция ФНЧ четвертого порядка имеет в знаменателе многочлен четвертой степени и может быть записана в виде
5 4 + &3’г3 + &п52 + &|5 + Ло 524 -2 О | 5 -}-Ы 0 1 52+ 2СТ2$-{-Ш 02
Здесь каждая, из дробей-сомножителей правой части имеет пару комплексно-сопряженных полюсов, которую можно реализовать в виде звена Саллена-Ки. Соединив оба звена каскадно, получим схему с требуемой передаточной функцией.
Полюсы передаточной функции Т ($) можно найти путем прямо го расчета (см. § 5.1) или по справочнику [2]:
>>1, 4= — о |гЬ/со1= —0^3827^ /0,9239;
з = —о2± /со2 — —0,9239гЬ/0,3827.
Положение полюсов на плоскости ком плексного переменного 5 иллюстрируется рис. 2.17, на* котором, как это принято в теории цепей, полюсы обозначены крестит ками.
2. Осуществляем реализацию первой па ры полюсов по рассмотренной выше-методи ке, которая обеспечивает близкий к макси мально возможному запас устойчивости, звена:
а) Принимаем Ко = 1 Ом.
б) Находим значения параметров:
<,)0| = л/аУ + ш ?= л/0.38272+0!9239г= 1;
Со = 1/<йо|Ло= 1/1 •1= 1Ф.
я. 1№ "1 —+/*
V1
Г 1 0 ^ X
ч
ч
Рис. 2.17. План ■полю сов передаточной фун кции к примеру рас чета
г) |
С учетом принятого для |
параметра кп |
условия |
||
|
|
|
к = \ / п = |
1/1,09 = 0.92. |
|
д) |
По |
(2.41) |
Ъпределяем |
параметры |
пассивных элементов |
звена |
/?|2, /?22» С12 и С22. (Вторая цифра в |
индексе элемента сов |
|||
падает |
с |
индексом |
реализуемой пары полюсов.) На этом расчет |
||
второго звена заканчивается.
Рис. 2.18. Схема активного фильтра /?С четвертого порядка
4. Для получения схемы' фильтра четвертого порядка соеди няем оба звена каскадно, как показано на рис. 2.18. Здесь каждый усилительный элемент (идеальный усилитель) реализуется в виде операционного усилителя, охваченного отрицательной обратной связью. Рабочий сигнал -подается на нбинвертирующий вход усилителя (помечен знаком + ) , а напряжение отрицательной обратной связи — на инвертирующий вход (помечен знаком —). Усиление К определяется значениями сопротивлений в цепи Отрицательной обратной связи. Например, для второго на рис. 2.18 звена
|
К = 1 /Р о. с= (^ с. + ^ с2)//?сН |
где Рос — коэффициент обратной связи по напряжению. |
|
В |
схеме первого звена, очевидно, # '2 = 0 и соответственно |
К '= |
1. |
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ТЕОРЕМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
3.1.ТЕОРЕМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ
Предварительные замечания. Как известно, при синтезе линей ной электрической схемы методом частотного преобразования комплексного переменного р искомую схему получают преобразо ванием другой, предварительной рассчитанной схемы, которая называется схемой-прототипом.
— обозначение |
т о п / же |
параметра, принятое |
при |
описании полу |
|||||||
ченной (в результате преобразования) схемы. |
|
|
|
|
|||||||
Штрихи в обозначениях функций Щ з ) |
и Т\ ($) |
служат призна |
|||||||||
ком изменения |
аналитического |
выражения |
функции |
при |
переходе |
||||||
к переменному |
5 по сравнению с ее первоначальным |
выражением |
|||||||||
1 \ (р) |
и |
Г|(р), |
поскольку в общем случае, |
например, |
функцию |
||||||
Г{(5) нельзя получить из 'Л(р) |
просто |
путем |
подстановки р = з. |
||||||||
Из предыдущих глав следует, что наибольший практический |
|||||||||||
интерес |
имеют |
такие |
преобразования, |
при |
которых |
функцию |
|||||
Т\ (5) |
можно представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Т1(з ) = П р )I |
= п и * ) 1 |
|
|
(3-1) |
||||
т. е. рассматривать Т\ (5 ) как полученную из |
Г|(р) путем замены |
||||||||||
переменного по' формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Р = Ц з). |
|
|
|
|
|
(3.2) |
|
Практическая ценность представления |
(3.1) известна |
из § 1.3 |
|||||||||
и объясняется следующим. Зависимость (3.2) позволяет найти
отображение положительной |
полуоси мнимых величин |
плоскости |
5 на плоскость переменного р |
(или, иначе, получить на |
плоскости |
р образ Ср |
упомянутый полуоси плоскости 5 ). |
|
|
В свою |
очередь, зависимость (3.1) позволяет рассматривать |
||
значения функции Г|(5) на некоторой дуге С5 |
плоскости |
5 как |
|
результат переноса (отображения, копирования) |
значений |
функ |
|
ции-прототипа Т\(р)', принадлежащих образу (?5, на плоскости р (т. е. дуге Ср).
В частности, значения Т\(з) на положительной полуоси мнимых величин плоскости 5 (что соответствует установившемуся режиму
гармонических колебаний, в пространстве переменного 5) |
можно |
получить как отображение значений 7 |(р ), принадлежащих |
образу |
0 Р упомянутой полуоси. |
|
Функция (3.2) р = /^Т$) в соответствии с ее ролью при отобра жении характеристик прототипа носит название преобразующей функции частоты.
Возникает задача: выяснить, каким условиям должны удовле творять преобразующие функции элементов, чтобы обеспечивалась возможность представления Т\ (5) в виде (3.1).
Введение параметров рь и рс. Для ответа на поставленный вопрос исследуем структуру формул операторных входной 2 \ и передаточной Т\ функций схемы-прототипа, делая различие между обозначениями параметра прямого преобразования Лапласа- в изображениях производной и интеграла.
Параметр преобразования |
в изображении п р о и з в о д н о й |
|
обозначим символом рь |
а в |
изображении и н т е г р а л а — симво |
лом ро Аналитические |
выражения операторного сопротивления |
|
образом, чтобы в ветви с источником проходил только^ один контурный ток /1к, а в нагрузочной ветви — только контурный ток Лк» где Е, Лк» Лк — операторные изображения соответствующих временных функ-
» |
|
|
|
|
Рис. |
3.1..К |
определению |
вход- |
|||
ц •* . |
|
- |
|
ной |
и |
рабочей |
передаточной |
||||
При указанном выборе контуров |
4функций пассивного четырехпо- |
||||||||||
формула |
рабочей |
|
передаточной |
люсника |
|
|
|
|
|
||
функции имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т = |
^ |
|
- - |
2 у |
а д |
а |
д |
^ |
, |
.(3.4) |
|
|
у А,(р) |
|
|
|
|
л |
|
|
||
где А и |
А12 — определитель |
системы уравнений |
контурных |
токов |
|||||||
и его минор. |
|
|
|
|
2 кц |
|
|
|
|
(к-я |
|
Аналитическое |
выражение |
элемента |
определителя А |
||||||||
строка и р-й столбец) |
можно записать и преобразовать следующим |
||||||||||
образом: |
|
|
|
|
рЛ*7+ /? * ,+ —— = —{р2Ькч+.рЯкЧЛ- — ) = —р2кЧ{Р)’ |
(3.5)' |
|||
РСкц р |
|
Ск д Р |
|
|
где |
|
|
|
|
РгкЯ{р) = |
+ |
I/ СкЧ. |
|
(3.6) |
Аналитическое выражение этого же элемента при детализи |
||||
рованной форме записи уравнений контурных токов |
|
|
||
%%= РьI кд+г\/Рь/Рс %кд+РсС*« |
Рс |
РСЛ/н7+"\/Р1Р |
с Скд). <3.7) |
|
где двойной штрих, в обозначении |
служит признаком |
детализиро |
||
ванной формы записи.* Введем новое комплексное переменное, определяемое формулой
(3*3)
Тогда |
|
|
|
|
|
2 Ъ = ± ( е2Ц , + еЯ>„ |
|
(3.9) |
|
|
Рс |
РС |
|
|
где |
|
|
|
|
|
/*гА?(Е)= |
|
- |
(3.10) |
Если |
представить в виде |
правой части |
(3.9)все элементы |
|
матрицы |
определителяА, вынести в качестве |
множителя |
из каж |
|
дой строки (Рс) -1 и раскрыть определитель, то получим |
|
|||
|
А = |
/Ъ(е)/рс; |
|
(3.11) |
|
Ди = |
Лг(<0/рГ' |
|
(3-12) |
где Ро(е) и /^(е) — многочлены переменного е.
Из равенства коэффициентов при одинаковых степенях пере
менного у полиномов Ргк^Р) в (3.6) и Р7.кц{ъ) в (ЗЛО) следует равенство коэффициентов полиномов /*’о(е), с одной стороны, и
Ро(р) — с другой, а также |
Р{^е) и Р\2(р)\шЛ-(е) |
и Рг(р); |
Р»(г) |
и |
||
Рн(р1> что и приводит к |
равенству |
(3.17). Таким образом, |
из |
|||
(3.15) и (3.17) |
следует |
|
|
|
|
|
|
Г (5 ) = |
Г " [ /„ .( ^ ) ] = Т ,[/„(*)]. |
|
(3.18) |
||
Полученный |
.результат |
[с учетом |
принятых |
выражений для |
||
/ш($) и />(5)1 м о ж н о сформулировать |
в виде следующей |
теоремы |
||||
отображения передаточной функции: |
|
|
|
|
||
При частотном преобразований схемы прототипа из элементов трех видов (/?, Е и С), заданной на плоскости переменного р, отображение передаточной функции Т\{р) на плоскость перемен ного 5 осуществляется в соответствии с формулой
Р — л//ь(*Л с(*)
если преобразующая функция элемента сопротивления % схемы прототипа принята равной
Ы * ) = V Ш 7 М * ) .
где 1 (5 ) и /с($) — соответственно' преобразующие' функции индук тивности и емкости схемы-прототипа. ‘
Рассмотрим |
простой пример. Если принять |
^ (5)— 1/у |
(что соответ |
ствует зрмене |
индуктивности схемы-прототипа |
емкостью) |
и {с(з)= 1 / 5 |
(что соответствует замене емкости схемы прототипа индуктивностью), то по доказанной теореме
Полученное выражение для функции /ш($) соответствует преобразова нию ФНЧ в ФВЧ, а равенство 1ц(з) = I означает,- что данное преобразо вание никак не отражается на характере и значении сопротивлений ФНЧ при переходе к схеме ФВЧ.
Теорема отображения функции сопротивления. Входное сопро тивление схемы на рис. 3.1 между выводами а и а' при обрыве ветви с источником ЭДС Е определяется формулой
^\(р)— ^ е/Л к= Д/Ам» |
(3.19) |
где Дм — минор определителя Д.
