Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Применение частотных преобразований в теории цепей

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

7.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

График полинома Чебышева третьего порядка приведен на рис. 2.3. Этот график отражает следующие свойства полиномов

Чебышева.	_
1. На интервале	—К ш < 1	значение полинома л-го порядка
обращается в нуль в Л' точках		(так называемые узлы аппроксима
ции) .

2.При переходе через узел аппроксимации значение полинома изменяет свой знак.

3.В промежутках между узлами, а также на границах интер вала аппроксимации значение полинома по модулю достигает единицы.

4.За пределами отрезка. аппроксимации полином возрастает (по модулю) быстрее, чем любой иной полином такой же степени,

имеющий такую же неравномерность на отрезке аппроксимации. Отсюда следует, что ФНЧ с характеристикой Чебышева имеет равномерно-колебательную в полосе пропускания и монотонную в полосе задерживания характеристику (рис; 2.4 для п = 5). Число экстремумов зависимости Ар(со), считая экстремум в начале ко ординат (при о > = 0 ), равно порядку полинома (и порядку пере даточной функции) п. Неравномерность характеристики в полосе

пропускания определяется выбранным значением параметра е. Задание требований к характеристике ослабления. В техниче

ском задании на расчет ФНЧ должны быть указаны граничные частоты рабочей полосы пропускания, граничные частоты рабочей полосы задерживания, неравномерность характеристики рабочего ослабления в полосе пропускания ДАр, минимально допустимое

значение рабочего		ослабления в рабочей			полосе	задерживания
•Ар ,ш/1, значения обоих нагрузочных сопротивлений						(# г и /?,,)		или
одного из них.
Пример синтеза ФНЧ. Синтезируем фильтр, удовлетворяющий
следующим требованиям. В полосе частот 0—80 кГц							ААр^ З	дБ.
В полосе частот от 128 кГц			до 1200	кГц	Ар ^	20	дБ. Фильтр
предназначен	для	работы	между	нагрузочными			сопротивле
ниями /?„ =	/?г =	150 Ом.

Рис. 2.4. Частотная зависимость ослабления фильтра Чебышева пятого порядка

Рис. 2.5. К понятию о пересчете (нормировании) граничной частоты полосы пропускания

'Порядок передаточной функции находим следующим образом. По заданию фильтр при нормированной частоте соз должен-обеспе чивать рабочее ослабление, равное или большее, чем АрШ1„. Если значения обеих величин (со = сод и Ар= Ар1ШЯ) подставить в форму лу рабочего ослабления ФНЧ с характеристикой Баттерворта -(2.4) и грешить ее относительно л, то будет получен необходимый для выполнения заданных требований порядок передаточной функции ФНЧ Баттерворта п = пБ:

	1е-^(1о°‘1Аря"'л — и
ПБ =	Г*		(2.7)
ПБ =	------------- -----------		(2.7)
	_	21дш»
где е2 определяется из формулы		(2.3):
е2 = 100*\|ЛАр — 1.			(2.81
В нашем случае
е2 =	Ш01' 3 — 1 = 1 ;

|е -!_(10<и- 20 - I)

Поскольку порядок передаточной функции п должен быть целым числом (степень многочлена знаменателя передаточной функции), то полученное значение пБ округляем до ближайшего большего целого числа. Принимаем пБ — 5.

Порядок передаточной функции фильтра с характеристикой Чебышева п = пч находим из (2.5), предварительно подставив в нее так называемую гиперболическую форму записи полинома Чебышева:

Тп (со) = сЬ {п АгсЬ со).

(2.9)

Из (2.5) находим

сН(/2 АгсЬ <оз) = -^-"\/100,1 Ар'тя — 1

От известного значения гиперболического косинуса (правая. часть 'последнего равенства) переходим к аргументам обеих ча стей равенства:

п АгсН со3 =	АгсН (	— д /	Ю0,1 Ар — 1 ) .
откуда
	АгсЬ • (	— д	/100,1а р ™п — 1)	(2. 10)
П = Г\ч =	-	АгсН ь)1		(2. 10)
		АгсН ь)1

В нашем случае

пч = 2,99/1,05= 2,85,

где обратные гиперболические функции в числителе и знаменателе (2 .10) вычислены по формуле

АгсН х = 1п (х + л ! х2 — 1 ),

(2.11)

а е найдена, как и прежде, из (2.3):

е =	-\/ Ю°-\|4Лр — 1	(2.12)
Полученное значение п ч	округляем доближайшего	большего

целого числа и принимаем пч ==з.

Таким образом, заданные требования к частотной зависимости рабочего ослабления могут быть выполнены с помощью характери стики Баттерворта пятого порядка или с помощью характери стики Чебышева третьего порядка. Схемная реализация характери стики третьего порядка содержит три реактивных элемента и является более экономичной, чем схемная реализация характери стики пятого порядка, которая содержит пять реактивных элемен тов. Поэтому будем синтезировать фильтр с характеристикой Чебы шева третьего порядка.

Заметим, что заданные требования к частотной зависимости

ослабления являются очень		нежесткими (малое значение, ослабле
ния в	по юсе задерживания	при широкой	переходной			полосе) И
реализуются достаточно простой схемой. В более сложных случаях
существенный выигрыш в количестве элементов дает применение
ФНЧ с характеристикой Золотарева.
4.	Составляем схему ФНЧ, для чего			обращаемся			к рис. 2.1.
Один вариант получим, сохранив три реактивных элемента							(считая
от выводов нагрузочного сопротивления)			в	схеме	на	рис. 2 .1,а,
другой — сохранив три реактивных элемента				в схеме	на	рис. 2 .1.6.
Первый вариант содержит одну индуктивность и является эконо
мичнее	второго,' имеющего две.’ Поэтому из		двух возможных схем

выбираем первую, П-образную, как более экономичную и удобную для практической реализации.

Составляем схему ФНЧ, руководствуясь рис. 2.1,а, и выписы

ваем из табл.	2,2 значения		параметров		элементов			для	случая
0,711		ДАр =		3 дБ и п		3, округляя таблич
	— о	ные	значения, до		трех_ значащих				цифр:
0 — 1		С, =	3,35; и = 0,712;			С3 =		3,35, где ин
3,35	3,35	дуктивность выражена в генри, емкость -т-
4г	4	в фарадах.
		Полученная			схема		(нормированная
о—	•— о
		по граничной частоте полосы пропуска

Рис. 2.6. Схема к примеру		ния	и по	нагрузочному			сопротивлению)
синтеза ФНЧ		показана		на рис.	2.6 .

Изменяем уровень сопротивления и масштаб частоты харак

теристик нормированной схемы с целью получения заданных в

условии

задачи

значений

нагрузочного

сопротивления

гранич

ной частоты полосы пропускания./ Для этого:

а)

по ( 1.1) и (1.2 ) вычисляем

преобразующие

множители

сопротивления и частоты я 2 и п{:

150/1 =

0,15 •

103;

я«>= СО2/СО2 =

2я ^2/<йг =

2л 80 •

103/ 1 =

503*

103;

б)

по

(1.3) — (1.5)

определяем коэффициенты

пересчета эле

ментов сопротивления, индуктивности и емкости нормированной

схемы:

6* =

Пг =

0,15 •

103;

к \ — пг/п„

0,15-

107503103 = 0,298-

10_3;

кс =

1/пгп „ =

1/0,15103 - 503-

Ю3 =

13,3-

1(Г9;

в)

осуществляем

пересчет

параметров

элементов

нормирован

ной схемы:

Я т= к ц К г =

150 •

1 =

150 Ом;

/?„ =

кйК„ =

150 -

1 =

150 Ом;

а =

ксС\ =

13,3 •

10-9

3,35 =

44,6 •

Ю -9Ф;

кС и =

0,29810_3- 0,712 = 0;212 мГн;

С, =

АсС, =

13,3- 10 -9- 3,35 =

44,6-

10"

9 Ф.

6 .

Нессчитываем и строим график частотной зависимости рабо

чего ослабления

фильтра. Это можно сделать двумя

способами.

При первом задаются значениями нормированной частоты й функ ции-прототипа, вычисляют ослабление*при этих частотах и осущест вляют пересчет частот нормированной характеристики ФНЧ в ча стоты денормированной схемы.

При втором способе задаются значениями частот характеристи ки денормированной схемы, пересчитывают их д частоты нормиро ванной характеристики ФНЧ и уже для них вычисляют значения рабочего ослабления.

Формуларабочего ослабления фильтра с характеристикой Чебышева содержит полином Чебышева 7'п(ш), вычисление которо

го при л > 1 является	трудоемкий	задачей. Расчет облегчается,
если воспользоваться «тригонометрической? формой записи поли
нома Чебышева. Тогда	для полосы	пропускания, включая её гра

ницы, т. е. для значений 0 ^ а > ^ 1, расчетная формула	приобре
тает вид
Ар = 10 \%[ 1 + е 2 соз2 (п агс соз со) ]	(2.13)

синтеза ФВЧ методом частотного преобразования переменного р покажем на конкретном примере.

Заметим, что преобразование характеристик и схемы ФНЧ в характеристики и схемы ФВЧ можно было бы осуществить (см.,

например, [4]) также и с* помощью		преобразующей функции
р =	/,„(5) =	0)Л/5.	(2.15)
Эта функция отличается	от р = 1 /з только значением		масшта
бирующего множителя (.соо вместо 1).
Подобно функции [ш(5 )= 1 /5 функция* 1ш($)= сйо/$ осуществля

ет отображение всей			положительной	полуоси	мнимых величин
плоскости	5	на всю	отрицательную	полуось	мнимых	величин
плоскости	р.	Только теперь вместо отображения			угловой	частоты

ш= 1 (рад/с)		в частоту		и>р= — 1	осуществляется отображение
угловой	частоты	ш =	шо плоскости 5 в угловую частоту (ор= —шо
плоскости р, в		чем	можно	убедиться, подставив значение 5 = /(оо
в (2.15).
Следовательно, для получения ФВЧ с граничной частотой
полосы	пропускания		(огр=<о0 по		(2П5) необходимо подвергать

частотному преобразованию схему-прототип при той же граничной частоте.

Наличие масштабирующего множителя в (2.15), численно не ^равного единице, приводит к появлению соответствующего множи теля в формулах пересчета параметров элементов схемы-прототипа:

С'ь= 1/шо/^; ^ а= 1 / шоС*,

(2.16)

где штрихом помечены обозначения элементов схемы ФВЧ.

При работе со схемами и передаточными функциями ФНЧпрототипов, нормированными по шгр (как это обычно принято в справочниках), применение преобразования р = 1 /з представляется более целесообразным,, чем р = а)о /5, поскольку позволяет из норми рованной схемы и функций ФНЧ легко получить нормированную схему и функцию ФВЧ.

Пример синтеза ФВЧ. Необходимо синтезировать частотный фильтр ЬС, удовлетворяющий следующим требованиям к частотной зависимости рабочего ослабления: в полосе частот от 0 до 33 кГц рабочее ослабление должно быть не менее 20 дБ (полоса задержи


вания).	В полосе	частот	/ ^ 6 0	кГц неравномерность		рабочего
ослабления не должна превышать 3 дБ					(полоса пропускания).
Фильтр	предназначен для		работы	между	сопротивлениями		=
= /?г= 6 0 0 Ом. При		сравнении вариантов			следует отдать	предпоч

тение схеме, которая обеспечивает меньший выброс переходной

характеристики	[1].	обозначения: [1 и [2 — граничные ча
Р е ш е н и е .	1. Вводим	обозначения: [1 и [2 — граничные ча
стоты полосы	пропускания;	/з и /4 — граничные частоты рабочей

полосы Задерживания.

			В	нашем			случае		/\| =	оо;
		и =	60		кГц;		и =	33		кГц;
		/.»=	0.		Здесь		сохраняется
		принцип			нумерации,			принятый
		при	описании				характеристики
		ФНЧ:			граничная				частота
		полосы			пропускания			и пере
		ходной			полосы			обозначена
		индексом				2 ,	а	граничная
		частота			переходной				полосы
		и	полосы			задерживания —
		индексом				3.	Это		сделано
		с целью			получить «привычную»'
		нумерацию				частот		характери
	*)	стики ФНЧ-прототипа.								к
Рис. 2.7. Заданная характеристика			Представив				требования
		частотной				зависимости			ослаб
ФВЧ (а) и ее пересчет	в характе
		ления		в	виде		эскизного			(без
ристику ФНЧ-прототипа	(б)
		соблюдения				масштаба)			графика

(рис. 2.7), убеждаемся, что расчету подлежит ФВЧ с параметрами ДАр = 3 дБ; Ар/Н|/| = 20 дБ.

2.Изменяем масштаб частоты заданной характеристики с целью

получения граничной угловой	частоты	полосы пропускания
Ш2 = 1 рад/с. Для этого разделим	каждую	из заданных частот на
безразмерную величину равную /2:
2я/,	Ь
12лЫ	1Ы
В результате деления получаем о>\| =	оо; ю2=	.1; Юз=0,55; 0)4 = 0. На

построенном ранее эскизе проводим ось> нормированных частот

о) и обозначаем четыре нормированные частоты.
Нормирование по. граничной частоте полосы		пропускания <02
(а не по юз» например)	имеет то преимущество, что после пересчета
частот нормированной	характеристики ФВЧ в	характеристику

ФНЧ-прототипа эта характеристика также окажется нормирован ной относительно граничной частоты полосы пропускания.

'3. Находим требования к частотной зависимости рабочего ослабления ФНЧ-прототипа, схема которого будет преобразована

в схему	ФВЧ. Граничные	частоты		фильтра-прототипа	находим
по формуле		_	_
*.		(1>Р,= 1/ю,.
где р в	индексе служит	признаком		частоты фильтра-прототипа;
I — цифровой индекс частоты.
Результат пересчета: юр! = 0 ;			юр2=	1; юр3 = 1,82; юр4 =	со. Требо

вания к неравномерности характеристики рабочего ослабления в полосе пропускания и к норме рабочего ослабления в полосе

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги