книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек
..pdf+ |
- щ - |
{(«13 + G) р [N* - |
2NG (а13+ р) + G2 (al3+ p f + |
(4.47) |
|
+ |
4a 33G (au — р) (G— р)) — 4 [TV — G (al3 + p)j \a13N + |
|
|||
-Ь аззР (flu |
P)1 (G P)1 = |
Oi |
N — a3з (au — p) — a13 (a13 + |
G). |
|
Решение уравнения (4.47) представим в виде степенного ряда |
|
||||
|
|
P |
- S |
« V |
(4.48) |
Подставляя выражение (4.48) в уравнение (4.47), получаем уравнения для определения величин р<. В результате решения этих уравнений имеем:
|
Ро = 0; |
Pi |
1 |
аиазз — g?3 , |
|
з |
Аза |
||
|
|
|
||
1 |
|
|
|
(4.49) |
д11дзз— аТз |
б (АцА33 |
а^з) + <J (5а33 — 2а13) |
||
3 |
аэз |
|
|
|
Из выражений (4.48) и (4.49) с точностью до со4 выводим формулу для
определения |
критической нагрузки: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
6 (д11д.и |
д|з) + О (5дзз — 2а13) |
(4.50) |
|||
|
|
даз |
L |
|
|
|
l5a33G |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Значения |
постоянных аи выразим |
техническими |
постоянными |
(4.25) |
|||||
и (4.30), |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р«р “ Т |
1— V* |
г_ |
_ 2 |
_ |
£ |
2 |
£ |
|
|
[ |
5 (1 |
v*) |
G |
15 |
£3 |
(4.51) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение |
перед |
фигурными |
скобками |
при т = п = 1 |
(у = |
||||
= л j / ~ |
+ |
-js) совпадает со значением критической нагрузки, вы |
|||||||
численной на основании гипотезы Кирхгофа— Лява [37].
§ 29. Ж естко зещемленные прямоугольные пластины
Вначале рассмотрим плоскую задачу об устойчивости бесконечной в направлении оси Ох3 прямоугольной пластины толщиной 2h (ось 0х2) и шириной 21 (ось Охх) при сжатии ее вдоль Охг усилиями интен сивности р. По сторонам хх = ± / пластина защемлена так, что вер тикальная составляющая вектора упругих смещений равна нулю. Пластину будем считать линейно-упругой и ортотропной, направления ортотропии которой совпадают с осями Охх и Ох2. Решение краевой за дачи (2.8), (2.10) проведем конечно-разностным методом (§ 16).
Компоненты начального состояния определяем из уравнений ли нейной теории упругости (2.71) при следующих условиях на границе:
N fll L =±A = 0; |
и? ( - /, хй) = - и? (/, x j = 0\ |
л |
(4.о2) |
«2 |
{Хх, Хг)U ,=± / = 0. |
91
Соотношения упругости для ортотропного сжимаемого тела имеют вид (2.37) . (В докритическом состоянии компоненты тензора напряжений и вектора перемещений в соотношениях (2.37) следует писать с индек сом 0).
Формулировка задачи (2.71), (4.52) и (2.37) для |
определения |
до- |
критического состояния соответствует случаю, когда |
при хг = |
по |
лоса соединяется с абсолютно жесткими телами, к которым приложена нагрузка. Рассматриваемая задача соответствует задаче о жестко за щемленном стержне (или о жестко защемленной пластине, бесконечной
внаправлении Ох3) в рамках прикладных теорий.
Врезультате численного решения краевой задачи (2.71), (4.52), (2.37) (применяется двухшаговый метод (1211) получаем зависимость
o°u=Uf<xl t x2)t |
(4.53) |
|
откуда определяем связь между нагрузкой р и параметром U, харак |
||
теризующим сближение торцов: |
|
|
|
Л |
|
2hp = 0 |
/ (х, >хг) U,=conSidx?. |
(4.54) |
Вопрос об устойчивости |
пластины сводится к задаче (2.74)...(2.76) |
|
на собственные значения. Интенсивность критической нагрузки с уче
том (2.73), (4.53), (4.54) определяем по формуле
ft
Ркп = |
min | р | |
j |
а?1 (хъ хг) |*,=constd*2» |
(4.55) |
|
где min ) р | — минимальное |
по |
модулю |
собственное |
число задачи |
|
(2.74)...(2.76). |
|
|
|
ркр сводится |
|
Следовательно, |
задача об определении |
к отысканию |
|||
минимального по модулю собственного числа дифференциальной крае вой задачи (2.74)...(2.76) или конечно-разностной задачи (2.78). К решению алгебраической обобщенной задачи (2.78) на собственные зна чения применяется быстросходящийся итерационный процесс (§ 16).
По изложенной методике проведены на БЭСМ-6 расчеты для опре-' деления докритического состояния и критической нагрузки [78]. Ал горитм реализован с использованием динамической сетки. В качестве критерия окончания процесса принималось совпадение не менее трех знаков для вычисляемых величин на двух сетках, значительно отлича ющихся по числу узлов. Такое совпадение наблюдалось на сетках в 325 и '645 узлов.
Для различных значений геометрических параметров пластины и механических характеристик материала определялись значения кри тических нагрузок. Параллельно проводилось сравнение значений критических нагрузок, полученных в рамках трехмерной линеаризи рованной теории методом конечных разностей с эйлеровой критической силой и критической нагрузкой по теории Тимошенко. Чтобы умень
92
шить количество параметров, от которых зависит критическая нагруз ка, в качестве упругой модели принималась трансверсально-изотроп ная пластина с плоскостью изотропии х20х3. При этом сохранялись специфические свойства материала с малой сдвиговой жесткостью.
Значения механических параметров материала пластины, для ко торых были проведены численные расчеты, приведены в табл. 6. Не которые результаты вычислений представлены в виде графиков на рис. 12... 14 (соответственно для вариантов 5,12,13 табл. 6) сплошными,
Таблица 6
Номер ва |
|
|
Е/Е, |
Номер ва |
|
V» |
EIE, |
рианта |
v |
- |
рианта |
v |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 ,5 0 |
13 |
|
|
0,50 |
2 |
|
|
0 ,2 0 |
14 |
|
|
0,20 |
3 |
|
|
0 ,10 |
15 |
|
|
0,10 |
4 |
|
0 ,15 |
0,08 |
16 |
|
0 ,30 |
0,08 |
5 |
|
|
0,05 |
17 |
|
|
0,05 |
6 |
0 .3 |
|
0,01 |
18 |
0 ,3 |
|
0,01 |
7 |
|
|
0,50 |
19 |
|
|
0,50 |
8 |
|
|
0,20 |
20 |
|
|
0,20 |
9 |
|
0,20 |
0,10 |
21 |
|
0,40 |
0,10 |
10 |
|
|
0,08 |
22 |
|
|
0,08 |
11 |
|
|
0,05 |
23 |
|
|
0,05 |
12 |
|
|
0,01 |
24 |
|
|
0,01 |
штриховыми и штрихпунктирными линиями, которые обозначают следующие зависимости:
1. Сплошные кривые обозначают зависимость параметра р1 = = Ркр/p» от параметра тонкостенности а = jt/i/21.
2.Штрихпунктирные линии показывают зависимость от а безраз мерного параметра р2 — pj/pw
3.Сплошные кривые, отмеченные индексом «штрих», дают значе
ние р\ = Ркр/pLi в зависимости от параметра а.
4. Штриховыми линиями выражены зависимости от параметра а величины р"2 = рт/р1л.
93
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
\ w \Й |
|
|
|
^ |
|
||||
|
\\\ ц |
|
4 |
\ |
\ |
O v |
|
|||
7-------------п Л |
|
|
|
\ |
\ |
\ |
’ |
|
||
. |
\ щ |
V |
|
\ |
x |
|
|
|||
|
1 |
|
|
j |
|
|||||
|
|
|
|
|
v |
\ \ |
4 |
; |
||
|
\ |
|
А д |
у $ |
|
|
Л |
\ |
||
у |
\ |
W\ |
|
|
|
|
|
|||
\ |
|
|
\ |
v |
\ |
\ |
||||
|
|
|
|
|
! |
|
||||
|
|
|
\ |
V V |
|
V |
|
|||
°> о--------------------г108 |
|
L№ |
|
|
|
Л |
|
|||
Рис. 12
Выше введены следующие обозначения: ркр, рт и рэл — критиче ские нагрузки, полученные соответственно в рамках трехмерной лине аризированной теории для защемленной по торцам пластины, по теории С. П. Тимошенко и на основе гипотезы Кирхгофа — Л ява для защем
ленного стержня; р*р, рт и рэп соответствующие величины для шар нирно-опертых бесконечной пластины и стержня.
Кривым /, 2, ..., 8 на рис. 12...14 соответствуют значения’парамет ра E J G13 = 6, 8, 10, 20, 30, 50, 70, 100. При построении графиков ис пользованы результаты, приведенные в § 27.
Из проведенных численных расчетов следует, что критическая на-
94
грузка существенно зависит от отношения £,/G la и практически не за висит от отношения Ez/Et и коэффициентов Пуассона. Для значений Еа/Еи изменяющихся в интервале 0,01...5. и коэффициентов Пуассо на, принимающих значения по табл. 6. изменение критической нагрузки
для |
соответствующих значений отношений Et/Gl2 составляет не бо |
лее |
1%. |
Рассмотрим пространственную задачу об устойчивости ортотропной прямоугольной пластины толщиной h (ось Ох3), шириной Ь (ось Ох2), сжатой вдоль оси Охл (сторона а) усилиями интенсивности р. По тор цам х, = 0, а пластина жестко защемлена так. что составляющие век тора упругих смещений вдоль осей Ох2 и Ох3 равны нулю. По конечно-
95
\ € |
V ]
____1' Ж 1 17---- \ \\Ж
V
\\Х \ \ V
\V 'Х\ \\\\ ^
\\х\ X
X \ X\ \х
X Л
V : ----------------------------- |
п к |
<Х |
Рис. 14
разностному методу в [871 проведено численное исследование указан ной задачи. Полученные числовые результаты качественно согласуют ся с аналогичными результатами, приведенными выше при решении плоской задачи. Например, для трансверсально-изотропной пласти ны при £ t /G12 = 25; Е/Ег = 0,08 (£ = £ 2 = £ 3); -v23 = v32 = 0,3; vai = v2i = 0,2; а = nhl2a = 0,16
получены значения параметров:
р , = - ^ = 0,714; р2 = - р - = 0,376.
96
§ 30. Устойчивость круговых и кольцевых пластин
Рассмотрим устойчивость жестко защемленной круглой пластины толщиной 2h и радиуса R при всестороннем сжатии усилиями интен сивности р. Материал пластины будем считать трансверсально-изо тропным. Если плоскость изотропии совпадает с плоскостью (xjOxj) пластины, то общее решение (2.39) в цилиндрической системе коорди нат г, 0. х3 имеет вид:
|
|
|
|
(4.56) |
|
д |
, |
1__ |
|
|
дг |
+ |
га <J02 |
|
где функции 'F и X определяем из уравнений (2.30), а корни £?вычисля |
||||
ем по формулам |
(2.40), в которых следует принять А,3 = |
= 1; a“i = |
||
= —р\ сгзз = 0. |
Из соотношений (2.37), |
(2.38), (4.56) и выражений для |
||
компонент деформации в цилиндрической системе координат |
выводим |
формулы для напряжений, определенные через функции и |
X: |
Из условий (2.10) получаем граничные условия на ненагруженных |
|
поверхностях при х3 = ±h: |
|
a33 |*,=±а = 0; о>з |*3«±h = 0; ст031*1=±/, = 0. |
(4.58) |
Для четных перемещений и3 по х3решения уравнений (2.30) выберем в
виде |
(3.16). |
|
4 |
410 |
97 |
Из выражений (4.56), (4.57), (2.10) и (3.16) выводим, что при г = ^ выполняются условия
ЛА
-d'j- |г=Л = 0; |
j |
Рг |Г=Л dxз = |
0; |
^ Ре |r=* dxa = |
0. (4.59) |
|||
Для осесимметричных |
деформаций |
соотношения |
(4.56) |
переходят |
||||
в следующие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
V. = |
0; |
ип = 0; |
U, = - - J L - K , |
|
|
|||
а,, — р ( |
д1 |
, 1 |
д |
, |
G |
d2 \ v |
(4.60) |
|
“• ” -^7Т5- ( l ? |
+ — S T + ~ ^r= T - щ ) Х- |
|||||||
Решения уравнений (2.30) выберем в виде (3.17).
Подставляя решение (3.17) в первые два граничные условия (4.58), получаем трансцендентное характеристическое уравнение для опре деления ркр:
где величина является решением уравнения (3.17).
Итак, при потере устойчивости круговой трансверсально-изотроп ной пластины, жестко защемленной по краям, и при всестороннем сжа тии ее усилиями интенсивности р (осесимметричные деформации) ха рактеристическое уравнение (4.61) совпадает с характеристическим уравнением (4.45), которое получено для прямоугольной пластины,
если в уравнении (4.61) заменить *khlR на ш. |
I |
Рассмотрим случай кольцевой пластины, внешний и |
внутренний |
радиусы которой равны соответственно R и Я0. Пусть пластина сжи мается усилиями интенсивности р, приложенными к внешнему и внут реннему контуру. Тогда соотношения (4.56)...(4.58), (4.60) остаются в силе. В случае осесимметричных деформаций решение уравнений (2.30) выберем в виде (3.21), (3.22).
Заметим, что при выбранном решении (3.21), (3.22) граничные ус ловия при г = R и г — R0 выполняются в интегральном смысле. Из соотношений (2.10), (4.60), (3.21) и (3.22) выводим граничные условия
при г = R и г — R0: |
|
|
А |
Л |
|
и, |г=я = 0; J Р, U * dx = 0; и, | ^ Лл = |
0; С Pr 1 |
= 0. (4.62) |
—А |
±Н |
|
Подставляя решения (3.21), (3.22) в граничные условия |
(4.58), по |
|
лучаем характеристическое уравнение, которое совпадает по виду с уравнением (4.61), однако величины х* должны удовлетворять урав нению (3.22).
Следовательно, при р — q характеристические уравнения для про странственных задач устойчивости прямоугольной, круговой или коль-
цевой трансверсально-изотропных пластинок и для плоской задачи (плоская деформация) бесконечно длинной ортотропной пластинки имеют после соответствующих замен одинаковый вид. Поэтому при чис* ленных расчетах достаточно исследовать характеристическое уравне ние вида (4.45). Кривые зависимости /?кр от параметра тонкостенности © будут иметь одинаковый вид для всех перечисленных выше типов плас тин. При этом следует учитывать, что для трансверсально-изотропных пластинок — для прямоугольной © = h V (m nla)2 +{пп!Ь)г, для кру говой и кольцевой w = xkhlR (причем хк определяется соответственно из уравнении (3.17) и (3.22) ) и для ортотропной бесконечно длинной пластины © = л/г//.
На рис. 15, 16 приведены некоторые результаты для трансверсаль
но-изотропных прямоугольной (ш = /гК а2 + |
(J2) и круговой [кольце |
|||||
вой! (© = |
хк -^) |
пластинок в виде зависимости р* = рнр/рзп от пара |
||||
метра © при £ / £ 3 = 0,50; v12 = 0,35; v13 = |
0,20 и £ / £ 3 = 0,80; vI2 = |
|||||
— v13 = 0,30. |
Здесь рКр — точное |
значение величины критической |
||||
нагрузки, полученное при решении уравнения (4.45), а рм = |
X |
|||||
X ©2 (£ = |
£] |
= |
£ 2, v = v12 = v21). |
Кривым 1,2, 3,4 соответствуют |
||
значения |
E3/G = |
Е 3Юп = E3/G13 = 5, 20, |
50, 100. |
|
||
Покажем, что значение критической нагрузки, вычисленной с при влечением гипотезы Кирхгофа— Лява, для круговых и кольцевых тонкостенных пластин совпадает с первым членом асимптотического разложения выражения для критической нагрузки, полученной по трехмерной линеаризированной теории.
Поскольку характеристические уравнения для круговой и кольце вой пластин по виду совпадают с уравнением (4.45) для прямоугольной пластины при двустороннем сжатии, ниже применим соотношения (4.46)...(4.51). Используя при малом числе выпучин вдоль радиуса для тонкостенной круговой пластины приближенную формулу (4.46), из характеристического уравнения (4.61) получаем с точностью до (xkhlRY выражение для критической нагрузки:
Е_
[5(1 — vaj а
2 |
Е |
у' . |
1 |
~~ 15 |
Е3 |
1— v "Т" |
3 |
Если кривизна срединной поверхности не изменяет вдоль радиуса сво
его знака, то в этой формуле следует положить k ~ |
1. |
||
Для значения |
критической нагрузки выводим |
с точностью до |
|
(HhhIR)* окончательную формулу |
|
|
|
Ркр = Рзл {l - |
14,68 [± f [ r j r ^ |
-g---£-■ |
|
|
|
|
(4.63) |
|
рэл= 14,68 (-£-) |
-з-(1-=^*т * |
(4.64) |
Аналогично для кольцевой тонкостенной пластины можно получить формулу для значения критической нагрузки, совпадающую с форму лой (4.63).
Таким образом, для круговых и кольцевых тонкостенных жесткозащемленных пластин гипотеза Кирхгофа — Лява является асимпто- тически-точной независимо от свойств материала. Трансцендентные уравнения вида (4.45) и (4.61) нужно использовать для вычисления критической нагрузки в случае толстостенных пластин, а также тон костенных пластин, изготовленных из материала с низкой сдвиговой жесткостью.
§ 31. Устойчивость слоистых пластин
Рассмотрим устойчивость бесконечно длинной в'иаправлении 0х3 (плоская деформация) ортотропной трехслойной пластинки толщиной 2А (ось Ох2) и шириной I (ось Охх) при сжатии ее вдоль оси Охг усили ями интенсивности Р. Толщину внутреннего слоя обозначим 2hy (у < 1), а все величины, относящиеся к внутреннему слою, обозначим индек сом 1.
Основное докритическое состояние в рассматриваемом случае плос
кой деформации удовлетворяет условиям: |
|
|
||
он ф 0; oil |
Ф 0; |
oi2 = |
=022 = |
022*= 0; |
|
ди° |
3 цо(1) |
|
(4.65) |
|
|
- = с. |
|
|
|
a*i ~ ~ дх Г |
|
|
|
Из условия равновесия |
следует: |
|
|
|
°П (1 — 7) + О п]у =: — Р. |
(4.66) |
|||
Из соотношений упругости (2.37) для ортотропного тела и выражений (4.65) имеем:
j 4 _ _ _ _ „ a 12 |
дх3 |
~ |
. |
41? |
■ |
||
дхг |
- |
С агг ’ |
С |
М |
|||
|
|
|
|
|
|
22 |
(4.67) |
Он = , |
а11а22 |
а12 . |
^0(1) _ |
„ дп)а22 ~ (а1г)а |
|||
|
о23 |
|
|
|
|
|
|
100