книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек

Таким образом, из выражений (1.32), (1!33), (1.36) и (1.115) следует, что и для типа несимметричного тензора напряжений Кирхгофа (1.31) линеаризированные уравнения состояния не совпадают с соотношени­ ями для линейного неоднородного анизотропного тела.

Считая, что величины Ym, QT' не зависят от Й, имеем однородные ли­ нейные системы уравнений типа (1. 111) с граничными условиями на поверхности S.

Статические задачи устойчивости при динамическом методе иссле­ дования сводятся к краевым задачам типа (1.111), (1.112), из которых требуется определить значения Q как функцию параметров нагружения из условия существования нетривиальных решений. Условие устойчи­ вости записывается в виде 1ш Q > 0, а граница области устойчивости определяется из условия Im Q = 0. При применении статического ме­ тода исследования (метода Эйлера) в уравнениях (1.111) следует от­ бросить члены с Q2 и определить минимальные по модулю параметры нагружения. Покажем, каким условиям должны удовлетворять воз­ мущения внешних сил, чтобы результаты, полученные по обоим мето­ дам исследования, совпадали.

Повторив ход рассуждений [26, 69|, приходим к выводу, что доста­ точными условиями применимости статического метода является ус­ ловие, при котором, собственные числа Q2 краевой задачи типа (1. 111), (i .112) были действительными, что обеспечивается самосопряженностью краевой задачи [26, 69, 1101. Сначала выведем эти условия для анизо­ тропного тела.

Рассмотрим первый вариант теории малых деформаций. Пусть

и V ? — дважды непрерывно дифференцируемые функции, удовлетво­ ряющие граничным условиям (1.112). Тогда условие самосопряжен­ ности краевой задачи (1. 111), (1. 112) можно записать в виде

щих граничным условиям (1.112). Индексами (/) и (2) отмечены возму­

3»

Выполнив аналогичные преобразования для второго варианта тео­ рии малых деформаций, получаем те же условия (1.118) Таким образом, условия (1.118) являются достаточными условиями приме­ нимости статического метода при исследовании устойчивости дефор­ мирования нелинейно-упругого анизотропного сжимаемого тела с произвольной формой упругого потенциала для различных вариантов теории малых деформаций. Эти условия, очевидно, не зависят от вида упругого потенциала.

Достаточные условия применимости метода Эйлера при исследо­ вании устойчивости деформирования упругих тел для второго вари­ анта теории малых деформаций получены в работе [261.

Рассмотрим кусочно-однородную среду и первый вариант теории

Таким образом, достаточные условия применимости метода Эйлера для анизотропной и кусочно-однородной среды имеют одинаковый вид. Такое совпадение и следовало ожидать, так как в (1.111) и (1.112) не входят физико-механические характеристики материала.

§ II. Достаточные условия применения статического метода при исследовании устойчивости нелинейно-упругих несжимаемых анизотропных тел

Рассмотрим произвольное анизотропное тело, упругий потенциал которого является дважды непрерывно дифференцируемой функцией компонент тензора деформаций Грина.

Возмущения объемных и поверхностных сил обозначим следующим образом:

Учитывая вышеизложенное, основные линеаризированные урав­ нения для первого варианта теории малых деформаций, включающие уравнения движения (1.68) и условия несжимаемости (1.64), можно

32

— Вначале покажем, что в этом случае краевая задача (1.123), (1.125), (1.130) , (1.126) и (1.69) при условиях (1.129) имеет действительные соб­ ственные числа (Im Q2 = 0). Предположим обратное, что какое-то собственное число Q2 является комплексным. Тогда собственным чис­ лом будет и сопряженное число. Из уравнений (1.123) имеем:

Из соотношений (1.123), (1.132) и условия самосопряженности кра­ евой задачи получаем

Выберем в качестве С . «Г, «£Р, и‘,2) функции ит, и4, йт, й4, ко­ торые удовлетворяют условиям (1.69) с учетом (1.122) без вторых сла­ гаемых, (1.26) и (1.64). Подставляя выражения (1.125) и (1.130) в соот­ ношение (1.133) и учитывая условия (1.64), (1.69), (1.26), (1.126), (1.122) без вторых слагаемых и формулу Гаусса — Остроградского, после некоторых преобразований находим

Пусть имеет место условие (1.131). Тогда из выражения (1.134) на­ ходим

Таким образом, предположив, что краевая задача (1.123), (1.125), (1.130) , (1.69) при условиях (1.26) и (1. 122), без вторых слагаемых име­

34

Линеаризированные граничные условия (1.25) на части 5 Хповерх­ ности 5 представим в виде

Nt — косинусы углов, образуемых нормалью п к рассматриваемой площадке (в положении ее до деформации) и единичными векторами

локального триедра (ku fej, fe3) (касательные к координатным линиям о*, а 2, о ,].

Для идеально упругих анизотропных тел, когда удельная энергия деформации не может быть представлена как функция только инвари­ антов деформации возможны два случая [113]: 1) удельная энергия зависит от компонентов деформации и от криволинейных координат; 2) удельная энергия является функцией только компонентов деформа­ ции. В дальнейшем будем рассматривать лишь второй случай, т. е. когда анизотропное тело будет однородным по отношению к криволи­ нейным координатам а( (криволинейно-анизотропным). Систему криволи­ нейных координат а( можно выбрать так, чтобы в каждой точке экви­ валентные направления (главные оси анизотропии) в отношении физи­ ко-механических свойств совпадали с координатными направлениями. В общем случае ортогональных криволинейных координат а : обобщен­ ный закон Гука имеет следующий вид:

Если анизотропное тело обладает упругой симметрией; то выраже­ ния (1.141), включающие 21 независимую постоянную, упрощаются.

Пусть через каждую точку тела проходят три взаимно ортогональ­ ные плоскости упругой симметрии. Предполагая, что в каждой точке криволинейно-анизотропного тела эти плоскости перпендикулярны к соответствующим координатным направлениям ос*, соотношения (1.141) можно представить в виде:

36

Для ортотропного тела число независимых упругих постоянных рав* но 9.

Соотношения (1.142) могут быть представлены с помощью техниче» ских постоянных:

Поскольку соотношения (1.143) симметричны, имеют место зависимое* ти:

Если же через каждую точку тела проходит плоскость, в которой все направления упругоэквивалентны, то при допущении, что в криволи­ нейно-анизотропном теле координата а 3 в каждой точке перпендику­ лярна к плоскости изотропии, соотношения (1.142) и (1.143) переходят соответственно в следующие:

Соотношения (1.136), (1.139) записаны для первого варианта тео* рии малых докритических деформаций. Если основное (докритиче' ское) состояние определяют по геометрически линейной теории (вто­ рой вариант теории малых докритических деформаций), то в этих со4

отношениях следует отбрасывать члены, содержащие е% и со".

Из вышеприведенных выражений легко получить соответствующие основные соотношения в прямоугольной, цилиндрической и сфери­ ческой системах координат.

§ 13. Построение прикладных теорий устойчивости

Рассмотрим пологую анизотропную оболочку, для которой внут­ ренняя геометрия срединной поверхности совпадает с эвклидовой гео­ метрией на плоскости. Пусть криволинейная ортогональная система

37

-координат а и Р срединной поверхности оболочки выбрана так, что для коэффициентов первой квадратичной формы А, В и главных кри­ визн Ai, \ имеют место следующие точные или приближенные равен-

Предположим, что деформирование оболочки в целом происходит без деформаций удлинения еw по толщине оболочки I? — нормальная

«8

Alp = h*an [--- 1* 6(tt\pp + V^W.aa) + Vl>P,0 + V2,M a.a] i

Обычным путем (37) получим линеаризированные уравнения рав­ новесия оболочки в усилиях и моментах:

Та,а + Г„р.р — 0;

71р,э + ТPa,a = 0;

Система уравнений (1.160), (1.161) описывает устойчивость оболочки при данных нагрузках в тех случаях, когда осуществляется безмоментное и однородное основное напряженное состояние.

Предельный переход Ra-*~ Яр -> оо приводит к определяющим уравнениям для пластины. Подставим в уравнения (1.161) выражения

(1.160), тогда получим систему пяти уравнений относительно функций

и, v, wt фа и фр:

40