книги / Теория химических реакторов. Введение в основные разделы курса
.pdf3. ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КАСКАДА РЕАКТОРОВ ИДЕАЛЬНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
Использование единичных реакторов идеального смешения или близких к ним по характеристикам не всегда оправдано в практике химической промышленности, поскольку тщательно смешать большой объем реагентов технически достаточно сложно. Кроме того, степень превращения в одном аппарате не всегда удовлетворяет требованиям процесса. В связи с этим часто применяется способ проведения реакций в нескольких соединенных последовательно реакторах меньшего объема с перемешивающими устройствами. Разработано несколько способов расчета подобных каскадов.
3.1. Алгебраический метод
Скорость химической реакции может быть описана обычным кинетическим уравнением:
W = |
dC |
|
= −kCn ( −W = kC при n = 1). |
(31) |
|||||
|
|||||||||
r |
d τ |
|
|
r |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Последнее выражение может быть представлено приближенным |
|||||||||
соотношением в конечных приращениях: |
|
|
|||||||
|
W |
= ∆C |
W |
= |
C1 −C0 |
|
, |
(32) |
|
|
τ−0 |
||||||||
|
r |
∆τ |
r |
|
|
|
|||
где τ – длительность |
протекания |
реакции |
в данном |
реакторе; |
|||||
С1 – конечная концентрация реагента в момент τ, а С0 – исходная концентрация реагента. Отсюда, для первого реактора можно записать приближенное уравнение:
τ = |
C0 −C1 |
, а для m-го реактора: τm = |
Cm−1 −Cm |
, |
(33) |
(−Wr ) |
|
||||
|
|
(−Wrm ) |
|
||
|
|
|
|
|
21 |
гдеCm−1 – концентрация реагента, выходящего из предыдущего, (m–1)-го реактора. Раскрывая (33) с учетом (31), при n = 1, получаем:
|
|
Сm − τm wrm = Cm−1 Cm + τm kCm = Cm−1 |
|
(34) |
|||||||||
|
|
Cm (1+ kτm ) = Cm−1 i |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
m |
= |
|
|
Cm−1 |
|
(например, для m =1: |
C |
= |
|
C0 |
). |
(35) |
1 |
+ kτ |
|
1+ kτ |
||||||||||
|
|
m |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
С1 – концентрация реагента, выходящего из первого реактора. Соответственно, для второго реактора:
C2 |
= |
|
|
C1 |
= |
C1 |
. |
(36) |
|
|
|
(1+ kτ1 )(1+ kτ2 ) |
|||||
|
|
1 |
+ kτ2 |
|
|
|||
Если время пребывания во всех реакторах, соединенных в последовательный каскад, одинаково, можно получить общее уравнение для m реакторов:
Cm = |
C0 |
, |
(37) |
(1+ k τ)m |
откуда, логарифмируя, можно найти число реакторов в каскаде, необходимое для достижения заданной степени превращения вещества (или его остаточной концентрации Сm):
m = |
lgC0 −lgCm |
. |
(38) |
||
lg 1 |
+ kτ |
) |
|||
|
( |
|
|
|
|
Применение алгебраического метода расчета для других значений n затруднено. В какой-то степени эти затруднения могут быть сняты за счет использования современной вычислительной техники.
22
Проведем анализ выражений (36) и (37). Общее время нахождения реагента в двух реакторах равно сумме τ1 и τ2 (36); с другой стороны, оноопределяется расходом сырья Vсек и общим объемом реакторов:
τ + τ |
2 |
= |
V1 +V2 |
. |
(39) |
|
|||||
1 |
|
Vсек |
|
||
|
|
|
|
||
Сравним остаточные концентрации реагента для двух вариантов проведения процесса:
а) в одном реакторе объемом V1 + V2 (время нахождения сырья
в таком реакторе τ1 + τ2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) в двух реакторах объемами V1 и V2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Для случая а: Cост1 = |
|
С |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1+ k (τ1 |
+ τ2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Для случая б: Cост2 = |
|
С0 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(1+ kτ1 )(1+ kτ2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Разделим второе выражение на первое: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
C |
|
= |
|
С0 1+ k |
(τ1 + τ2 ) |
= |
|
|
|
1 |
+ kτ + kτ |
|
= |
|
|
|||||||
|
|
ост2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Сост1 |
|
|
(1+ kτ1 )(1+ kτ2 )C0 |
|
|
|
1+ kτ1 + kτ2 |
+ k2τ1τ2 |
|
|
(40) |
|||||||||||
|
|
(1+ kτ1 + kτ2 + k2τ1τ2 )− k |
2τ1τ2 |
|
|
|
|
k |
2τ τ |
|
|
|
|||||||||||
= |
=1− |
|
2 |
|
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
1+ kτ1 + kτ2 + k2τ1τ2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1+ kτ1 )(1+ kτ2 ) |
|
||||||||||||||||
Эта величина явно меньше 1, т.к. в выражении (40) из единицы вычитается положительное число. Следовательно, разделение большого реактора на два меньших, но равных в сумме ему по объему приводит к увеличению степени превращения. Далее возникает закономерный вопрос: как должны соотноситься V1 и V2, чтобы глубина превращения была максимальна.
Вернемся к выражению (36): максимум степени превращения, очевидно, достигается при минимуме С2, иначе говоря – при максимальном значении знаменателя дроби. Запишем исходное ограничение: τ1 + τ2 = τ = const. Тогда τ2 = τ – τ1; подставим это значение в знаменатель z:
23
z = |
( |
1 )( |
|
|
2 ) |
( |
1 ) |
( |
|
1 ) |
(( |
1 )( |
|
|
|
|
)) |
|
||
1 |
+ kτ |
1+ kτ |
|
= 1 |
+ kτ 1+ k |
|
τ− τ = |
1 |
+ kτ |
1+ kτ− kτ |
|
= |
||||||||
=1+ kτ− kτ + kτ − k2τ2 |
=1+ kτ+ k2ττ − k2τ2 . |
|
|
|
|
|
|
|
(41) |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Максимум этого полинома достигается, очевидно, при |
|
dz |
= 0 , т.е. |
||||||||||||||||
|
|
d τ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d z |
= k2τ− 2kτ1 = 0 k2 (τ− 2τ1 ) |
= 0 τ1 |
= |
1 |
τ . |
|
(42) |
|||||||||
|
|
|
|
d τ1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Следовательно, максимальное превращение (при n = 1) достигается при равенстве объемов (длительности) всех реакторов каскада.
3.2. Итерационный метод
Для любого реактора в каскаде можно записать уравнение в приближении конечных приращений (см. (31)):
∆Cm−1,m = k∆τCmn , |
(43) |
где ∆τ – длительность пребывания реагента в реакционном объеме m-го реактора, она соответствует выражению (22),
т.е. ∆τ = |
Vr |
; величина ∆Cm−1,m соответствует (32) и (33): |
|
||
|
Vсек |
|
∆Сm–1,m = Сm–1 – Сm. Таким образом, разделив обе части уравнения (43) на Сm–1, получим следующее соотношение:
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
С |
m |
|
|
2 |
|
Cn |
||||||
Cm−1 |
−Cm = kCmn |
|
r |
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
= |
|
|
k |
m |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
Vсек |
|
|
|
|
Cm−1 |
|
Cm−1 |
|||||||||||||
|
|
|
1−νm = |
2 |
|
k |
Cn |
Cn−1 |
|
V |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
m−1 |
|
|
r |
|
. |
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cm−1 |
|
Vсек m |
|
|
|||||||||
Величина |
Сm |
= νm ; обозначим также |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Cm−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2kCmn−−11 |
|
|
V |
|
|
|
= Rm |
|
|
|
(44) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Vсек m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
24
1−vm = |
R |
vmn f (v) = |
R |
vmn + vm −1 = 0 (0 ≤ v ≤1). |
(45) |
|
2 |
||||
2 |
|
|
|
||
Задача сводится к нахождению степени превращения vm |
для m-го |
||||
реактора. После решения этого |
уравнения для каждого |
реактора |
|||
в каскаде общая доля непрореагировавшего вещества ν определяется по выражению
m |
|
. |
(46) |
v = П v |
m |
||
m=1 |
|
|
Уравнение (45) может быть решено любым способом, например подбором, методом дихотомии, методом Ньютона – Рафсона и др. В арсенале современных возможностей – услуги стандартных программ ПК.
Например, по методу Ньютона первая производная f ′(v) = = nR2 vn−1 +1, и итерационная формула Ньютона принимает вид
|
|
R |
vαn |
+ vα −1 |
|
|
|
|
|
|
|||
v |
= v − |
2 |
|
, |
(47) |
|
|
|
|||||
α+1 |
α |
nR vαn−1 +1 |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
где α – номер итерации; n – порядок реакции.
Метод не имеет ограничений по числу реакторов, их объему или порядку реакции. Использование уравнения (46) рекомендуется начинать с первого приближения ν1 = 1 и далее проводить расчет до тех пор, пока να+1 не приблизится к να с отклонением, меньшим заданной погрешности расчета.
Пример использования итерационного метода. В двух аппара-
тах с перемешивающими устройствами, включенных последовательно, проводится химическая реакция, кинетика которой описывается следующим уравнением:
−Wv = 2,2 C0,75моль л−1 мин−1 .
25
Скорость подачи смеси Q = 500 л/мин, начальная концентрация С0 = 1,8 моль/л. Объем первого реактора 200 л, второго – 400 л. После первого реактора 20 % сырья (0,2 от Q) подается мимо второго реактора и смешивается с его продуктами. Рассчитать концентрацию реагента на выходе из каскада с погрешностью не более 5 %.
1. Определим значение R1 по соотношению (44):
R1 = 2 2,2 1,80,75−1 500200 =1,519 .
2. Определим значение ν1 поитерационной формуле (47) при ν0 = 1:
|
|
|
|
1,519 10,75 +1−1 |
0,7595 |
|
|||||
|
|
v1 =1− |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
=1− |
|
= 0,516 . |
||
|
|
0,75 1,519 |
0,75−1 |
+1 |
1,5696 |
||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Определим ν2 при повторной итерации: |
|||||||||
|
|
1,519 |
0,5160,75 + |
0,516 −1 |
|
|
|
||||
v |
2 |
= 0,516 − |
2 |
|
|
|
|
= 0,516 − −0,0216 = 0,529. |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0,75 1,519 0,5160,75−1 +1 |
1,672 |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4. Оценка точности вычисления: |
|
|
|
||||||
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,529 −0,516 100 % |
= 2,5 % < 5 % . |
||||||
|
|
|
|
0,516 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Принимаем ν = 0,529; остаточная концентрация на выходе:
C1 = C0 ν =1,8 0,529 = 0,9522 моль/л.
С такой концентрацией реагент входит во второй реактор. 5. Расчет второго реактора:
R |
= 2 2,2 0,95220,75−1 |
|
400 |
= 4,454. |
|
|
|||
2 |
500 |
−0,2 Q |
|
|
|
|
|
||
26
|
|
|
|
4,454 |
10,75 +1−1 |
|
|
2,227 |
|
|
||||||
|
|
v1 =1− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
=1− |
|
= 0,1659. |
|||||||
|
|
0,75 4,454 |
0,75−1 |
+1 |
2,670 |
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,454 0,16590,75 + 0,1659 −1 |
= 0,1659 − − 0,2552 = 0,2364. |
||||||||||||
v |
|
= 0,1659 − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
0,75 4,454 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0,1659−0,25 +1 |
|
|
3,617 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,454 |
0,23640,75 + 0,2364 −1 |
||||||||||
|
|
|
v |
= 0,2364 − |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
0,75 |
4,454 |
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
0,2364−0,25 +1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
−0,0086 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= 0,2364 − |
= 0,2389. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3,395 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Оценка точности вычисления: (0,2389 −0,2364)100 % =1% < 5 %. 0,2364
Принимаем ν = 0,239.
6. Остаточная концентрация реагента на выходе из второго реактора:
С2 = С1ν = 0,9522 · 0,239 = 0,2276 моль/л.
7. Расчет остаточной концентрации реагента на выходе из каскада:
7.1.Байпасированный поток: 20 % (от Q) = 100 л/мин при концентрации, соответствующей потоку из первого реактора, т.е. 0,9522 моль/л.
7.2.Поток из второго реактора 80 % (от Q) = 400 л/мин при концентрации 0,2276 моль/л.
7.3.Смешение потоков:
Общий объем 100 + 400 = 500 л/мин.
27
Содержание реагента: 100 · 0,9522 + 400 · 0,2276 = 186,26 моль.
Концентрация реагента в суммарном потоке:
C = |
186,26 |
|
= 0,3725 моль/л. |
|
||||
|
|
|||||||
ост |
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кажущаяся эффективность каскада v |
′ |
= |
0,3725 |
= 0,207 . |
||||
|
1,8 |
|||||||
Степень превращения: х = |
|
1,8 −0,3725 |
= 0,793. |
|||||
|
||||||||
|
|
1,8 |
|
|
|
|
|
|
Она же другим способом: х =1−v′ = 0,793 .
3.3. Графический метод расчета каскада реакторов идеального перемешивания
Еще раз вернемся к выражению (31) для m-го реактора каскада. Проведем простые преобразования:
W |
= |
∆C |
= |
Cm −Cm−1 |
−W |
= − |
1 |
C |
|
+ |
Cm−1 |
. |
(48) |
||||
∆τ |
|
τ |
|
|
|
||||||||||||
r |
|
|
τ |
m |
− 0 |
r |
|
m |
|
m |
|
τ |
m |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В этом уравнении Сm–1 – концентрация реагента на входе в m-й реактор каскада; τm – время нахождения реагента в нем; Сm – концентрация на выходе из реактора, являющаяся параметром, поскольку она постепенно снижается, покасырьенаходитсявреакционномобъеме.
Правая часть соотношения (48) представляет собой уравнение
прямой линии типа y = Ах + В. Величина − |
1 |
соответствует тангенсу |
|
||
|
τm |
|
угла наклона А, а Cm−1 является постоянной величиной, соответст-
τm
вующей В. Вместо параметра х выступает текущая концентрация Сm. Решением уравнения (48), графически представленного на рис. 5, является точка пересечения прямой линии и кривой
−Wr = kCn (см. (31)):
28
Рис. 5. Графическое решение уравнения (48)
Для следующего реактора каскада m+1 логика решения будет аналогична (представлено пунктиром на рис. 5).
Пример использования графического метода. В каскаде после-
довательных реакторов идеального перемешивания объемами 200, 400, 600, 800 л проводится химическая реакция, кинетика которой описывается уравнением
−Wr = 2,2 С0,75 моль л−1 мин−1.
Скорость подачи смеси 500 л/мин, начальная концентрация реагента С0 = 1,8 моль/л. После первого реактора 20 % потока подается сразу втретий реактор. Рассчитать необходимое количество реакторов в каскаде, приусловии, чтостепеньпревращениядолжнабытьнеменее75 %.
Решение:
1. Рассчитаем кривую−Wr = 2,2 С0,75 :
С |
0 |
0,2 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
1,8 |
2,0 |
−Wr |
0 |
0,658 |
1,308 |
2,20 |
2,982 |
3,42 |
3,67 |
29
2. |
Рассчитаем τ = |
Vr1 |
= |
|
|
200 л |
= 0,4. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
V1сек |
|
|
|
500 л/мин |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
Вычислим свободный член уравнения прямой линии: |
||||||||||
|
|
|
|
|
С0 |
= |
1,8 |
= 4,5. |
|||
|
|
|
|
|
τ |
|
|||||
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4.Построим графики (рис. 6) и определим решение (точку пересечения) для первого реактора (С1).
5.Определим τ2 для второго реактора:
τ2 = |
Vr2 |
= |
400 |
=1. |
|
V 2сек |
500 −(20 %) |
||||
|
|
|
6. Вычислим свободный член уравнения (48) для условий второ-
го реактора: С1 = 0,93 = 0,93.
τ2 1 7. Построим график, позволяющий найти решение для второго
реактора. Для этого проведем прямую линию из точки С1 = 0,93 на оси абсцисс в точку 0,93 на оси ординат (см. рис. 6) и получим второе решениеC2 ≈ 0,22 .
Рис. 6. Графическое решение уравнения к примеру
30