книги / Техническая термодинамика и теплопередача
..pdfРис. 22. Профиль продольной составляющей скорости в начальном и произвольном сечении пограничного слоя на пластине
Исходя из вышесказанного можно дать определение тол щины вытеснения. Толщиной вытеснения называется толщина такого условного слоя, в котором скорость будет равна нулю, если в остальном потоке все скорости привести к скорости U, сохраняя при этом расход в данном сечении пограничного слоя тем же самым.
Рис. 23. Распределение удельного расхода по толщине пограничного слоя
5.3. Интегральное соотношение для теплового ламинарного пограничного слоя.
Тепловой слой на пластине
А математику еще затем учить следует, что она ум в порядок приводит.
М.В. Ломоносов
Аналогично уравнению импульсов для динамического по граничного слоя можно получить интегральное соотношение и для теплового пограничного слоя.
Преобразуем уравнение теплового пограничного слоя при
Рг= 1:
„ дТ |
.. дТ |
д2Т |
(5.6) |
V, — + У„ — = а— 5- |
|||
Эх |
г ду |
дуг |
|
и запишем его левую часть в виде
.. дТ |
..д Т |
8VT |
dVf T |
f д\/ |
дх |
у ду |
дх |
dy |
^ dx |
При использовании уравнения неразрывности видно, что последний член равен нулю и уравнение (5.7) запишется сле дующим образом:
dVJ | дУуТ ^ д2Т
(5.8)
дх ду ду2
В свою очередь, уравнение неразрывности представим так:
sv.L |
, 3VyL |
р |
дх |
ду |
|
Теперь из уравнения неразрывности вычтем уравнение (5.8) и затем проинтегрируем по у от 0 до 5 по толщине слоя, полу чим:
a v .L |
, svtL |
d v j |
a v j |
|
dx |
dy |
dx |
dy |
dy2 ' |
dT
|
Т.к. п р и у = 5 г Г = Гк и — |
= 0 , а при y = 0 1Л = 0,то |
||||
|
|
|
Sr |
5y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.9) |
|
|
|
|
|
|
y=o |
Разделив это уравнение на U J Mt получим: |
||||||
|
|
± |
бт |
U |
. _ Lа |
дТ |
|
|
|
||||
|
|
* |
Л |
L |
и т |
ду У=о |
|
Если обозначим |
|
|
|
||
b j |
. |
V |
|
|
|
|
J j j - [ 1 - y - j dy = 6^ — толщина потери энергии, то окон
чательно уравнение примет вид |
|
|
а |
дТ |
1 дТ |
dx т U J K |
ду у=о рсР |
5у у=0 |
Уравнение (5.9) можно представить в другом виде, вос пользовавшись следующим преобразованием:
7ю - Г = (Гда- Г ст) - ( Г - Г сг) = 0 - ^
Тогда левая часть уравнения запишется следующим об разом:
Оо
Иокончательно, введя обозначение
получим:
е й .
у=0
ddT _ Э dS
(5.10)
~dx~~OU^~dy у»о
Контрольные вопросы.
1.Расскажите об основных положениях теории погранич ного слоя. Как получены уравнения Л.Прандтля?
2.Какие допущения принимаются при выводе интеграль ных уравнений пограничного слоя?
3.Выведите интегральное уравнение для теплового погра ничного слоя.
4.Объясните физический смысл толщины вытеснения и тол щины Потери импульса.
5.Выведите уравнение теплового пограничного слоя.
Глава 6. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООТДАЧИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
|
Ученик никогда не превзойдет учителя, |
|
если видит в нем образец, а не соперника. |
|
В.Г. Белинский |
6.1. |
Расчет пограничного слоя |
на плоской пластинке в несжимаемой среде
Решение задачи об обтекании плоской пластинки играет в теории сопротивления трения большую роль. Пластинка (рис. 24), поставленная вдоль потока, является простейшим об текаемым телом, сопротивление которого зависит исключи тельно от касательных напряжений. Найденная для пластинки зависимость 5 = 8(х) и величина коэффициента сопротивле ния трения могут быть использованы при приближенных рас четах обтекания других удобообтекаемых тел, например тон ких профилей.
Рис. 24. Схема для расчета трения в ламинарном пограничном слое на пластине
Задача расчета пограничного слоя в несжимаемом потоке сводится к определению закона изменения толщины погра ничного слоя, т.е. функции 5 = 5(х) и силы сопротивления тре ния Хр , при условии, что известны скорость набегающего по тока 1/0, кинематический коэффициент вязкости среды v и хорда пластинки Ь.
Для решения задачи обратимся к интегральному соотно шению пограничного слоя для установившегося течения:
с/ |
я .л |
d U _ |
h |
— |
S2l/ + — 51 |
||
dx |
|
dx |
p |
T.K. в рассматриваемом |
случае U = U0 и — = 0, т.е. |
||
|
|
|
дх |
U = const и пластинка представляет собой тело с нулевым гра
диентом давления вдоль по хорде, то интегральное соотноше ние примет вид
Для того, чтобы вычислить толщину пограничного слоя и силу сопротивления, приложенную к пластинке, требуются еще два дополнительных соотношения, в качестве которых можно взять:
1)закон распределения скорости Vx по толщине слоя 5;
2)уравнение, связывающее касательное напряжение на по верхности тела т0 с толщиной слоя 5.
Вместо того, чтобы искать истинный закон распределения
скорости U= 1/(у), зададим |
у |
в виде полинома третьей сте |
пени относительно безразмерной координаты У. б ’
где a, b ,c ,d — коэффициенты полинома, которые должны быть
определены из граничных условий.
Этот метод был впервые предложен Польхаузеном. Граничные условия могут быть двух родов: кинематичес
кие, налагаемые на скорости на границах пограничного слоя, и динамические, налагаемые на силы внутреннего трения. Со ставим эти граничные условия.
1. Т.к. на нижней границе пограничного слоя скорость рав-
на нулю, то Ух|у=о= 0 .
2. На верхней границе слоя скорость Vxстановится равной
скорости потенциального потока. Следовательно, Vx\ =U .
3. На верхней границе пограничного слоя сила внутренне
го трения т = ц- обращается в нуль. Поэтому dy
4. Для определения четвертого граничного условия обра тимся к дифференциальным уравнениям пограничного слоя.
Из уравнения движения следует, что на нижней границе по граничного слоя
|
|
W I |
! & _ |
|
|
|
U2J |
ц д х' |
|
т.к. при у = О, Vx= 0, Vy= 0. В данном случае |
— = 0, следо- |
|||
( d |
\ ) |
|
|
дх |
= 0 . |
|
|
||
вательно, |
|
|
|
|
2 , У-О |
|
|
||
J y |
|
|
||
Указанные граничные условия позволяют определить величины четырех коэффициентов а, Ь, с, d:
dy2 { U ) |
S2 |
S3 |
Граничные условия: |
|
|
1 . 0 = a + 0 + 0 + 0; 2.1 |
= a + b + с + c(; 3 . 0 = b/d + 3d/d; |
|
4 . 0 = 2c/d2. |
|
|
a = 0; c = 0; b = —3d; |
1 = - |
3d + d = - 2cf; d = - 1/2; |
b = 3/2. |
|
|
Следовательно, закон распределения скорости Ух = Vx(y) принимает следующий вид:
О 2 6 |
2 1^6 J |
Вычислим толщину потери импульса: |
|
и % = JV„(U - V,)dy = и 2 |
- ^ j d y = |
9 Г у | |
+ -3 f y Y |
4 U J |
4 U J |
Найдем — :
Р
dVy ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= - ± и . |
||
|
|
|
|
,2 5 |
2 |
53 |
|
||||
|
|
|
|
У» О |
2 |
5 |
|||||
Тогда из уравнения импульсов: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
, ,2 39 |
d6 |
3 |
v |
,, |
или |
|
. |
|
140 |
v . |
|
и2 — |
— = - - U |
|
SdS = —— — dx. |
||||||||
280 |
dx |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
13 |
U |
|
Проинтегрировав, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
б2 |
|
140 |
v |
|
. |
|
|
|
|
|
|
- |
■ |
т г |
й ' |
* |
с |
- |
|
|
|
|
При х = 0 8 = 0, т.е. С = О |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1280 |
vx |
|
|
fv 7 |
|
|
|
|||
|
6 V |
13 |
и |
|
,64\ |
и |
' |
|
|
||
Найдем отношение толщины пограничного слоя к хорде |
|||||||||||
8 = 1 = 4 , 6 4 |
|
|
|
|
|
V R e ’ |
( 6. 1) |
||||
- х D |
Ub |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гдех = — ; Re = — . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы (6.1) следует, что толщина ламинарного по граничного слоя вдоль пластинки нарастает по параболичес кому закону и обратно пропорциональна VRe
Более точные методы позволяют получить следующую за висимость для закона изменения 5:
Отсюда видно, что задание закона изменения скорости в ви де полинома третьей степени приводит к сравнительно неболь шой ошибке (—20 %).
Найдем изменение т0 вдоль пластинки. Для этого подста вим в выражение для т0 — 5 по формуле (6.1):
т |
3 V ц 3 |
Vи |
_ 3 |
|
и * V |
|||
Р |
2 5 |
2 |
4,64 -Jvx / U |
2 |
4,64-У7Г |
|||
Введем местный коэффициент трения по формуле: |
||||||||
|
т„ |
_ 3 |
U3/2 ур |
|
. |
0,65у |
||
С' |
р(Уг /2 |
” |
2 |
A M 4 V X P U2/2 |
~ |
f i x U |
||
|
|
|
0,65^7 |
_ 0,65 |
|
( 6.2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Re = — . |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
Точное решение |
cf |
= |
^ |
, ошибка составляет 3 %. |
||||
Из формулы (6.2) |
следует, что местный коэффициент тре |
|||||||
ния уменьшается при удалении от передней кромки (рис. 25). На передней кромке х = 0; с, = оо. В действительности из со ображения симметричности потока следует, что при х = 0 и х = b т0 = 0, с, = 0. Формула (6.2) дает хорошее совпадение с
опытными данными, за исключением областей вблизи пере дней и задней кромок.
Определим теплоотдачу от плоской пластины, имеющей по стоянную температуру поверхности Тст, ламинарному потоку
жидкости, движущейся с постоянной скоростью.
Чтобы использовать интегральное соотношение (5.10), не обходимо знать профиль температур и скоростей в погранич-