книги / Техническая термодинамика и теплопередача
..pdfЬ х
Рис. 25. Зависимость коэффициента трения по длине пластины
ном слое. Как и в ранее рассматриваемых случаях предста вим Т(у) в виде полинома:
f(y) = b0+b )y + b2y2+b3y3 + ... + Ьпуп. |
(6.3) |
Количество членов такого полинома и значение коэффи циентов Ь0, Ь ,,.... Ь„ можно определить по выбранным гранич
ным условиям. Используем для данного случая два граничных условия на стенке и два — на границе слоя.
На стенке при у = О Т= Тст, учитывая, что тепловой поток
q постоянен, будет |
= 0. Но т.к. q = |
, то при у = О |
^ |
* |
у у-о |
dy* |
|
|
На границе слоя при у = ST Т= Г . и — |
= 0. |
|
|
dy |
|
Подставим граничные условия в формулу (6.3), получим сис тему уравнений для нахождения четырех коэффициентов Ь0, Ь„
М з :
1 Г Я=Ь0.
2. — = Ь, +2ЬгУ+ЗЬ3у = Ь ,+ 2о г +ЗЬ362Г = 0.
ду
3. |
T „ - b 0 + b fij + b^bj. |
|
|
|
|
|
4. |
£ ! l = 2b2 + 6b3y = 2Ьг + 663y |
0 = 0, |
b2 = 0. |
|||
|
d l |
|
|
|
|
|
|
b, + ЗЬ35? —0 —►b, = —35?b3 , |
|||||
|
|
= TCT + bj5j- + b35?, |
|
|||
|
|
— 7^- —35?b3 + 5?b3, |
|
|||
|
|
7 ;-Г с т= -2 Ь 353Г1 |
|
|
||
|
|
b3 = TCT ~ Tj |
|
|
|
|
|
|
|
26? |
|
|
|
|
|
(^сг-т;) |
3 (Tj-Гст) |
|
||
|
1 |
26r |
2 |
6r |
|
|
Или,г используя соотношения для 0 |
и а |
|
||||
|
® ~ ^оо- ^ст! |
& = Т - ГСТ( |
|
|||
окончательно получим: |
|
|
|
|
||
|
W - T CT+! |
& ^ |
y - i |
^ |
k |
f y l |
|
|
|
|
|
|
I»? |
W-rCT-|(r.-rCT)X-Itz5a V
5?
© 2 sr 2 [ s? J
Имеем профиль скорости:
и 2 6 2 18 j
Зная $(у) и Vx(y)t можно записать интегральное соотноше
ние для теплового слоя в таком виде:
6т Г |
1 |
/ |
|
|
2 |
г \ 3 |
|
|
± г 3 Х |
х |
|
|
_У_ |
dy = |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|||
d x j 2 дт 2 V S rJ |
|
|
А , |
|
||||
_ |
а 0 3 |
3 |
о |
2 _ 3 |
а |
(6.4) |
||
~ & и а з25г |
2 |
т У |
~ 2 и ^ г |
|||||
|
||||||||
Приведенный интеграл легко вычислить, если положить, что тепловой пограничный слой меньше динамического или равен ему, т.е. Ьт<, 5 (рис. 26). В этом случае интеграл в ин
тервале 5г - 5 всегда обращается в нуль, т.к. 0 = $ и, следо вательно, значение подынтегральной функции в выражении (6.4) всегда равно нулю.
Рис. 26. Распределение температуры и скорости в пограничном слое
Если |
- L = h < 1, т.е. |
5Т = /7б, то интеграл |
в уравнении |
|||||
| М ( |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
Sr |
|
|
|
|
|
з _ и _ _ .I J |
|
|
J |
|
|
|
3 И |
L L |
|||
|
|
|
4 S 4/)3 |
4 5V |
4 б 6/>3] |
|||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
У5 , |
3 у5 |
|
|
|
|
|
|
Л320 |
65 |
h320 55 |
/)328 57 |
|
|
4 |
8 |
4 |
20 |
20 |
28 |
|
|
Оценивая слагаемые, видим, что второе из них мало по сравнению с первым, т.к. мы предположили, что 6Г< 5 , т.к. h < 1. Пренебрегая вторым слагаемым, окончательно получим
дифференциальное уравнение:
|
--------------3 |
d8h2= |
-------------3 |
а |
или |
|
|
|
20 |
dx |
2 |
UJ o |
|
|
|
|
h3b ^ |
+ 2Л252 — |
= 10 -^ -. |
(6.5) |
|||
|
dx |
|
dx |
|
Ue |
|
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
g d5 _ J40 _v_ |
г |
|
, |
vx |
г = 280 |
vx |
|
dx |
13 Ua |
|
|
|
U j |
13 |
U . ’ |
подставим их в уравнение (6.5): |
|
|
|
|
|||
|
/]3 M 0 _ v _ |
о/?2 — |
— |
— |
|
|
|
|
13 О . |
+ |
13 |
и . dx |
|
|
|
лз14 |
v + 28 |
v x 2 ft2 d h = 1 i |
|||
13 |
a |
13 |
a |
dx |
|
13 |
|
/>3 + 4x/i2^ - |
=1. |
||
a ^ |
|
d x) |
|
||
14 |
|
|
|
|
v |
Приняв дробь ■— * |
1 и, учитывая, что — = Рг, получим: |
||||
13 |
|
|
|
|
3 |
|
,3 |
4 |
dh3 |
1 |
( 6.6) |
|
/Г |
+ —Х------ = — . |
|||
|
|
3 |
dx |
Рг |
|
Если сделать подстановку <р = h3, то |
|||||
|
|
4 |
сУф |
1 |
|
|
v |
3 |
dx |
Рг |
|
и очевидным частным решением этого уравнения будет ф =
(подставляя, можно в этом убедиться), т.е. ^ = ^ттз" или
. 5г |
1 |
с |
5 |
4,64 |
К Г |
" • i - w |
|
r ’ ^ b - w |
v - w |
k ' |
|
Следовательно, для теплового пограничного слоя
8T ~<Jx.
Безразмерная толщина теплового ламинарного слоя на пла стине:
5Г |
4,64 |
Jvx |
4,64 |
Vvx |
X |
V P Г Х |
& |
|
|
|
4,64 |
4,64 |
|
|
|
V P r V ^ /v |
VPr'VRe |
|
|
число Pr = const, то «L |
1 |
X |
|
При решении предполагалось, что h = • ^ < 1 , т.е. тепло- |
|
|
6 |
вой слой меньше динамического и число Рг > 1. Следователь но, полученные результаты непригодны для жидких металлов. (Однако формула дает удовлетворительные результаты и для 0,5 < Рг < 1.)
Найдем величину коэффициента теплоотдачи для рассмат риваемого случая. Тепловой поток от пластины или к пластине можно представить в виде
Q = = а(Т — 7"ст)= (Х 0 ,
У=О
откуда, пренебрегая знаком, получим:
х_ а г |
_ X |
0 ду |
ои 1 © |
Из выражения (6.7) имеем
^(Г-Гст) |
|
_ _ Х д Э |
(6.7) |
|
|
у=0 |
” 0 |
ду |
|
|
|
7 |
|
|
Я<1 |
3 0 |
|
|
|
—= -------- .
% U 2 ът4
4 64 |
I vx |
Учитывая, что 6r = -р = - |
I— , получаем окончательно для |
VPr |
V и* |
локального коэффициента теплоотдачи:
а
X
Рис. 27. Зависимость коэффициента теплоотдачи по длине пластины
Приведенная на рис. 27 зависимость локального коэффи циента теплоотдачи а от х показывает, что у переднего края пластины значение а очень велико, а затем, по мере удаления от переднего края, оно убывает.
В практике интересуются не локальным, а средним значе нием коэффициента теплоотдачи а ср:
Таким образом, среднее значение коэффициента теплоот дачи всегда равно удвоенной величине локального коэффици ента на данной длине пластины.
Часто законы переноса тепла выражаются через критерии подобия в виде
Nu = f{Re.Pr).
Если величину локального коэффициента теплоотдачи
в уравнении (6.8) умножить на — , то уравнение примет вид А.
или для среднего числа Нуссельта
— = « е р Х = 0,646 ^ р Г ^ Й ё .
X
Количество тепла, отдаваемого в единицу времени с од ной стороны пластины единичной ширины:
О = а(7ст- 7 1)/.-1 = ^ ( 7 ст- Т ,) = Щ Т а
6 .2 . Приближенный расчет трения и теплообмена в турбулентном пограничном слое
Распределение скорости в ламинарном пограничном слое определяется кубической параболой.
Для турбулентного пограничного слоя кривая распределе ния скорости обладает гораздо большей кривизной, чем для ламинарного пограничного слоя.
Хорошее приближение к действительному распределению дает экспериментальная формула Прандтля
(6.9)
v' = u4 0
Однако для участка лежащего непосредственно на пласти не, формула неверна. Действительно, определим г0 на повер хности:
dv, |
|
|
т0 = ц - ду У=0 |
1 6 |
|
|
767у 7 |
0 |
|
|
Как видно, напряжение трения для принятого профиля ско рости на поверхности пластины стремится к бесконечности,
что физически невозможно. |
|
|
В действительности, |
|
|
турбулентность всегда |
Ч |
и ~ |
исчезает у поверхности. |
|
|
Чтобы выйти из затруд |
|
|
нения Прандтлем была |
|
|
высказана гипотеза о |
|
|
том, что между турбу |
|
|
лентным пограничным |
|
|
слоем и поверхностью |
|
|
пластины существует ла |
|
|
минарный подслой, в |
|
|
пределах которого ско |
|
|
рость изменяется линей |
7 / |
/ У |
но по координате у, а за |
Рис. 28. Распределение скорости в |
|
пределами этого под |
||
слоя справедливо рас |
турбулентном пограничном слое |
|
пределение (6.9), как по |
|
|
казано на рис. 28. |
|
|
Силу трения на поверхности, в этом случае (здесь) необ ходимо определять непосредственно из опытов. Для пластины формула напряжения трения экспериментально установлена Блазиусом ^
Подставляя распределение скорости в виде
, = и Ш
в формулу, получим
При вычислении этого интеграла пренебрегаем некоторой неточностью формулы (6.9) в ламинарном подслое.
Подставляя полученное значение интеграла в уравнение импульсов, найдем
|
ц2 |
_ |
то |
|
|
|
dx |
р |
|
^ - и 2 ^ - = |
|
V |
4 |
|
0.0228 и2 |
Е |
|||
72 |
dx |
|
Н |
|
84d54 ao2280 4<*
| d S 5 = 0 - 2 3 5 ^ J 4 dx
5 |
1 |
5 * = j 0 . 2 3 5 ^ j 4 x + const
Прежде чем определить постоянную интегрирования в пос леднем выражении сделаем замечание.