книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек

На основании выражений (4.66) и (4.67) выводим формулы для от личных от нуля компонентов докритического напряженного состояния

пых деформаций] и (2.12) [третий вариант теории малых начальных деформаций] для статической плоской задачи сводится к решению уравнений (4.13), (4.14). Для внутреннего слоя в выражениях (4.13)...

...(4.15) все величины следует отмечать индексом (1) вверху.

обеспечиваем выполнение в интегральном смысле граничных условий шарнирного опирания (4.18).

Подставляя решения (4.70) в граничные условия (4.69), выводим трансцендентное характеристическое уравнение для определения кри­ тической нагрузки в виде (4.7), где элементы с,у определяем по форму­ лам:

(4.71)

toi

102

Для изотропных слоев

Выражения (4.73)...(4.75) совпадают с формулами для критической нагрузки, вычисленной с привлечением гипотезы Кирхгофа — Лява для всего пакета, что свидетельствует об асимптотической точности гипотезы в теории устойчивости длинных трехслойных пластин.

§ 32. Области применимости прикладных теорий в задачах устойчивости стержней и пластин из материалов с низкой сдвиговой жесткостью. Сравнение с экспериментальными данными

Ниже приведем сравнение соответствующих результатов, получае­ мых в задачах устойчивости пластин и стержней по строгой трехмеоной линеаризированной теории и приближенным теориям.

Существующие сравнения результатов по устойчивости стержней и пластинок на основании теории Эйлера — Бернулли — Кирхгофа и уточненных теорий типа Тимошенко не являются достаточными, так как в этих случаях приближенные решения сравниваются с другими, также приближенными решениями.

Рассмотрим сначала устойчивость бесконечно длинной пластинки толщиной 2/г (ось Ох-л) и шириной I (ось Охх) при цилиндрическом из­ гибе. Будем считать, что пластинка изготовлена из ориентированного композиционного материала и сжата вдоль оси 0хуусилиями интенсив­ ности р. Исследование проведем на основании кинематической гипо­ тезы Тимошенко (§ 13).

Линеаризированные уравнения равновесия бесконечно длинной пластинки получаем из системы уравнений (1.161):

Q x„ x, — pw,Xlxt = 0;

(4.76)

MXliXl — QXt = 0.

Из выражений (1.160) с учетом соотношений (1.158) выводим формулы для изгибающего момента и перерезывающей силы:

М х, = а ц ф ^ . х ,; Qx, = 2 hGls (фх, + к; *,). (4 .7 7 )

Используя соотношения (4.76) и (4.77), приходим к следующей си­ стеме уравнений:

2hGls (фх,.х, + о».*,*,) — pwlXtXl — 0;

(4.78)

4 “ вцЛЧ*,.*,*, — Gia (Ф*. + и».*,) = 0.

Граничные условия шарнирного опирания при х, = 0, / будут выпол­ нены, если принять

юз

Эти выражения подставим в систему уравнений (4.78). Тогда

Тривиальное решение системы уравнений (4.79) приводит к значе­

коэффициент сдвига к, то формула для критического сжимающего уси­

ческих нагрузок, полученными при решении характеристического трансцендентного уравнения (4.19) для различных механических ха­

104

рактеристик, которые приведены в табл. 5. В результате получено, что относительная погрешность не превышает 1...2% [79].

Формулу для критического сжимающего усилия сжатого вдоль оси 0х3 усилиями интенсивности р стержня кругового поперечного сечения, изготовленного из ориентированного композиционного мате­ риала, легко получить из формул (4.80) или (4.81), заменив DXf на E3J

10, 20, 30,40,60, 100. Сплошные кривые соответствуют решениям транс­ цендентных уравнений (4.7), (4.10), полученных на основании трех­ мерной линеаризированной теории.

В табл. 7 приведены относительные погрешности, возникающие при определении критических нагрузок по классической теории (первый столбец) и по уточненной статической теории Тимошенко[3,116] для круговой трансверсально-изотропной пластинки.

Из табл. 7 следует, что погрешность классической теории достига­ ет для сравнительно толстых пластин около 50%. Погрешность же уточненной теории не превышает 4% для рассмотренных геометриче­ ских параметров и механических характеристик материала.

На рис. 17 приведены результаты по устойчивости стеклопласти­ кового стержня кругового поперечного сечения, армированного пре­ имущественно в продольном направлении. Сплошная кривая соответ­ ствует решениям уравнений (4.7), (4.10), а экспериментальные дан­ ные даны из работы [241. Как следует из графика, теоретическая кри­ вая хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Таким образом, из полученных результатов по устойчивости стерж­ ней и пластин следует:

1. Значения критических нагрузок, подсчитанных с привлечением классических гипотез Кирхгофа — Лява и плоских сечений для тон­ костенных пластин и длинных стержней, совпадают с первыми членами асимптотических разложений выражений для критических нагрузок,

105

которые вычислены на основании строгой трехмерной липеаризиро- ■

ванной теории.

2. Для стержней и пластин, выполненных из материала с низкой сдвиговой жесткостью, погрешности классических теорий могут до­

стигать 50% и более.

3. При расчете на устойчивость тонкостенных стеклопластиковых

40%.

г4. Погрешности уточненных теорий типа Тимошенко для исследо­ ванных задач (в случае однородных докритических деформаций) не превышают 4% для рассмотренных областей изменения механических и геометрических параметров (0,01 < £ / £ 3 < 0,8; я R/1, со < 0,42; £ 3/G ^ 100). Выражения для параметра со для различных типов плас­ тин приведены в § 30. Погрешности прикладных теорий устойчивости, использующих гипотезы плоских сечений и Кирхгофа— Л ява, для жестко защемленных стержней и пластин больше, чем в случае шар­ нирного опирания. Такой же вывод можно сделать и для двумерной теории типа С. П. Тимошенко (рис. 12... 14).

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК

§ 33. Цилиндрические оболочки. Постановка задач и методы решений

Рассмотрим задачу об устойчивости замкнутой кру­ говой цилиндрической оболочки толщиной 2ft, длиной I и радиусом R срединной поверхности. Оболочка сжата по оси усилиями интенсив­ ности р и нагружена внешним боковым равномерным давлением q. Материал ее будем считать цилиндрически-ортотропным.

Исследование проведем на основании трехмерной линеаризиро­ ванной теории при малых докритических деформациях (предполага­ ются малыми по сравнению с единицей удлинения и сдвиги, а начальное состояние определяется по геометрически линейной теории — второй вариант уравнений теории малых докритических деформаций). В этом случае трехмерные линеаризированные уравнения и граничные усло­ вия в лагранжевых координатах имеют вид (2.8) и (2.10), а выражения для компонентов тензора деформаций выражаются обычными форму­ лами (2.11).

106

Соотношения упругости в случае малых деформаций для цилиндри- чески-ор готронного тела представляются в виде (1.142)...(1.144), (4.25).

Для определения докритического напряженного состояния рассмат­ ривается осесимметричная задача о напряженном состоянии полого цилиндра, находящегося под действием сжимающей осевой нагрузки р и внешнего бокового равномерного давления q.

Решения линейных уравнений теории упругости ищем в виде

Тогда система уравнений Ляме сводится к одному уравнению

Граничные условия на боковых поверхностях оболочки записываем следующим образом:

осевое сжатие

внешнее боковое давление

ана торцах оболочки будем требовать выполнения граничных условий

винтегральном смысле

107

Для трансверсально-изотропной оболочки (ось изотропии совпа­ дает с осью 0ха) имеют место равенства (2.38), (4.30). Поэтому получаем только при осевом сжатии распределение напряжений такое же, как

ив изотропном полом цилиндре (4.1).

Вслучае внешнего бокового равномерного давления даже для изо­

тропной оболочки докритическое напряженное состояние является не­ однородным.

§ 34. Трансверсально-изотропная оболочка

Рассмотрим устойчивость трансверсально-изотропной оболочки при осевом сжатии. Для этого построим решения уравнений (2.10) в ци­ линдрической системе координат. В случае трехмерной задачи для трансверсально-изотропного тела, ось симметрии которого совпадает с осью Ох3, при однородных докритических деформациях решение урав­ нений (2.10) сводится к решению уравнений (2.30). В зависимости от

соотношений между величинами возможны различные случаи пред­ ставления решений уравнений (2.30).

Рассмотрим случай вещественных и положительных I? при Еа ^13Решение можно выбрать в виде (3.26).

Величины для трансверсально-изотропной оболочки [соотноше­ ния упругости имеют вид (2.37)1 при условии (2.38) определяем по формулам:

108

+ ( ■ £ & - °“) W + t o - «a) H + ^ k +

+ i s d ] x :

Подставляя решения (3.26) в граничные условия (5.13), из условия нетривиальности решения алгебраической системы уравнений (ис­ пользуя при этом рекуррентные соотношения для модифицированных цилиндрических функций) получаем трансцендентное уравнение для определения критической нагрузки:

(5.17)

но