книги / Применение частотных преобразований в теории цепей
..pdf
|
к операторной передаточной функции |
|||
| 1-и ^уиагссо8йГ^ |
можно двумя способами. |
|||
^ 1 * Тп(ш)*шп1 |
Первый |
известен |
из предыдущего, |
|
параграфа. По этому способу в функции |
||||
Рис. 5.3. Подстановка со= |
||||
Г 2(<1>) осуществляют |
замену переменной |
|||
= СОЗ 2 |
о) по формуле со=$//, после чего для |
|||
|
||||
|
определения |
корней |
знаменателя полу |
|
ченной функции с целью выбора принадлежащих левой полуплоскости приходится решать алгебраическое уравнение степени 2 л, причем корни должны быть* найдены не менее чем с п значащими цифрами.
Второй способ не требует решения алгебраического уравнения степени 2 л, поскольку сводится к непосредственному определению координат полюсов передаточной, функции, через тригонометриче ские и гиперболические функции вещественного аргумента. Идею
этого |
способа |
отражает рис. 5.3: |
посредством |
.подстановки |
со = соз г (где |
г не являетсябуквенным обозначением сопротив |
|||
ления) |
вводится новое (комплекское) |
переменное г, |
через которое, |
|
в свою очередь, удается выразить полином Чебышева Тп(&) в достаточно удобной для последующего анализа форме.
Одно из возможных аналитических выражений полинома
Чебышева Тп(и) на интервале — 1 С со С I имеет вид |
|
Т’л(со) = соз(л агссоз со). |
(5.14) |
В том, что это выражение фактически представляет собой полином переменного со, а не трансцендентную функцию, можно убедиться, введя обозначение
агссоз со = г . |
(5.15) |
|
Тогда |
|
|
СО = |
С05 2, |
(5.16) |
а (5.14) приобретает вид |
|
|
Т„(со)= |
соз пг. |
(5.17)- |
Известно, что функцию соз пг можно представить в виде линейной комбинации степеней (от 1 до я) функции соз 2 (на пример, соз 2 г = 2 соз22 — 1 и т. д*). Подставляя вместо соз 2 его значение из (5.16), получаем полином л-й степени переменного о.
Для определения полюсов передаточной функции подставим значение Тп(ы) из (5.17) в (5.12) и найдем корни знаменателя полученного выражения, т. е. корни уравнения
1 -} 7 е2с О 8 2я 2 = 0 . |
(5.18) |
Решая относительно С 05 пг, получаем
СОЗ/ 1 2 = -И1-е . |
(5.19) |
(В случае корней, принадлежащих левой полуплоскости, ак оче видно, должна быть положительной, а величина од может быть как положительной, так и отрицательной.) Если принять обозна чение (5.24), то все п корней знаменателя передаточной функции будут даны формулами
, |
. 2к—1 |
^ |
сг/, = 5п |
ф 51П — - — |
л ; |
м_, |
1 |
<5й> |
ОД=сН фСОЗ------ |
я, |
|
2п |
|
|
к= 1,2. ... (п—1), п |
, |
|
где в соответствии с (5 .2 2 ) и с учетом необходимости получения положительного значения ок
Ф = + -А гзЬ -. |
(5.26) |
|
Л |
6 |
|
Напомним, что обратная гиперболическая функция АгзЬх |
||
заданного аргумента х вычисляется по формуле |
|
|
АгзЬх = 1п(х+У^Я-Т)' |
(5.27) |
|
Графическая, интерпретация. Связь между |
переменными г и |
|
о) можно наглядно представить, построив рельеф функции со=со$г для некоторого контура плоскости переменного г; являющегося образом (в плоскости г) частотной оси у со плоскости, р.
Рис. 5.4. Отображение оси мнимых величин плоскости р на плоскость * г {а) и эскиз зависимости ш =соз2 (б)
Предположим, что точка на плоскости г перемещается по контуру АВСОЕ (рис. 5.4) в направлении, показанном стрелкой. Координаты вершин контура (точек А, В, О и Е ), а также точки С приведены ниже.
А |
В |
лС |
—л+/оо |
—я + |
/ 0 |
|
|
- г - " 0 |
о + ° о
Е
0 + / О О
0) |
— оо |
— 1 |
0 |
1 |
4-00 |
Числитель передаточной функции (постоянную) можно найти, задав шись значением передаточной функции при нулевой частоте. В частности, рабочая передаточная функция пассивного ФНЧ с характеристикой Чебышева н еч етн о го порядка при нулевой частоте равняется единице. Поэтому N■[■(()) = й т(0).
5.3.СИНТЕЗ1СОГЛАСУЮЩЕГО ФНЧ
Предварительные замечания. Здесь и в дальнейшем под «со гласованием» будем подразумевать согласование по полной мощ- -ности $ 2= 1/2/2, отдаваемой генератором, имеющим заданные параметры Е -и Ъ г, в нагрузку с заданным сопротивлением
Принято различать узкополосное и широкополосное согласова ние. Согласование считается широкополосным, если оно осущест вляется в полосе частот, по крайней мере, превышающей 1/3 . октавы. Если же согласование имеет место в более узкой полосе частот, то оно считается узкополосным.
Узкополосное согласование осуществляют с помощью резонан сных колебательных контуров, имеющих достаточно высокую добротность. Для широкополосного согласования в аппаратуре электросвязи обычно применяют согласующие трансформаторы.
Однако конструктивная реализация трансформатора в микропленочном «исполнении практически невозможна. Выход был найден в замене трансформатора согласующим фильтром (СФ) из индуктивностей и емкостей, имеющим лестничную конфигурацию при четном количестве реактивных элементов.
Такое решение, обеспечивает не только согласование нагрузоч ных сопротивлений в заданной полосе частот, но также и галь ваническую связь между входом и выходом фильтра, что в ряде случаев (широкополосные усилители) бывает принципиально необходимым. Кроме того, по сравнению с трансформатором СФ при заданной неравномерности характеристики в полосе пропус
кания обеспечивает лучшее |
подавление сигналов |
за пределами |
этой полосы. |
|
|
Известные каталоги схем |
СФ 124, 321 находят |
ограниченное |
применение, поскольку по сравнению с характеристиками класси
ческих ФНЧ у СФ увеличивается число варьируемых |
(задаваемых |
||||
в техническом |
задании) |
параметров, что |
влечет |
за |
собой увели |
чение объема |
каталогов. |
Поэтому особый |
интерес |
и |
практическое |
значение приобретают инженерные методы прямого синтеза СФ. В этом параграфе будет показано, что задача аппроксимации передаточной функции СФ с равномерно-колебательной характе ристикой в полосе пропускания успешно решается с помощью специальной частотной подстановки [33], в то время как задачу реализации полученной функции легко решить методом ускорен
ного синтеза [25].
Постановка задачи. Типичная постановка задачи аппроксимации
Граничные угловые частоты_ нормированной полосы пропускания ФНЧ-прототипа и>р„ = — 1 и о)рв= 4-1 можно рассматривать как отображение на ось юр граничных частот полосы пропускания СФ
<лк=2л[„_и <1),,= 2 л/в соответственно. |
Подставляя в (5.28) |
сначала |
|
со = а>„ и шрн= — I, а затем |
ш = а)„ и |
получаем |
|
“ в = |
МО + Л; |
| |
(5.29) |
ч>2,= Шо—Л , |
| |
|
|
откуда при заданных о>в и и>„ однозначно определяем оба пара метра преобразующей функции частоты (5.28):
<4=(<»>; + ш;,')/2; А =(м2 — о>*)/2. |
(5.30) |
Схема согласующего ФНЧ из реактивных элементов представлена на. рис.' 5.7,а (обратим внимание читателя, что ветвь с большим
Рис. 5.7. Схема согласующего ФНЧ (а) и ее эквивалент при нулевой ча стоте (б)
из двух нагрузочных сопротивлений, т. е. всегда подключается параллельно емкости).
При нулевой частоте (постоянный ток) эквивалентная схема СФ приобретает такой вид, как показано на рис. 5.7,6, т. е. пред ставляет собой два проводника, соединяющих генератор и на грузку «напрямую». Рабочее ослабление такой цепи (из дву* проводников и двух сопротивлений) обусловленр исключительно рассогласованием этих сопротивлений и, как можно убедиться определяется формулой
Др(0) = 101§5о/ |
= 101е |С1 + г)г / |
4г) |
, |
(5.31) |
где $о — полная мощность в согласованном (# ' = |
# г) |
нагрузочном |
||
сопротивлении, подключенном |
непосредственно |
к |
|
генератору; |
5» — полная мощность в заданном нагрузочном |
сопротивлении |
|||
/?н, подключенном к генератору через четырехполюсник, ослабление *которого определяется (см., например, [1 1 1 ); /* — отношение
118
Исследуем, как повлияет изменение параметра п на неравно мерность рабочего ослабления ДА. С этой целью обозначим
( г - 1 ) / 2 Л/г“ = /С |
(5.39) |
|
и запишем (5.35) в более компактной |
форме |
|
С, = /С /61. |
|
(5.40) |
Поскольку замена П] на П з > п I |
приводит" к |
увеличению С, |
то при заданном К значения е и ДА уменьшаются. Уменьшение неравномерности ДА улучшает характеристику фильтра в полосе пропускания и не противоречит заданному условию ДА ^СДА Ь для полосы пропускания.
Поэтому, определив значение * /г2> следует вычислить |
соответ |
||||||
ствующее ему значение неравномерности характеристики ослабле |
|||||||
ния (ДА) г с помощью формул |
|
|
|
|
|
||
|
|
С-2 = сн(/?.21п - — |
; |
|
(5.41) |
||
|
|
|
|
“ в— “ и |
|
|
|
|
|
8 2 = |
К |
/ С 2; |
|
|
(5.42) |
|
|
(ДЛ)2=101е (1+е§). |
|
(5.43) |
|||
О |
пересчете |
полюсов при |
частотном |
преобразовании квадрата |
|||
модуля. |
Располагая |
значениями |
параметров |
е = е2 и п = |
п2 пере |
||
даточной |
функции-прототипа, |
а |
также |
значениями' параметров |
|||
<0§ и А преобразующей функции частоты, можно найти аналити ческое выражение квадрата модуля передаточной функцйи-прототи- па, подвергнуть его частотному преобразованию (5.28), после чего для 'получения операторной передаточной функции применить методику, известную из § 5.1.
Однако и получение коэффициентов знаменателя модульной функции прототипа, и пересчет их при частотном преобразовании, и вычисление корней полиномов аналитического продолжения функции ТЦы)Т(—/ш) являются трудоемкими, кропотливыми операциями.
Для уменьшения объема - вычислений воспользуемся непосред ственным пересчетом (частотным преобразованием) полюсов операторной передаточной функции-прототипа в полюсы переда точной функции согласующего фильтра. Решение этой задачи основано на переходе к операторной форме записи преобразующей функции частоты (5.28).
Обозначим параметр прямого преобразования Лапласа в урав нениях и функциях схемы прототипа символом
Р = О,+ /<!),,,