Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теория химических реакторов. Введение в основные разделы курса

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

6.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Таким образом, математическое моделирование реакторов сводится к описанию поведения достаточно сложных схем, составленных из аппаратов двух основных идеальных типов.

Однако достаточно часто вышеуказанные особенности потоков приводят к сравнительно небольшим поправкам, и аппарат с достаточной степенью точности может быть описан как идеальный. Так, например, при отношении длины трубы к ее диаметру равном 20 и более со значительной степенью достоверности реактор может быть отнесен к типу аппаратов идеального вытеснения.

В любом случае, необходимо знать математические выражения, описывающие работу аппаратов идеального типа.

2. МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС РЕАКТОРОВ ИДЕАЛЬНОГО ТИПА

Для процессов, протекающих в любых аппаратах проточного типа, материальный и тепловой балансы описываются известным уравнением М.В. Ломоносова:

[Приход] = [Расход] + [Накопление].

(1)

Если это выражение перевести на язык химического реактора, то оно должно бытьзаписано следующим образом:

[Поступление сырья] = [Выход продуктов] +

(2)

+ [Накопление в объеме реактора].

При этом следует помнить, что накопление в объеме должно учитывать как изменение объема вещества в реакторе, так и изменение его концентрации. Если в процессе происходит не накопление, а, наоборот, расход имеющегося запаса, тоэто учитывается знаком «минус».

В объеме реактора только в первый момент содержатся исходные реагенты при их исходной концентрации. Далее, в связи с протеканием реакций, образуется реакционная масса, в которой можно определить только текущие концентрации исходных реагентов и веществ – продуктов реакций.

2.1. Реактор идеального перемешивания

Рассмотрим применение этого выражения для вывода уравнения, описывающего работу аппарата идеального перемешивания.

Пусть объем аппарата Vа, м3. В него подается реагент (сырье) с расходом R1 м3/ч при его исходной концентрации С1; расход из аппарата R2 м3/ч. В реакторе проходит химическая реакция, скорость которой описывается уравнением (см. главу 8)

−W = kCn .	(3)
r

За время dτ «приход», т.е. поступление реагента, составит С1R1dτ, в то же время «расход» составитСR2 d τ−WrV d τ. Первый член этого выражения соответствует расходу реагента из реактора при текущей концентрации С за время dτ, второй – описывает расход реагента на химическую реакцию за тот же период времени при его текущей концентрации С во всем объеме V.

Общее количество реагента в реакторе соответствует произведению СV, где V – текущий объем реакционной массы в объеме реактора, которая, в общем случае, меньше Vа. Прирост (или уменьшение) количества реагента соответствует полному дифференциалу произведения СV, т.е.

d(CV ) =VdC +CdV.	(4)
Текущий объем V может быть вычислен по выражению
V =V0 +(R1 − R2 )τ ,	(5)

где V0 – начальный объем реагента в реакторе (при τ = 0), например 0 м3; τ – время, прошедшее с начала проведения процесса. Следовательно,

dV = (R1 − R2 )dτ.

(6)

Подставляя все найденные выражения в уравнение (2), получаем уравнение материального баланса в явном виде:

1 1	( 2	+ kVCn	)	0	+	( 1	2 )		( 1	2 )	dτ.	(7)
C R dτ =	CR	+ kVCn		dτ+ V	+	R	− R	τ dC +C	R	− R	dτ.	(7)

Для разделения переменных перенесем все члены, содержащие dC, в левую часть уравнения, а содержащие dτ – в его правую часть:

V +	(	R − R	τ dC =	(	C R −CR − kVCn −CR + CR				dτ. (8)
0	(	1 2 )		(	1 1	2	1	2 )
									13

Отсюда, с учетом (5), может быть получено общее дифференциальное уравнение, описывающее реактор идеального перемешивания:

C1R1 − k[V0 +(R1 − R2 )τ]Cn −CR1

dτ

V0 +(R1 − R2 )τ

или

= −kC

−C

C1R1

(9)

d τ

V0 +(R1 − R2 )τ

Это

уравнение

не

может быть

решено в

общем

виде.

В то же время возможности современной вычислительной техники позволяют решать подобное уравнение численным способом для любого показателя порядка реакции n.

Рассмотрим частный случай уравнения (9) при R2 = R1 и n = 1. В этом случае оно может быть преобразовано к виду

C R

1 1

−C

+ k .

(10)

d τ

Введем следующие обозначения:

C1R1

= a ;

+ k = b ,

(11)

тогда уравнение (10) приобретает простой вид:

= a −bC .

(12)

d τ

После разделения переменных оно может быть решено простым

методом замены переменной:

d(a −bC )

−b1 d(a −bC )

= d τ; поскольку dC = −

= d τ;

a −bC

обозначим a −bC = z , тогда уравнение приобретает табличный вид:

−

d z

= d τ

(13)

и может быть легко проинтегрировано:

d z

−

∫

∫d τ −

∫2 ln z = ∫τ τ,

b z

или −

C ln

(

a −bC

)

= τ

−

(

a −bC

)

−ln

(

a −bC

= τ .

∫

1 )

b C

Разность логарифмов соответствует логарифму дроби:

−

a −bC

= τ ln

a −bC

= −bτ

a −bC

a −bC = (a −bC1 )e−bτ

bC = a −(a −bC )e−bτ

C =

−

−C

e−bτ .

Выполняем обратную замену для a и b:

C R

R +kV

−

C =

1−e

+C e

(14)

+ kV

Проверим решение (14) при предельных значенияхτ :

а) τ =

0 : C =

C1R1

(1−e

)+C1e

= C1 ;

R + kV

б) τ = ∞: C =

C1R1

−

+C1

C1R1

∞

+ kV0

Обращает на себя внимание результат проверки приτ = ∞: это установившийся режим реактора, и концентрация реагента никогда не сможет стать меньше найденной предельной величины, т.е. исход-

ный реагент в проточном реакторе идеального перемешивания всегда будет присутствовать и в выходном потоке, но, естественно, в меньшей

концентрации, поскольку величина	kV0 > 0. Если k = 0 (т.е. реакция
неидет), концентрация навыходе из реактора будет равна C1.
В то же время, если аппарат	замкнут (т.е. величина R1 = 0),
он представляет собой реактор	периодического дейст-

вия, предельное значение концентрации реагента при τ → ∞ равно нулю, если k ≠ 0. Если в этом случае k = 0, то концентрация всегда будет равна C1.

2.2. Реактор идеального вытеснения

Для аппарата идеального вытеснения схема расчета выглядит несколько проще, поскольку любой выделенный слой реагента рассматривается независимо. Поэтому при расчете концентрации реагента в нем необходимо учитывать только длительность протекания реакции. Формально рассматриваемый слой может покоиться на месте или совершать какие-то пространственные перемещения, также зависящие от времени. При перемещении слоя вдоль трубы по зависимости, связанной со временем, время как параметр может быть формально исключено из расчета. Так, например, если имеются две функции:

l = f1(τ) τ = 1 (l)

(15)

и С = f2(τ), то, подставляя найденное из первой зависимости время в качестве параметра во вторую функцию, получим:

С = f2 [ 1 (l)].

(16)

По этому же принципу выводится уравнение, описывающее работу реактора идеального вытеснения.

Введем понятие безразмерной степени превращения:

X =	C1 −C	,	(17)
	C

1

PNRPU

здесь(C1 −C) – количество превращенного вещества. Соответственно,

C = C1 (1− X ) ,	(18)
dC = −C1 d X .	(19)

Общее кинетическое уравнение, описывающее изменения концентрации какого-либо компонента во времени, может быть записано

в обычном виде:
		dC	= −kCn			(20)
			= −kCn			(20)
		d τ
и, учитывая (18) и (19), преобразовано в безразмерный вид:
−C1 d x	= −kC1n (1− x)n			d x	= kC1n−1 (1− x)n .	(21)
−C1 d x	= −kC1n (1− x)n			d τ	= kC1n−1 (1− x)n .	(21)
d τ				d τ

При постоянном сечении трубы реактора F (м2) элементарный реакционный объем на участке длины dL составляет dVr = F d L. Учитывая, что модель идеального вытеснения предполагает постоянство

объемного расхода, т.е. Vсек = F U = const (U =Vсек F – линейная ско-

рость движения реагента), величина dτ в (21) может быть представлена в двух вариантах:

d τ =

F d L

dVr

(22)

F U

сек

d τ =

F d L

d L

F d L

(23)

F U

сек

Соответственно, выражение (21) может быть записано

также

в двух вариантах, не содержащих время в явном виде (см. (16)):

Vсек d x

= kC1n−1 (1− x)n ,

(24)

dVr

Vсек d x

= kC1n−1

(1− xn ) .

(25)

F d L

Любое из этих уравнений – (21), (24), (25) – допускает разделение переменных и интегрирование в пределах изменения параметров.

Выполним, например, интегрирование уравнения (24). После разделения переменных выражение (24) приобретает вид:

d x

C1−n

d x

dVr

∫

∫dVr .

(26)

n−1

− x)

Vсек

(1− x)

Vсек

kC1

Левая часть интегрального уравнения (26) имеет математическую особенность при х = 1, поэтому решение уравнения распадается на два: при n = 1 иn ≠1:

—n = 1 :

—n ≠ 1:

C1−n x

−1

−C1−n

∫ln (1− x) =

∫Vr

ln (1− x) =

;

(27а)

сек

1−n x

d 1− x

)

1−n

−

(

−

∫0

Vr −

∫0

(1− x)

(1− x)n

Vсек

k (1− n)

Vсек

(

− x

)

;

(

− x

)

= z :

замена переменной: d x = −d 1

d z

−С1−n

1−n

∫

=∫Z −n d z =

Z −n+1

− x)

−1

−n +1

k (n −1)

(27б)

Vсек

(табличный)

Данные решения позволяют найти степень превращения реагента х в зависимости от времениτ , длины реактора L или пройденного объема реактора Vr. Так, например, для варианта (27а) получаем:

ln (1− x) = −	k	V	−	k	Vr
				C1−n	V
		r	1− x = e	1	сек
	C1−n	V
	1	сек

(потенцирование)

−

C1−n

x = 1− e

сек

= 1

− exp

−

Vr .

(28а)

C1−n V

сек

Учитывая, что

= τ

F L

можем записать еще два варианта

сек

этого решения (см. (16)):

		k
x = 1− exp	−		τ	,	(28б)
x = 1− exp	−	1−n	τ	,	(28б)
		C1

			kF
x = 1− exp	−			L .	(28в)
		C1−n V
	1		сек

Рассмотрим более подробно решение (28б). Принимая во внимание (18), найдем остаточную концентрацию реагента в момент τ:

C = C1 (1− x) C = C1					k
	1	− 1	− exp	−
					1−n
					C1

C = C1

		k
exp	−		τ	. (29)
exp	−	1−n	τ	. (29)
		C1

Вернемся к решению для аппарата идеального перемешивания, работающего в замкнутых условиях, т.е. при отсутствии расхода через него (R1 = R2 = 0). В этом случае решение (14) упрощается до соотношения

C = C1 exp(−kτ)

(30)

и совпадает с точностью до постоянного множителя в показателе экспоненты с решением (29). Однако, если в (29) принять порядок реакции n = 1, так же как и в решении (14), то результаты полностью совпадут. И это не случайное совпадение, оно следует из логики расчета реактора идеального вытеснения. В самом начале расчета нами был выделен элементарный слой, в котором реакция протекает одновременно во всем объеме – а это и есть условие работы реактора идеального перемешивания. Таким образом, реактор идеального вытес-

нения может быть представлен как цепочка последовательных бесконечно малых реакторов идеального перемешивания, имеющих в сумме такой же объем.

Одновременно этот результат позволяет выдвинуть идею расчета реальных аппаратов, основанную на так называемой функции распределения времени пребывания микрообъемов в реакционной зоне, которая будет рассмотрена далее.

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20235.05 Mб2Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы.pdf
#
12.11.202321.88 Mб2Теория упругости..pdf
#
12.11.20231.22 Mб5Теория функций комплексного переменного..pdf
#
19.11.202328.91 Mб2Теория функций комплексной переменной..pdf
#
12.11.20235.34 Mб5Теория химических реакторов введение в основной курс..pdf
#
12.11.20236.48 Mб1Теория химических реакторов. Введение в основные разделы курса.pdf
#
12.11.20232.15 Mб15Теория электрической связи. Основные понятия.pdf
#
13.11.202324.95 Mб12Теория электрической связи. Помехоустойчивая передача данных в информационно-управляющих и телекоммуникационных системах модели, алгоритмы, структуры.pdf
#
12.11.20232.38 Mб3Теория электрической связи. Помехоустойчивое кодирование в телекоммуникационных системах.pdf
#
20.11.20233.79 Mб2Теория электропривода.-1.pdf
#
12.11.2023548.89 Кб3Теория электропривода..pdf