книги / Применение частотных преобразований в теории цепей

двумя координатами. Следовательно, каждая точка кривой, выража­

ющей зависимость Р = / (1,(а), должна определяться четырьмя веще­ ственными координатами: а*, щ , арк> шрк. М ежду тем пространство трехмерно, и в таком пространстве нельзя построить точки, опре­ деляемой четырьмя координатами. Поэтому для графического изображения зависимости р = / ш(з) поступим следующим обра­ зом [12].

Возьмем две плоскости: плоскость 5 (плоскость аргумента), на которой будем изображать в виде точек значения комплексного переменного 5, и плоскость р • (плоскость функции), на которой будем изображать значения комплексного переменного р (рис. 1.10). Зададимся некоторым значением переменного а = 5| и покажем его в виде точки на плоскости 5. Формула р = / (>(5) позволяет вычислить значение р — р \у которое соответствует выбранному А|. Это значение также изобразим в виде точки, но уже не на плоскости 5, а на

бражение точек, принадлежащих кривой С5, в точки, принадле­

ка, принадлежащего отрицательной полуоси мнимых величин плос­

предвидеть, по крайней мере качественно, результат частотного преобразования переменного р и схемы-прототипа.

ответа вспомним, что амплитудно-частотная и фазо-частотная ха­ рактеристики четырехполюсника (фильтра) Описывают его поведе­ ние в установившемся режиме гармонических колебаний. Такому режиму соответствуют чисто мнимые значения переменного 5, причем изменению частоты гармонического колебания от 0 до оо соответствует перемещение точки 5 вдоль положительной полуоси мнимых величин от 0 до оо:

преобразования была получена чисто эвристическим путем.

Теперь исследуем свойства этого преобразования, применив рассмотренный выше математический аппарат.

Выберем в качестве кривой 0 5 всю положительнуюполуось мнимых величин плоскости 5 и предположим, что точка 5 пробегает вдоль этой оси от 0 до оо.

Здесь выражение 5= + /0 означает, что 5-»Д, оставаясь на положи­ тельной полуоси мнимых величин. Аналогично, выражение 5 з= + /оо следует понимать в том смысле, что переменное 5 неограниченно возрастает по модулю, оставаясь на э.той же полуоси.

Подставляя выбранные значения 5 в формулу (1.13), находим их отображения на плоскость ’р:

Результат расчета следующий:

Очевидно,. при изменении х от + /0 до + / оо переменное

рпробегает всю отрицательную полуось мнимых величин плоскости

рот —/оо до —/О соответственно. В частности, при 5 = /1 р = — /1.

Характер отображения положительной полуоси /ш на плоскость р поясняется рис. 1.11, на котором соответствующие друг другу точки осей /ш и /сор помечены одинаковыми значками: треугольником, квадратиком и кружочком.

Таким образом, зависимость р = 1/$ осуществляет отображение всей положительной полуоси мнимых величин плоскости 5 на всю отрицательную полуось мнимых величин плоскости р.

Покажем, что это свойство позволяет применить рассматрива­ емое преобразование для получения характеристик ФВЧ из харак­ теристик ФНЧ. Предположим, что требуется синтезировать ФНЧ,

имеющий граничную угловую частоту полосы пропускания, равную 1 рад/с. Эскиз частотной зависимости модуля рабочей передаточ­ ной функции такого фильтра показан в верхней части рис. 1.12. Поскольку в соответствующих друг другу точках осей /ш и

зависимость 7'|(со/,), показанную в нижней части рис. 1.12 сплошной линией.

Читателя не должно смущать то обстоятельство, что модуль передаточной функции схемы-прототипа оказался заданным на оси отрицательных частот, т. е. на отрицательной полуоси мнимых ве­ личин плоскости р. Известно, что модуль передаточной функции является четной функцией частоты. Поэтому, располагая одной ветвью этого графика (например, для о )^ < 0 ), можно легко по­ лучить другую ветвь (для шр> 0 ) ‘. Такое построение выполнено на рис. 1.12 штриховой линией. Рассматривая полученную зависи­ мость, убеждаемся, что в ' качестве прототипа служит ФНЧ с граничной частотой полосы пропускания <о;,= 1 рад/с.

Рис. 1.13. Перенос (отображение) частотной зависимости модуля переда­ точной функции с плоскости схемы-прототипа р на плоскость 5

Идею отображения (переноса) характеристик с плоскости про­ тотипа (плоскости р) на плоскость 5 иллюстрирует рис. 1.13. Здесь обе плоскости показаны в аксонометрической проекции. Над от­ рицательной полуосью мнимых величин плоскости р построена кривая, изображающая частотную зависимость модуля переда­ точной функции 7’|((ол), Эта кривая отображается в кривую Л(ш) над положительной полуосью мнимых величин плоскости 5 в соответ­ ствии с формулой (1.13).

Схемная интерпретация частотного преобразования комплекс­ ного переменного. Выше было показано, что, задавшись некоторой преобразующей функцией частоты /м(5), можно, во-первых, опре­ делить характер' отображения (переноса) схемных функций с плоскости схемы-прототипа на плоскость искомой схемы и, вовторых, из передаточной функции схемы-прототипа получить пре­ образованную передаточную функцию.

Однако возможности метода частотного преобразования пере­ менного р этим не ограничиваются. В ряде случаев обнаруживается, что существует, кроме того, возможность схемного истолкования или, как говорят, схемной интерпретации преобразующей функции частоты.

Т а б л и ц а 1.1. Схемная интерпретация формулы частот­ ного преобразования р = 1/5

Какому двухполюснику соответствует эта функция? Ответ зависит не *от буквенного обозначения коэффициента при переменном 5, а исключительно от того, в числителе или знаменателе дроби' 2/{з) находится это переменное. Наличие 5 в знаменателе выраже­ ния 2 \з) соответствует сопротивлению емкости:

Поскольку теперь переменное 5 находится в числителе, то зави­ симость 2 ' (5) соответствует операторному сопротивлению индук­ тивности

знаний и программ машинного счета. (Заметим, что методы реа­ лизации, не требующие вычисления корней вспомогательного урав­ нения, были предложены только в 70-х годах [13, 15].)

Было замечено, что в инженерной практике находит применение довольно ограниченное количество типов передаточных функций фильтров' Возникла идея: раз и-навсегда рассчитать схемы наиболее употребительных фильтров с помощью ЭВМ и представить результа­ ты расчета в виде каталога схем. Один из первых в мировой практике каталогов схем был издан в нашей стране [2].

Понятие о каталоге нормированных схем. Практически невоз­ можно было бы составить каталог схем ФНЧ для всех предполага­ емых значений нагрузочного сопротивления и граничной частоты полосы пропускания. Но в составлении такого каталога и нет ни­ какой необходимости. Вполне достаточно для передаточной функции каждого типа и порядка синтезировать только одну схему, нормиро­

для перехода к любым иным значениям нагрузочного сопротивле­ ния и граничной частоты полосы пропускания. Такой пересчет можно выполнить даже с помощью логарифмической линейки.

В каталогах обычно содержатся только схемы ФНЧ. Схемы ФВЧ, полосовых и заграждающих, как правило, не синтезируют заново, а получают путем частотного преобразования схем ФНЧ.

Описание таблиц. Примером таблиц элементов нормированных схем ФНЧ с характеристиками Чебышева и Баттерворта служат

Для каждой передаточной функции существуют, по меньшей мере, две схемные реализации, показанные на рис. 2.1. Схема на рис. 2.1,а начинается (считая от выводов нагрузочного сопротивле­ ния) с емкости С|, включенной параллельно этому сопротивлению, и должна содержать п реактивных элементов, где п — порядок пере­ даточной функции. Схема на рис. .2.1,5 начинается с индуктивности