книги / Применение частотных преобразований в теории цепей
..pdf
ной, то из (5.45) с учетом сказанного выше о свойствах и приме нении этой формулы можно получить следующий алгоритм пересче та полюсов операторной функции-прототипа.
1. Определяем параметр М к (расстояние /с-го полюса переда точной функции СФ от начала координат плоскости з) по формуле
м к= V (соо+ А со,,*)*+ (А |
(5.46) |
куда значение со,,* подставляется с его знаком.
2. Определяем параметр О* (вспомогательный угол, меньший 45°, к ко.тор<?му приводится аргумент з Л, т. ё. /е-го полюса искомой
функции) по формуле |
|
|
|
|
||
|
|
в* |
— агс |
— , |
|
(5.47) |
|
|
|
2 |
|юб + Ли>Р*| |
|
|
куда значение ырк должно быть подставлено |
также с его |
знаком. |
||||
3. |
Записываем выражения для |
/е-го и (2л |
1— /г)-го |
полюсов |
||
СФ в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
5*.2я+ 1-* = |
— Ок± /ш* |
|
|
|
и находим значения ак и со* по формулам: |
|
|
||||
а) |
при |
((»5 4 -Лсо^ ) > 0 |
|
|
|
|
|
|
а* = |
Л4А51'пО*; |
со*=Л/*со50*; |
(5.48) |
|
б) |
при |
(ш‘5+Асо^ ) < 0 |
|
|
|
|
|
|
о*= |
Л1лсо50*; |
(о* = М*51п0л. |
(5.49) |
|
Таким образом; в результате пересчета каждого полюса функ ции-прототипа Т(р) получаем два полюса передаточной функции СФ, поскольку частотное преобразование (5.28) удваивает степень полинома знаменателя передаточной функции СФ по сравнению со степенью прототипа. Пример применения формул приведен в конце параграфа.
Согласующий фильтр с характеристикой Баттерворта. Рас смотренную методику синтеза СФ с равномерно-колебательной в полосе пропускания характеристикой можно распространить также и на случай фильтра с максимально плоской в полосе пропускания характеристикой, т. е. с характеристикой Баттерворта.
Рабочее ослабление такого СФ определяется формулой
Л р=101е [1 + вЯ 2й].
После частотной подстановки (5.28), рассуждая, как и при выводе формул СФ с характеристикой Чебышева, приходим к фор муле
/С/е, = С8|. |
(5.50) |
|
|
|
|
|
1п(С,+л/С?-1) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
П,=---------:------------ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1п [(шв+ш„/(<ов— шн)] |
|
|
|||||
|
|
|
|
1п(4.72+.л/4,.721- 1 ) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1п 1(1 +0Г,6)/(1 - 0.6)] |
|
|
|
|||||
3. Округляем |
полученное |
значение п} до ближайшего большего |
||||||||||
целого числа и, |
применяя |
формулы (5.41) — (5.43), определяем неравно* |
||||||||||
мерность характеристики ослабления, соответствующую новому значению л: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
п2 — п\ окр = |
2; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
«йн-4*о)н |
|
|
1+ 0,6 |
|
|||
|
Сч= сН (п21п—— |
-) = сЬ (21п ------- )= 8 .0 3 ; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(1)в—шп |
|
|
1—0,6 |
|
|||
|
|
|
|
е2 = |
К/С2= |
2,4/8,03 = |
0,299; |
|
||||
|
(ДА ),= 1018 -\/7 + 1 Ё |
_ |
ю18 V |
1 + |
0.2992 = 0,371 дБ. |
|
||||||
4. |
,Таким |
образом, |
передаточная с |
функция-прототип, |
равномерно |
|||||||
колебательная |
в |
полосе |
пропускания, |
имеет порядок п = п2 = |
2 при |
|||||||
е = е2 = |
0,299. |
|
По |
формулам |
(5.24) — (5.27) |
предыдущего параграфа |
||||||
находим полюсы передаточной функции-прототипа: |
|
|
||||||||||
|
|
|
01,2 = —оР\ ± |
/Ыр1 = |
—0,7890 ± |
/ 1,060. |
|
|||||
При определении параметров п2, щ и ег нет никакой необходимости выполнять вычисления более чем.с тремя значащими цифрами. Но после того, как значения в и л выбраны, полюсы следует определять, как правило, с шестью- и более значащими цифрами, причем требования к точности определения полюсов возрастают по мере увеличения порядка передаточной функции л.
Однако в рассматриваемом простейшем случае (л = 2) вполне допустимо ограничиться меньшей точностью: в четыре значащих цифры.
Подформулам (5.46) — (5.49) находим полюсы передаточной функции СФ.'
а) Пересчет первого полюса
Р\ = —аР|+ М » | = —0,7890+/1,060;
М ,=л/(“? + Лир|)5+ (До,,)2 =
=\/(0,68 + 0,32-1,060)’+(0,32 -0,7890)*—1,025;
|
1 |
Л Ор\ |
|
I= — агс1е- |
|
|
2 |
|шо + А (0р11 |
1 |
0,32 • 0^7890 |
|
= — |
агс!е'------------- :--------------- = 6,96°. |
|
2 |
|0,68 + |
0,32 -1,0601 |
Перейдем к схемной реализации СФ. Поскольку нумерация полюсов приведенная в п. 5 расчета, удовлетворяет п. «а» ускоренного синтеза,
то по п. «б» и «в» находим
($ _ 5,) (у _ с3) = [5 - (-0,1242 + /1,017)] [5 — ( -0,2041 -
- /0,6192)1 = <52 + 0,39805 + 0,6551) - / (0,3985 + 0,1307) =
= М ( $ ) ~ ^N (з).
В соответствии с п.«г»
|
М (5) ___ |
, |
1 |
|
2 ”"2 <5) = |
Т Г й 0 ~ 2'5135 + |
0.6075, + |
1/ 5,012' |
|
0,1395 |
0,Б075 |
I*7'2,511 |
5,012 |
|
Рис. 5.8. Схема к примеру синтеза СФ
Схемная реализация полученной цепной дроби показана на рис. 5.8 „справа от оси 0—0'.
Следует быть особенно внимательным при схемной интерпретации последнего (чисто вещественного) элемента цепной дроби.
Поскольку первый элемент (2,513 5) имеет размерность сопротивления, то второй (0,6075 5) должен иметь размерность проводимости, а третий —
снова |
размерность сопротивления, что и отражено на схеме рис. 5.8: |
Н2= |
5,012 Ом. |
Левая половина схемы составлена как дуальная по отношению к правой. |
|
(Обратим внимание на одинаковые значения взаимно дуальных элементов обеих половин схемы.) Поскольку сопротивлению дуальна проводимость, то в левой половине схемы имеем
Ог=5,012 См или Дг= 1 /С г=0,1995 Ом.
Для перехода к первоначально заданным значениям нагрузочных сопротивлений и частоты необходимо, учесть следующее.
Метод ускоренного синтеза (реализации) передаточнрй функции антиметричного четырехполюсника приводит к схеме с нагрузочными
сопротивлениями |
|
Ян2= * и /?„,= 1/А, * > 1, |
(5 .54) |
откуда |
|
Ян,/л „ .= 6 г. |
|
Рис. 5.9. Частотная зависимость ослабления фильтра Чебышева четвертого порядка
рис. 5.7,6), то не равное нулю значение рабочего ослабления такого четырехполюсника свидетельствует о наличии рассогласования меж ду нагрузочными (# г и /?н) сопротивлениями фильтра. Именно по этой причине реализация передаточной функции ФН.Ч с характе
ристикой Чебышева четного порядка приводит к схеме с |
н е о д и |
н а к о в ы м и нагрузочными сопротивлениями, что, вообще |
говоря, |
часто бывает нежелательным в силу тех или иных соображений.
Можно преодолеть затруднение, если вместо |
(5.56) реализо |
||
вать модифицированную функцию, получаемую- |
из |
(5.56) |
путем |
частотной подстановки |
|
|
|
<^=а>г ( 1 - а ? ) + '0 ? . |
|
|
(5.57) |
где в соответствии с рис. 5.9 й , — угловая |
частота |
первого |
|
(ближайшего к началу координат) минимума |
зависимости |
||
Ар(<0р), равная частоте ближайшего к началу координат нуля поли нома Чебышева на положительной частотной полуоси.
Для анализа свойств преобразования (5.57) составим таблицу взаимного соответствия переменных ш и юр, задавшись значениями
частот модифицированной характеристики |
о) = 0 ; 1 и оо: |
|
|||
со |
|
0 |
1 |
оо |
|
о>р |
|
й I |
1 |
оо |
|
Полученная в |
результате |
подстановки |
(5.57) |
функция. |
|
Ар(о)р) при п = 2т |
по-прежнему |
соответствует |
частотной |
зависи |
|
мости рабочего ослабления ФНЧ четного порядка с единичной шириной полосы пропускания, но в отличие от (5.56) имеет при постоянном токе ослабление, равное нулю.
Методика схемной реализации, предлагаемая ниже, отличается от известной, например, из [9], двумя особенностями, которые позволяют резко уменьшить объем вычислительной работы и исключить этап определения корней вспомогательного уравнения степени 2 п или п на этапе реализации: предлагается, во-первых,>. операцию частотного преобразования квадрата модуля передаточ ной функции-прототипа заменить операцией пересчета ее полюсов, 128
Тогда при заданных орк и сорк пересчет полюсов сводится к следующему.
1. Определяем расстояние от начала координат плоскости 5 для к-го полюса (М* = |$*|):
М* = V (й? + Орк—■<«&)* + (2ар4Шр*)2/81п-^— ~ |
(5.62) |
2.Находим вспомогательный расчетный угол 0* по формуле
0* = — агс |
2<*ркирь |
(5.63) |
2- о?
3.Определяем модули вещественной и мнимой частей пары
комплексно-сопряженных полюсов 'модифицированной функции:
а) |
если |
(орк > |
Й2 + <урЛ, то |
|
|
|
||
|
|
|
<т* |
= |
М* 51П 0К; |
со* = М* сов 0*. |
(5.64а) |
|
б) |
если |
сор* < |
О? + |
Орк, то |
|
|
|
|
|
|
|
■ок = |
Мк соз 0*; |
со* = |
Мк 51п 0Л. |
(5.646) |
|
_ Располагая |
значениями полюсов |
передаточной |
функции |
|||||
Г,(5), можно найти ее схемную реализацию по методу ускоренного синтеза [16], поскольку функция (5.56) с полиномом Т2т(сор) четного порядка после частотной подстановки (5.51) продолжает удовлетворять условию реализуемости в. виде антиметричного четырехполюсника, приведенному в [16], а также в § 1.2 этой книги.
Формулы |
(5.62) — (5.64) |
легко получить самостоятельно, если |
подставить в |
правую часть |
(5.59) значение р — р к = —а р*-|-/и>р* |
и исследовать, как изменяются вещественная и мнимая части подкоренного выражения, когда полюс рк перемещается против часовой стрелки по дуге окружности (илиэллипса) в пределах второго квадранта плоскости р.
Проверочный расчет ослабления. Частотная зависимость рабочего ослабления в полосе задерживания фильтра с модифици рованной характеристикой определяется формулой
АДо))= 101?[1+ е2сН2(пАгсН*\/“ 2(1 — й 2)+ О?) ] ( 5 . 6 5 )
Можно заметить, что подстановка (5.57) приводит к некоторому уменьшению ослабления в полосе задерживания (по сравнению с ослаблением прототипа при тех же частотах).. Поэтому, выбирая вариант реализации с одинаковыми нагрузочными сопротивлениями, еще на этапе аппроксимации полезно убедиться, Что рабочее
130