книги / Техническая термодинамика и теплопередача
..pdfт
8, 82 83 84 85
X
Рис. 10. Распределение температуры в плоской многослойной стенке
Вследствие стационарности задачи удельный тепловой по ток, проходящий через каждый слой, для всех п слоев будет одинаков.
В случае граничных условий первого рода, т.е. когда зада ны температуры на внешних поверхностях многослойной стен ки TSj и 7s(n+1), можно записать для удельных тепловых пото ков в каждом из слоев:
Перепишем уравнения в следующем виде:
Произведя почленное сложение, найдем:
Откуда |
|
т у т у , ! |
7s, - 7s(nt,| |
где / — номер слоя.
Очевидно, сумма, стоящая в знаменателе, есть суммарное сопротивление теплопроводности многослойной стенки.
Иногда при расчете многослойной стенки вводят в рас смотрение эквивалентный коэффициент теплопроводности который равен коэффициенту теплопроводности фиктивной од нослойной стенки, толщина которой равна суммарной толщи-
п
не исследуемой многослойной стенки ^ 5 , и при условии, что
/=i
разности температур на границах однослойной и многослой ной стенок одинаковы, а количество тепла, проходящее через них в единицу времени, совпадает. Таким образом, для вооб ражаемой однослойной стенки
/=1
где Хъа- эквивалентный коэффициент теплопроводности, оп
ределяемый из равенства уравнений
Я, |
Y A _ |
|
X V 4 |
||
|
Эквивалентный коэффициент теплопроводности дает воз можность сравнивать теплопроводящие свойства, многослой ной стенки, составленной из разнородных материалов, с од нослойной стенкой, выполненной из однородного металла.
Внутри слоя распределение температуры описывается уравнением
l,=TSl- q X
К ,
Здесь Xj - расстояние от начала /-го слоя, т.е. от плоскости его соприкосновения с (/ -1 ) слоем, где температура равна Tsr
Пользуясь этим выражением, можно последовательно най ти неизвестные температуры на границах всех слоев Ts2,
Ts3....... Ts„.
2.4. Цилиндрическая стенка
Чем больше у меня работы, тем больше я учусь.
Фарадей
Рассмотрим стационарный одномерный процесс теплопро водности в бесконечной цилиндрической стенке (рис. 11).
Если граничные условия на внутренней (г = г1) и внешней (г= г2) поверхностях стенки таковы, что они не зависят от угла
Рис. 11. Цилиндрическая стенка
0 и z, то очевидно, что искомое температурное поле не будет зависеть от этих переменных, и в стационарном случае урав нение теплопроводности примет вид
(2.5)
Пусть заданы граничные условия первого рода, тогда:
при r = rv Т = Ts{,
при г = г2, Т = Ts2.
Определим распределение температуры по толщине стенки. Уравнение (2.5) можно записать как
После первого интегрирования
После второго интегрирования общее решение
Цг) = СуInг + С2.
Постоянные интегрирования определяем из граничных ус ловий:
при г = |
г„ 7s, = |
+ |
С2, |
при г = |
г2, 7S2 = |
(^Inrj + |
С2. |
Тогда
|
C} = Th |
- T- |
^ |
Ts' lnr2 J s M - T s 2H |
||
|
|
|
I n i |
i n |
i |
|
|
|
|
|
r> |
|
rt |
|
Подставляя найденные значения С, и C2 в общее решение, |
|||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
Т(г) _ |
Ts* ~ TS| |
Inr I Ts' |ПГ; ~ TSl lnr< _ |
|||
|
|
I n i |
|
i n i |
|
|
|
|
|
»i |
|
»i |
|
|
|
Ts, I n |
i +Ts, I n i |
|
||
|
|
|
r, |
r |
( 2.6) |
|
|
|
|
|
I n |
i |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r. |
|
|
|
Анализ формулы (2.6) показывает: |
|
||||
|
1. Удельный тепловой поток в цилиндрической стенке |
|||||
п |
. 6 Т |
|
|
|
в |
„ |
9 |
= -л .— непостоянен по толщине и убывает к внешней по- |
|||||
верхности трубы |
(6 Т |
|
П |
I. Это связано с тем, что в стацио |
||
I |
~ j |
|||||
нарных условиях должен быть постоянным полный тепловой поток, проходящий через участок цилиндрической трубы дли ной L и равный qS, где S = 2пгЦ поскольку же S увеличивается
с радиусом, то, естественно, удельный тепловой поток дол жен убывать.
2. Температура по толщине цилиндрической стенки изме няется нелинейно — по логарифмическому закону.
Плотность теплового потока
д = -Х — = -Х |
~ ^S| = X |
, |
dr |
r I n i |
r I n i |
Количество тепла, проходящее через участок цилиндричес кой трубы длиной L в единицу времени:
Видно, что количество тепла О не зависит от г.
2.5. Контактное термическое сопротивление
...ум заключается не только в знании,
но и в умении прилагать знания на деле.
Аристотель
Идеально плотный контакт между отдельными слоями мно гослойной стенки получается, если один из слоев наносят на другой в жидком состоянии или в виде текучего раствора (цементного, гипсового и др.). Твердые тела касаются друг друга только вершинами профилей шероховатостей (рис. 12). Площадь контакта вершин пренебрежимо мала, и весь тепло вой поток идет через воздушный зазор. Это создает дополни тельное (контактное) термическое сопротивление Rv (кг-К)/Дж.
Его можно приближенно оценить, если принять, что толщина зазора между соприкасающимися телами § в среднем вдвое меньше максимального расстояния 5макс между впадинами ше роховатостей.
Рис. 12. Схема контакта между двумя телами
Так, при контакте двух пластин с шероховатостью поверх ности 5-го класса (после чистовой обточки, строгания, фре зерования) 5 ^ « 0,03 мм и в воздухе комнатной температуры
Я, = 5/Л. = 1,5-10'5 / (2,59-Ю '2 )=0,58-10*3.
Это эквивалентно термическому сопротивлению стали тол щиной около 30 мм.
Для уменьшения контактного сопротивления необходимо заполнять зазоры каким-либо материалом с более высокой, чем у воздуха, теплопроводностью, например спаять или хотя бы склеить поверхности.
Контрольные вопросы.
1.Как распределяется температура по толщине плоской и цилиндрической стенок?
2.Из чего складывается термическое сопротивление теп лопередачи однослойных и многослойных стенок?
3.Как определяется контактное термическое сопротивле
ние?
4.Как находится эквивалентный коэффициент теплопро
водности?
5. Назовите единицы измерения тепловой проводимости стенки, коэффициентов теплообмена и теплопередачи.
Глава 3. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
Невежество - лучшая в мире наука,
она дается без труда и не печалит душу.
Бруно
В этом разделе обсуждаются процессы нагревания и ох лаждения тел, т.е. так называемые переходные процессы.
3.1. Общее решение уравнения нестационарной одномерной теплопроводности
...важнейшим элементом любого творчества является интуиция.
И.М. Лифшиц
Уравнение нестационарной трехмерной теплопроводнос ти (при отсутствии источников теплоты в теле) имеет вид
г дгт д2Т |
д 2Т |
|||
dt |
дх2 |
ду2 |
1 |
|
|
д 2 |
|||
где , Т = f(x,y,z,t) ; а = Х/рс - |
коэффициент температу |
|||
ропроводности. |
|
|
|
|
В одномерном случае уравнение упрощается: |
||||
дгТ |
: |
. j_ |
а г |
(3.1) |
v 2 |
a |
d t ’ |
||
дх* |
|
|
||
Решим уравнение (3.1) методом разделения переменных. Решение будем искать в виде произведения двух функций:
Т = f(xt t) = X(x)F(t) . |
(3.2) |
где X - функция только от х; F - функция только от t.
Подстановка выражения (3.2) в уравнение (3.1) и деление его на произведение Х(х) F(t) дает:
д 2Т С1. , д гХ дТ у . .8 F
д х г = F{t)W |
l f |
=X{ x) r ’ |
1 д г х |
1 |
dF( t ) |
X 8 х 2 |
a F ( t ) |
( 3 .3 ) |
8 t ' |
Поскольку левая часть равенства (3.3) является функцией только от х, а правая часть — функцией только от t, то это значит, что они не меняются при изменении х и t, т.е.
d2X |
1 1 |
dF |
dx2 |
a F |
dt |
Постоянную выберем в форме ± кг.
Теперь уравнение (3.3) распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения:
f i x |
± к 2Х, |
(3.4) |
|
dx2 |
|||
|
|
^ = ± k2aF. |
(3.5) |
Уравнение (3.4) в случае (+ кг) имеет следующее общее |
|
решение: |
|
X = C1eta + C 2e"ta, |
(3.6) |
а в случае ( - к2) |
|
X = C3coskx + C4sinkx, |
(3.7) |
Обыкновенное дифференциальное уравнение (3.5) реша ется разделением переменных:
Общее решение уравнения |
161 |
нестационарной одномерной теплопроводности |
y - = ± k 2 adt.
После интегрирования этого уравнения получим:
\nF = ± k 2 at + 1пС5,
откуда выписывается общее решение (3.5) для (± к2):
F = C5 exp(±a/c2f) . |
(3.8) |
Общие решения (3.6), (3.7), (3.8) используются для полу чения частных решений конкретных задач теплопроводности. Уравнение (3.6) предполагает экспоненциальное распреде ление температуры, а уравнение (3.7) допускает разложение распределения в бесконечные ряды. Уравнение (3.8) может дать экспоненциальное распределение температуры (показатель стенки со знаком минус) или периодическое, если к2является
мнимой величиной.
Общее решение уравнения (3.1) (для случая - к 2) имеет
вид
T = XF = (C3coskx + C4 sin/cx)С5 ехр(±ak2t). (3.9)
Отметим, что не всегда функцию, являющуюся решением уравнения (теплопроводности), можно представить в виде про изведения двух функций, каждая из которых зависела бы толь ко от одной переменной. Например, решением уравнения (3.1) является функция
1{ k - x f
Т= С, — ехр
л /Г |
4at у |