книги / Теория химических реакторов. Введение в основные разделы курса
.pdfРис. 11. Последовательное включение реакторов
Рис. 12. Параллельное включение реакторов
|
C1 = W1 ( p) C0 |
|
|
|||
|
C |
2 |
= W |
( p) C |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
По определению: |
|
|
(78) |
|||
. |
||||||
|
|
|
|
|||
|
C = Wn ( p) Cn−1 |
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Исключая в (78) промежуточные переменные, получим: |
|
1 ( |
) |
2 ( |
) |
n ( |
) |
( |
) |
x , |
(79) |
C = W |
p |
W |
p |
W |
p = W |
|
p |
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
(80) |
|
или W ( p) = ПWi ( p). |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
Примем С0 = 1; введем коэффициент распределения αi потока V по параллельным реакторам таким образом, что Σ αi = 1. В этом случае:
Wi ( p) = |
Ci |
= |
Ci |
= Ci . |
(81) |
C |
|
||||
|
1 |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
Выходная концентрация может быть представлена в виде выражения:
Cвых = |
∑αi V Ci = ∑αi Ci . |
(82) |
|
∑αi V |
|
В связи с этим можно записать выражение для передаточной функции системы параллельных реакторов:
W ( p) = |
Cвых |
= |
∑αi Ci = ∑αi Ci . |
(83) |
|
||||
|
C0 |
C0 |
|
Умножив правую и левую части уравнения (81) на αi, получим:
αi Wi = αi Ci . |
(84) |
Следовательно, |
|
n |
|
W ( p) = ∑αi Wi ( p). |
(85) |
i=1
Рассмотрим рис. 13:
Рис. 13. Включение реакторов в схему с обратной связью
52
Здесь а – доля возвращающегося потока. Сложение потока обратной связи с основным потоком может привести как к уменьшению, так и к увеличению концентрации на входе в первый реактор. Поэтому система уравнений может быть записана следующим образом:
ИсключаяC0c
Отсюда:
i ( |
p |
)( |
0 |
± C |
0c ) |
C = W |
C |
|
|
||
C0c = a W2 ( p) C |
. |
||||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
С = |
|
|
Wi |
( p) |
|
C0 |
= W ( p) C0 . |
(83) |
|||
1 |
a W1 ( p)W2 ( p) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
W ( p) = |
|
|
Wi ( p) |
|
. |
(84) |
|||
|
|
|
1 a W1 ( p)W2 ( p) |
В выражении (84) знак «минус» соответствует положительной обратной связи.
Существует процедура составления передаточных функций сложных технологических схем, охваченных многими обратными связями (формула Мейсона). Она описана в учебниках по теории автоматического управления.
6.1. Основы операционного исчисления
Преобразование любой функции f (τ) в комплексный вид
F ( p) в комплексном р-пространстве и преобразование ее обратно
в Re -пространство сводится к ее прямому и обратному преобразованию по формуле Лапласа:
∞ |
|
F ( p) = ∫e− pτ f (τ)d τ , |
(85) |
0 |
|
|
53 |
где |
F(p) – функция |
произвольной |
комплексной |
перемен- |
ной p = a +iw , где w – частота. |
|
|
||
|
Функция f (τ) называется оригиналом, |
а F ( p) – изображением. |
Операцию перехода от оригинала кизображениюобозначаютввидеоператорногосоотношения:
F ( p) = L[ f (τ)],
(86)
или F ( p) f (τ).
Обратное преобразование проводится по уравнению |
|
||||
f (τ) = |
1 |
+∫i∞ F ( p)e+ pτ d p |
(87) |
||
|
|||||
|
2πi −i∞ |
|
|
||
и обозначается в операторной форме: |
|
|
|||
f (τ) = L−1 F ( p) , |
|
||||
|
|
|
|
(88) |
|
или f (τ) F ( p). |
|||||
|
Существуют обширные таблицы переходов в прямом и обратном направлении.
Используя преобразования Лапласа, дифференциальные уравнения приводят к уравнениям в операторной форме в комплексном пространстве. При этом основным преимуществом метода является то, что в пространстве изображений решение дифференциального уравнения сводится к решению алгебраических уравнений.
Процедура решения дифференциального уравнения этим способом схематически отражена на рис. 14.
В дифференциальном уравнении все производные заменяются изображениями по формулам:
dn f |
0 |
|
1 |
n−1 |
|
|
|
= pn F ( p) − pn−1 f ( |
) (+0) − pn−2 |
f ( ) (+0) − − f ( |
) (+0). |
(89) |
|
d τn |
||||||
|
|
|
|
|
Здесь f (z) означает производную функции f порядка z.
54
Рис. 14. Решение дифференциального уравнения
В частности: dd τf = pF ( p) − f (+0),
d2 f |
= p2 F ( p) − pf (+0) − f ′(+0). |
|
d τ2 |
||
|
В частном случае, когда начальные условия для функции f (τ)
вместе с производными до (n – 1)-го порядка равны нулю, формула (89) упрощается:
dn f |
= pn F ( p). |
(89а) |
|
d τn |
|||
|
|
Если в исходном уравнении содержатся интегралы, то они должны быть преобразованы по следующему выражению:
τ |
|
τ |
f (τ)d τ = |
1 |
F ( p). |
|
||
∫ |
|
∫ |
(90) |
|||||
p |
n |
|||||||
|
|
|
|
|||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
n
При такой форме записи дифференциального уравнения на комплексное число р распространяются обычные правила обращения с алгебраическими сомножителями, т.е. его можно выносить за скобки, сокращать и т.д.
55
6.2.Техника прямого и обратного преобразования Лапласа
Основные свойства преобразования Лапласа:
1.Однородность: если f (τ) F ( p) , тоλf (τ) λF ( p) .
2.Аддитивность: если f (τ) F ( p) и ϕ(τ) φ( p) ,
то f (τ) + ϕ(τ) F ( p) + φ( p).
|
f (τ) F( p) , то |
f (ατ) |
1 |
|
p |
|
3. Подобие: если |
|
F |
|
. |
||
α |
|
|||||
|
|
|
|
α |
4.Правило дифференцирования оригинала (см. (89), (90)).
5.Дифференцирование изображения:
если f (τ) F ( р) , то −τf (τ) F′( р).
Обобщение: (−1)n τn f (τ) F(n) ( p).
6. Интегрирование изображения:
если f (τ) F ( p) , то |
f (τ) ∞ |
||
|
∫ F (z)d z , |
||
τ |
|||
|
p |
где z – произвольная комплексная переменная.
7.Правило сдвига (теорема запаздывания):
если f (τ) F ( p) , то f (τ− t ) e− pt F ( p).
8.Правило затухания (теорема смещения):
если f (τ) F ( p) , то eλτ f (τ) F ( p − λ).
(Существуют ограничения:
Re p > S0 + Re λ; f (τ) < MeS0 τ ; M > 0 ; S0 > 0 ,
S0 – показатель роста.
9. Теорема свертывания (умножения изображений):
56
Сверткой функции |
f |
(τ) и |
ϕ(τ) называется функция от τ, опреде- |
|||||||||||||||||
ляемая равенством |
|
ψ(τ) = ∫τ |
f (и)ϕ(t −и)dи |
и |
обозначаемая f ϕ , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
читается: функция f(τ) свернута с функцией φ(τ). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Свойства свертки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
– коммутативность: f |
ϕ = ϕ |
f ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
– ассоциативность: ( f |
ϕ) ξ = f |
(ϕ ξ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
– рефлексивность: ( f |
|
+ ϕ) ξ = f |
ξ+ ϕ ξ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если |
f (τ) F ( p) иϕ(τ) φ( p) , то( f ϕ) F ( p) φ( p) . |
|||||||||||||||||||
10. Формула Дюамеля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
если lim f |
(τ) = f |
(0) и f (τ) F ( p) , аϕ(τ) φ( p) , то |
||||||||||||||||||
τ→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
pF ( p)φ( p) f (0)ϕ(τ) + ∫τ |
f ′(и)ϕ(τ−и)dи . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( p) = |
||
11. Если |
|
f (τ) = F ( p) и f ′(τ) – оригинал, то lim pF |
||||||||||||||||||
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p→∞ |
|
|
|
|
= lim f |
τ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
τ→+0 |
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
|
||
12. Если lim f |
τ |
существует, то lim pF |
p |
= lim f |
τ |
. |
||||||||||||||
|
|
|
τ→∞ |
|
|
|
|
p→0 |
|
τ→∞ |
|
|
Кроме этого, существует две теоремы разложения дробей, которые описаны в соответствующих руководствах.
Примеры:
1. Вычислить изображение единичной функции Хевисайда:
0 при τ < 0 |
. |
|
|
|
|
|||
σ(τ) = |
|
|
|
|
||||
1 при τ > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ − |
1 |
|
1 |
|
|
F ( p) = ∫e− pτ 1d τ = |
|
|
e− pτ = |
, |
||||
|
|
|||||||
|
|
|||||||
0 |
|
|
0 |
p |
p |
|
||
|
|
σ(τ) 1p .
57
|
|
|
|
2. Вычислить изображение функции f |
|
(τ) = τ . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
∞ + |
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( p) = ∫τe− pτ d τ = − |
|
|
e− pτ |
|
|
∫e− pτ d τ = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
p |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
τ |
e− pτ |
− |
1 |
e− pτ |
|
∞ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(интегрирование по частям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и = τ |
|
dи = d τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
dи d v = e− pτ d τ v = − |
1 |
e− pτ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
− pτ |
|
τ |
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
= e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim − |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
p |
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
pe |
pτ |
|
p |
|
p |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
τ→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Поскольку по правилу Лопиталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
1 |
|
||||||||
lim |
− |
|
|
|
|
= lim |
− |
|
|
|
|
|
→ 0 |
, получаем: |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
pe |
pτ |
|
|
2 |
e |
pτ |
|
|
p |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
τ→∞ |
|
|
|
|
τ→∞ |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить изображение функции f (τ) = eaτ :
∞
F ( p) = ∫e− pτ
0
Следовательно:
|
∞ |
|
|
e−( p−a)τ |
|
|
∞ = |
1 |
|
eaτ d τ =∫e(a− p)τ d τ = − |
|
|
. |
||||||
|
|||||||||
p − a |
|
p − a |
|||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|||
eaτ |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
p |
− a |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычислить изображение f (τ) = cos τ.
Представим косинус в комплексном виде (формула Эйлера):
τ = eiτ −e−iτ cos .
2
58
По правилу аддитивности, учитывая пример 3, получим:
cos τ |
1 |
|
1 |
+ |
1 |
|
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
p −i |
|
p |
2 |
+1 |
||||||
|
|
|
p +i |
|
|
|
5. |
f (τ) = eaτ −1 . По |
правилу аддитивности, |
|
учитывая приме- |
|||||||||||||||||||
ры 1 и 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
aτ |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−1 |
|
− |
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
p − a |
p |
|
p( p − a) |
|
|
|
|||||||||||||||
6. |
f (τ) = cos αt. По правилу подобия, с учетом примера 4: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||||
|
cosατ |
|
|
|
α |
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
p 2 |
|
p2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
+ α2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. Найти изображениеcos |
ατ, если |
|
sin ατ |
|
|
|
α |
; sin (+0) = 0 , |
|||||||||||||||
|
p2 |
+ α2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosατ = α1 (sin ατ)′ . Используем правило дифференцирования ори-
гинала (89):
|
|
d f |
= pF ( p) − pf (0), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
d τ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
cosατ |
1 |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||
|
|
p |
|
|
|
|
|
+ 0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
p |
2 |
+ α |
2 |
p |
2 |
+ α |
2 |
|||||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8. f (τ) = ∫τ |
1 dτ ; f (τ) = ∫τ τ d τ; |
|
f (τ) = ∫τ |
τ2 |
|
. Используем фор- |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
мулу (90), учитывая примеры 1, 2.
59
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫1 d τ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
p |
|
p |
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
τ2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫τ d τ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
p |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
τ τ2 |
|
|
|
τ3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
p |
3 |
|
|
p |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Отсюда |
|
τn |
|
|
|
1 |
|
|
≡ τn |
|
|
|
|
n! |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n! pn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9. Интегрирование изображения (правило 6): |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
eaτ −ebτ |
|
eaτ |
|
ebτ |
|
|
|
|
∞ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d z = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
τ |
|
τ |
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p z − a |
|
|
|
|
|
|
−b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
∞ ln |
(z − a) −ln (z −b) = |
|
∞ ln |
z − a |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
z −b |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
lim ln |
z − a |
|
−ln |
|
p − a |
|
= ln1−ln |
|
p − a |
|
|
= ln |
|
p −b |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p −b |
|
p −b |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z→∞ |
|
z −b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p − a |
10. Интегрирование изображения (правило 6) с учетом примера 7 при α = 1:
sin τ |
∞ |
|
1 |
|
|
|
∞ = |
π |
|
|
∫ |
|
|
d z = arctg z |
|
−arctg |
p = arcctg p. |
||||
|
|
|
||||||||
|
z |
2 |
|
|||||||
τ |
p |
+1 |
|
|
p |
2 |
|
|
11.f (τ) = σ(τ) −σ(τ−t ) (применяется правило 7):
σ(τ) −σ(τ−t ) 1p − 1p e− pt = 1−pe− pt
60