книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек
..pdfлучаем |
граничные условия при х3 — ±А: |
|
|
|
|
|
||||||
[ С |
” |
t o |
" ~ £+£ ~ а“° |
(W ° |
» |
! + )-ц ] к |
X |
L |
= |
|||
|
|[^ G 18 (а?!ЛГ2 — |
Cla ) -f СТ33 (G13 4- <Т||ЯГг)] - £ р + |
|
(3.7) |
||||||||
|
+ |
(X|G13 -f- °зз) (Дзз + |
ОззЯГ2) —f ~ 1 ~я7~ ^1 |
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
дхз ) |
* |
k=±ft |
|
|
|
Подставляя решение (3.2) уравнения (2.43) в граничные условия |
||||||||||||
(3.7), |
получаем |
характеристические |
уравнений. (3.4). Для |
изгибной |
||||||||
формы |
потери устойчивости элементы |
определителя |
(3.4) |
имеют вид: |
||||||||
|
|
а и (Ci) = Ci{С? (tfG„ + |
<*зз) (а83 + озз^з2) — |
|
|
|||||||
|
- |
ltfGu ( a U r 2 - |
a13) + о°зэ (Gls + |
<т?,ЯГ2)]} ch afc |
|
|||||||
|
|
|
|
a i2 1=5 a n |
(Сг)» |
|
|
|
|
|
||
|
a 2i (Ci) = |
[G13 (a33+ |
аззЯГ2) C? + |
^13(Gi3 + |
°пЯ| |
2)] sh a£x; |
||||||
a22~ a 21(Сз)*
Для потери устойчивости с образованием шейки необходимо в вы ражениях (3.8) поменять местами ch сс£, и sfta^.
§ 20. Прямоугольные пластины
Исследуем устойчивость шарнирно-опертой прямоугольной пласти ны (— h < *i < А; 0 < х2 < а\ 0 < х3 < Ь), нагруженной вдоль
оси Ох3 (о?, = о%} = 0; Озз ф 0). Считая поверхности хг = ±А не загруженными, из соотношений (2.6), (2.35), (2.17), (2.39) й (2.40) вы водим граничные условия на этих поверхностях:
Здесь функции Y и X являются решениями уравнений (2.30), величины
С2 определяются согласно формулам (2.40), а |
постоянные- atl |
и G^ — |
||
по формулам |
(2.36). |
|
|
|
Решения |
уравнений |
(2.30) выбираем при |
положительных |
С г^С з |
в следующем виде: |
|
|
|
|
Y = [А'тпexp Vi^i + |
Almn exp (— Yi*i)J cos т х2sjn п х3‘, |
|||
71
Х = [Amnexp у2хг + Ann exp (— Y2*I) + All, exp y3xt + + Am„exp (— Y3*I )1sin m-^-XgCOsn-^- xa;
т" = 1 / й ( я т +
Подставляя выражения (3.10) в граничные условия (3.9), из условия
нетривиальности решений получаем характеристические |
определители |
|
det | ot/y Ц= 0 |
(*, / = 1 , 2 , 3 ) , |
(3.11) |
где для изгибной формы потери |
устойчивости |
|
“ U = 20lsT ,( - ^ - ) s h v A |
|
|
®ia(£et Ya) = |
— ^11Y2+ ai2(m ~ ] |
— |
|
|
||
“ |
L п |
\Ъ°И №и + а ЗЗ^Г2) ~ °11а 13э2 ] |
u |
и |
|
|
1л т |
; ------------------------------------ J s h ^ |
; |
|
|||
а1з = |
“и (£з> ъ)\ |
a2i = [vl + (m ~ ) | ch Yi^; |
(3.12) |
|||
а22(C2>Уг) = — 2Y%m- ^ - n ^ - c h уф.\ a 23= a 22(£3, Y3);
■ 4 .8 . и - - K V C ' *
а зз = a 82 (Сз» 7з)*
Для потери устойчивости с образованием шейки в элементах определи теля (3.11), (3.12) следует поменять местами sh yji и ch yth.
Для прямоугольной пластины, нагруженной вдоль осей Охх и Оха (°?i = а:>2 т£=0; 0зз = 0), граничные условия на свободных поверх ностях Хд = zth можно получить, используя соотношения (2.6), (2.17), (2.35), (2.39) и (2.40), в следующем виде:
[ аа |
W I f flll+q°i: |
•А — |
|
дХд ил = 0; |
||||
1 дхгдх3 |
al3+ |
0 |
1- |
«13 + |
||||
|
|
|
|
¥ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. ( «и+ °ii^i2 |
Л |
а1Я |
з® \ |
а |
vl I |
||
|
+ ( |
«13 + Ois |
Л |
«13 + |
Охз |
j 1 ^ T X J [ ^ ±ft = ° ; (3.13) |
||
Г/л |
_fn + |
gll*r2 _ |
|
\ д , _ |
a 330i3 |
д* |
| |
д |
Величины аи и G13 определяются из формул (2.36), а а?, — из (2.35). Решения уравнений (2.30) выберем в виде:
Y = |
IАтп ехр уСГ'х3 |
+ Ат„ ехр (— уСГ'х3)] cos т |
ххcos п - у хг; |
|
х = |
[Атп ехр v s r1* |
, + Атп ехр (— y& lxs) + Ат„ехр у£Г1х3 + |
|
|
|
+ Атп ехр (— у£Г'*3)1 sin т ^ - х 1sin п |
х2; |
^ ^ |
|
М-тЫ-гГ-
где величины определяются согласно формулам (2.34). Подставляя формулы (3.14) в граничные условия (3.13), получаем
характеристические определители типа (3.11). Для изгибной формы потери устойчивости (ы3— четная функция по х3) элементы определи теля (3.11) можно представить в виде:
«и = п-уУ& ‘ ch yhti
~ |
\ |
|
_ |
Л .лг-2 &(«II + |
_i e.v—1. |
|||
«12 (£г) = |
т |
У£г |
---------oiT+G^---------ch ™ |
’ |
||||
|
«13 |
= |
«12 (Сз); |
«21 = — |
т |
у £ Г ' Ch у й ^ Г 1; |
|
|
«22 (У |
|
|
.—г S2(gn+ qn^i 2) + aia |
(3.15) |
||||
= П^У%2 |
|
ais + |
Gis |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
«23 = |
«22 (Сз); |
« s i |
— 0 ; |
|
« . ( U - Y |
t r ’ — |
|
“ s i 1а33 (а П + |
°11^| ‘) — а18 (а 13 + Gjs)] |
shyAST; |
|||
|
|
|
|
|
° 1з + Gl8 |
|
|
|
«33 = «32 (£з)-
Для потери устойчивости с образованием шейки в выражениях (3.15) необходимо поменять местами ch уЛ£Г‘ и sh yh£Tl.
§ 21. Круговые (кольцевые) пластины
Рассмотрим устойчивость жестко защемленной круговой пласти
ны толщиной 2/г (— h < |
х3< h) и радиуса R при равномерном сжатии |
|||
в плоскости ххОхг (0 < |
V х \ + xl < /?)• Решение основных уравнений |
|||
(2.30) выберем в виде: |
|
|
|
|
V = А Х И . ( 4 т |
г) sh —О — л . sin яв; |
J„ (X.) - |
0; |
|
VR |
’ |
. |
(3.16) |
|
X = [ A S c h - g - z , + A t c b - g J j . |
(^-rjcosne. |
|||
73
ГДё величины £? определяются согласно формулам (2.40) при-Озз = 0; J„ (**) (х* = kR) — функция Бесселя первого рода.
Для осесимметричной формы потери устойчивости решение урав
нений (2.31) выберем в виде: |
|
|
*F = 0; X = (Ли? ch -щ— ха+ |
Ли ch -щ- х3j J0 |
гj ; |
Jo (Щ) — 0. |
(3.17) |
|
При выбранном решении (3.17) из выражений (2.6), |
(2.39) следует |
|
при г = R: |
|
|
^ |
г - Ц = о, |
(3.18) |
т. е. на торцах пластины выполняются в интегральном смысле усло
вия жесткой заделки. |
|
|
хэ = |
|
.. Граничные условия на ненагруженных поверхностях |
||||
получаем из соотношений (2.6), (2.17), (2.35) и (2.39): |
|
|
||
(Q„ + a U r 2) A - f l l3 - ^ r h £ - X |
|
|
||
|[йзз(°11 + а"|^1 2) ■- а!з (^13 + |
<J13)1 д + aaiGl3 -^ j-1 |
X |
(3.19) |
|
X |
х| |
= 0. |
|
|
Подставляя выражения (3.17) в граничные условия (3.19), получаем
характеристическое |
уравнение в виде |
(3.4). Элементы |
а £/ для |
изгиб- |
|||||||
ной формы потери устойчивости имеют вид: |
|
|
|
||||||||
а |
(м |
___ L |
I п |
|
а" + |
СТ‘[АГ2 |
|
a“ ^ ] sh и R '• |
|||
“ и |
( У |
~ Ь |
[ |
33 |
«,з + |
0, |
” ( «и + °?ЛГг ~ ^ ) + |
||||
«12 = |
«11 (Сз); |
«21 (£2) |
Г Дц + п11^г2 |
( |
■“ |
й ) |
|
||||
[ |
flls + Gl3 |
у ап + о ^ , |
Т |
||||||||
|
|
|
|
|
|
X ch - |
|
|
|
(3.20) |
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
•w? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«22 = «21 (£з)‘ |
|
|
|
||
Постоянные а1} и G13 определяют из формул (2.36), |
а о?, — из |
(2.35). |
|||||||||
|
Для |
потери |
устойчивости |
с образованием шейки |
в выражениях |
||||||
(3.20)' Следует поменять местами sh |
Xhh |
|
|
|
|||||||
и ch -щ - |
|
|
|
||||||||
|
В случае кольцевой пластины (R и R0 — соответственно внешний |
||||||||||
и внутренний радиусы), к контурам которой приложена равномерная сжимающая нагрузка, решение уравнений (2.30) можно выбрать в виде
Х = |
[Al2)J 0(kr) |
+ |
E№N 9 (k r)[c h ^ -x z + |
|
+ |
lAPJUkr) |
+ |
В Е Ч (kr)] ch -~ -x3. |
(3.21) |
74
Для жесткого защемления в решении (3.21) следует учесть, что
k = -%h; Л ( ил)Л Ц ха^ ) - У 0(ха^ ) ^ о(хЛ = 0, (3.22)
где Na (xfe) — функция Неймана.
В результате преобразований можно получить характеристическое уравнение, которое совпадает по виду с соотношениями (3.4), (3.20). Однако в выражениях (3.20) величина х* является корнем уравнения (3.22).
Для тонкостенных пластин в выражениях (3.5), (3.6), (3.8), (3.12), (3.15) и (3.20) гиперболические функции можно разложить в ряд по параметрам тонкостенности.
§ 22. Устойчивость стержней кругового поперечного сечения
Изучим устойчивость стержня длиной / (0 < х3< I) кругового поперечного сечения радиуса R (0 < г < R) при действии нагрузки вдоль оси 0х3. Ограничимся плоской формой потери устойчивости в плоскости *i0х3 при шарнирном опирании.
Учитывая соотношения |
(2.6), (2.17) и |
(2.35), |
граничные |
условия |
|||||||||||||
в круговой |
цилиндрической системе |
координат при г = const можно |
|||||||||||||||
представить в |
следующем |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( а и |
+ |
|
|
2) |
|
+ |
f a n |
-7 ~ (иг + т 30— ) + |
М - з а 1з |
= |
Р/> |
||||||
|
^1^12 [(1 |
+ |
«?i^i |
20ц1) -Qp- + |
------ и°)] |
= Р*6’ |
|
(3.23) |
|||||||||
|
|
0 „ | я , Я |
, ^ |
+ |
Л|(! + о ? Л - В Д ) - ^ - ] |
= |
Р,. |
|
|
||||||||
Решения |
уравнений (2.30) выберем следующим образом: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
¥ = |
/1™/, ( v M s in W |
sm e; |
|
|
|
|
|
|||||
X = M l? /,( v M |
+ |
< '/i(l& -)lc o s № « > s ft |
|
|
|
|
(3.24) |
||||||||||
где /„ (z) — функции |
Бесселя |
чисто мнимого аргумента. |
при Рг = |
||||||||||||||
Подставляя |
формулы |
(3.24) |
в граничные условия |
(3.23) |
|||||||||||||
= Ро — Р3 — 0, |
получаем |
характеристическое |
уравнение |
в виде |
|||||||||||||
(3.11), где величины <х(/ определяем по формулам: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
«и = 2 ^ ix - 7 a Ш \ |
а12 (У = - |
|
Ш |
|
+ & + k2) |
(хУ; |
|||||||||||
|
|
|
а 13 = |
«12 (У! |
«21 = Gl3G|2 |
1\ (иУ; |
|
|
|
||||||||
|
“ |
2 2(У |
= |
U |
+ Ы I* <*У + х - 1(£5+ |
К) U (х£3); |
|
(3.25) |
|||||||||
|
|
а 23 = |
«22 (У » |
а 31 |
2 ^ Х |
/ а ( х У — |
Si Л |
( * У |
|
|
|||||||
“32 ( |
У |
= - |
2£гх |
/г ( |
« |
У |
«33; = |
«32 (У ;. , h |
= |
о„ — |
|
* |
|||||
-- |
■а - |
|
|||||||||||||||
t |
|
flis (®i3 Н: |
|
2) |
. |
w |
Ci*.(ais+X?is) . |
|
|
|
|
.-з |
|||||
-------- •- Ь' Г -------- |
‘ • |
В выражениях (3.25) величины С? определяют по формулам (2.40) при
°п = 0, |
постоянные |
аи и |
Ga — по формулам (2.36), |
а оад — из |
|
(2.35). |
|
|
|
|
|
§ 23. |
Цилиндрические оболочки при осевой нагрузке |
|
|
||
Рассмотрим полый цилиндр длиной I, радиус внешней |
поверхности |
||||
которого |
обозначим |
Rlt |
а внутренней — R 0 (R 0 < г |
< |
0 < |
< JC3< /). Будем считать, |
что на цилиндр действует нагрузка |
вдоль |
|||
оси Оха.
Для неосесимметричной формы |
потери устойчивости решение урав |
|||||
нений (2.30) при |
положительных |
£? и при |
Ф £? |
выберем |
в виде: |
|
V = |
[AlLln(vC/) + |
АтпКа CyCiOl sin n0 sin ух3\, |
|
|||
|
Х = |AiLl., Ш |
) |
+ AfnnK, Ш |
) + |
|
(3.26) |
+ AmJn № 3Г) + A t K n {ytaT)\ cos л0 cos ух3; |
у = |
, |
||||
где Кп (*) — функции Макдональда;
т— число полуволн вдоль образующей;
п— число полных волн вдоль окружности оболочки.
Из выражений (3.26), (2.35) и (2.39) следует, что на торцах обо лочки будут выполняться условия шарнирного опирания. Подставляя решения (3.26) в граничные условия (3.23) при Р = Ро = Рэ = 0 и учитывая соотношения (2.39), из условия нетривиальное™ решений алгебраической системы уравнений получаем характеристическое урав нение в виде (3.11) при i, j — 1,2, .... 6. Элементы ait можно предста вить в следующем виде:
an U"+i> Ai) = |
[£iI»+\ (CiY#i) 4- ”T^|1~L (CiY^i)]; |
|||||
|
|
«м = |
a n (— Кп+ь KnY, |
|
||
«13 V n + i. |
U ) |
= - |
/* + . ( W |
+ |
||
|
|
«14 — |
«13 (----K n + U K n, ti)> |
|
||
«!Б = «1з(Сз); |
« I f - « 1 4 ( W ; |
«3, (D = |
(3.27) |
|||
|
|
|
«33 = |
«8! ( K n); |
|
|
«аз Un+1, |
Q |
= ( й + |
[ |
^ + |
1 (£,Y/?,) + |
in(C«Y^ I) ] ; |
«34 = « 3 з ( — |
K n + u K n , S i); |
«38 — «33 (S3)* |
«83 = «34 (Cs); |
|||
“« <'*+■ • у |
= |
|
|
— |
й]/.(Ьт«0! |
|
76
«62 — «61 (---- ^С/1+1, К п)\
®ю(^"+ь |
Г«>W = |
[w«-H (E2Y#I) + |
In (CaY^i)]; |
а 54 = |
«53 ( — /О н - .. |
/С«. У ; а 55 = а 83 (£*); |
a w = а 54 ( у . |
Обозначения для Л^, £3 и |
такие, как в выражениях (3.25), а величи |
||
ны £?> й,/, Git |
и Озз определяются аналогичным образом. |
||
Для определения элементов второй, четвертой и шестой строк оп
ределителя (3.11) нужно соответственно в элементах первой, третьей и пятой строк заменить Rx на R0.
Из выражений (3.26) легко получить элементы характеристиче ского определителя для осесимметричной формы потери устойчивости.
Характеристический определитель имеет вид |
(3.10) при i, / = 1, 2, |
||
3, 4, а элементы а„- определяются по формулам: |
|
||
«и (У ^0) У = |
;^г- /г(tzyRi) + (£$ + кг) /0 (УуЯх); |
||
|
«12= «н ( |
/Ci» /Со* Сз); |
(3.28) |
«is= «п (Ез); «14 = «к (У; |
«31 (/и У —Сг (£f+ У Л (Уу/У; |
||
«за = «31 (— /Ci. У ; «зз — «si (У; |
«34 = аЭ2 (У- |
||
Для определения элементов второй и четвертой строк определителя необходимо соответственно в элементах первой и третьей строк заме нить Rt на R0.
ГЛАВА 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН
§ 24. Трансверсально-изотропные полые (сплошные) стержни кругового сечения
Рассмотрим устойчивость трансверсально-изотропно го стержня (полого или сплошного) кругового поперечного сечения (R и R0— внешний и внутренний радиусы) длиной I, сжатого вдоль оси усилиями интенсивности р. Будем исходить из соотношений (2.8), (2.10) и (2.11) в случае статической линеаризированной задачи для второго варианта теории малых начальных деформаций (удлинения и сдвиги малы по сравнению с единицей, а докритическое состояние определя ется по геометрически линейной теории).
Соотношения упругости имеют вид (2.37), и для трансверсально изотропного стержня, ось симметрии которого совпадает с осью Ох3,
имеют место равенства (2.38).
Стержень, выполненный из композиционного материала с преиму щественно продольной намоткой (вдоль оси Ох3), можно считать с до статочной точностью трансверсально-изотропным [24, 127, 128]. До критическое напряженное состояние в трансверсально-изотропном стержне при сжатии в направлении оси изотропии характеризуется
77
такимивеличинами. |
|
°г/- = 008 = ст?0= 0°з — 0(п = 0; сгзз = — Р- |
(4.1) |
Общие решения уравнений (2.8) без инерционных членов представ ляются в инвариантной форме функциями Ч^иХ по формулам (2.39),
(2.40). |
Причем в |
выражениях (2.40) следует принять |
= к3 = 1, |
сгзз = |
—р, а а°| = |
022 = 0. Для цилиндрического трансверсально |
|
изотропного тела с круговым контуром поперечного сечения из соот ношений (2.39) получаем выражения для перемещений в цилиндриче ской системе координат (г, 0, хэ):
|
1 |
д |
1Т. |
дг |
v |
|
д |
|
1 & |
v |
|
|||
и' = т ж |
|
4 ~ |
|
|
и*= — ~дГ1 — — Ж |
Г Х ’ |
|
|||||||
аи |
/д |
. |
G — p |
a* |
\ v |
А |
дг |
. |
I |
д . |
1 |
а» |
0. |
|
= |
|
|
|
|
|
|
Л = |
а7* + Т~дг~ + |
|
|
(4>2) |
|||
где функции Y k X |
удовлетворяют |
уравнениям |
(2.30), |
а |
величины |
|||||||||
С? определяют по формулам (2.40). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из выражений (2.10) выводим значения |
проекций внешней нагруз |
|||||||||||||
ки при х3 = 0, |
I: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pr = Qrэ + |
033 -у~ - ; |
Ро = стоз 4- стзз |
* |
|
|
(4.3) |
|||||||
|
|
|
|
Рз = я334- сгзз |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или, используя |
соотношения |
(4.1), |
(2.37) и (2.38), |
имеем: |
|
|
||||||||
Я , - ( 0 - Р > - £ - + 0 - £ - ; |
P0 = ( G - p ) ^ + G -L |
|
(4.4) |
|||||||||||
|
= о13(-^ - + - у - |
|
|
|
|
|
дия |
|
||||||
Р з |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ -Ь-) 4- (а8>, — Р) |
|
|
|
|||||||||||
Граничные условия |
на |
ненагруженных |
цилиндрических |
поверх |
||||||||||
ностях выводим из выражений (2.10): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0/Т |r=COnSt = 0; |
0ro|r=const = |
0; |
0r3 Ira.const = |
0. |
|
(4.5) |
|||||||
Рассмотрим случай, когда при х3 = 0, I стержень шарнирно оперт, т. е. решенйя уравнений (2.30) выберем в виде (3.26). Из выражений
(4.2), (4.3) и (4.4) следует, что при х3 = |
0, I условия шарнирного |
опи- |
рания выполняются в интегральном смысле: |
|
|
и, |х,ко,/ = 0; UQ|лся=о./ = |
0; Р3 U,=,o./ = 0. |
(4.6) |
Подставляя решения (4.5) в граничные условия (4.4), получаем трансцендентное характеристическое уравнение для определения кри
тической |
нагрузки: |
|
|
|
|
det Uсг/ 0 = |
0 (i, / - 1 |
, 2 , .........6). |
(4.7) |
Здесь введены такие обозначения для |
полого -стержня: |
|
||
|
с,, = |
(ои — 012.) ,<?^2,(aCi-)-v |
|
|
c\i(£2) — |
(#£2) ? (а £;Дл(" |
. Q -ir-P^ an^l |
|
|
а к^ннв:--- |
.? |
|||
76
|
С13 = |
С12 (У I |
с14 — tell — °12) |
|
(®У^ |
|
|
|||||||
|
c15 ( y |
= |
a a „ |
( a y 2 К \(а У + |
ana%2K2 (a y -f |
|
|
|||||||
|
+ |
a » |
- 3 ^ |
- |
(G— p — ОцЙ I f , |
( a y |
; |
|
|
|||||
c10 = c15 (£3); |
c21 = |
G12 (a ^I2 ( a y — ( a y 21\ ( a y ]; |
|
|||||||||||
|
c22(У |
* |
— 2G12a 2y 2 (a^2); |
c23 = |
c22 (Q; |
|
|
|||||||
|
*24 - |
G12 |аУС, (ab) - |
(aCi)2 |
|
(ay I; |
C |
2 ( ® У ; |
|||||||
|
% |
|
( У |
|
~ |
— |
|
2 G |
1 2 a |
2 y |
||||
c3l = |
G a/, ( a y ; |
Сзг(У — ®3£г |
G (flis + P + flnCl) |
|
|
|||||||||
|
fllS + |
C |
/ I |
( « У ; |
||||||||||
|
|
c33 — cs2 (У ; |
c34 = |
Ga/Ci (®У I |
|
|
|
|||||||
|
|
_ v |
|
, |
G (u13 + p + аиС2) |
|
, r . |
|
|
|
||||
|
Сза (У - a3k ------a~+0------** (a^ ' |
|
|
|||||||||||
|
сзо = сзь (У ; |
c4i = |
ten |
а1г) ®У^2(® У)* |
|
|
||||||||
|
|
c42 (У = «йаХ1(«У )гЛ(«У) + |
|
|
|
|||||||||
+ a12(ай)2 Уз («У ) + (a*)3^ |
^ |
+ о |
~ 7 (a^ |
; |
||||||||||
|
c43 = c42 (У ; |
c44 = (an — a12) ay/C 2 (а У ); |
|
|
||||||||||
c45 (У = (aftpauSsKi (®У) + eu (ай)г УС2 (аУ ) + |
|
|||||||||||||
|
+ |
(a*)5 |
«13(G — p — ап$ |
^ ( а У ) ; |
■ |
|
|
|||||||
|
|
is + G |
|
|
|
|||||||||
c4e = c45 ( У ; |
<fe = GB [®У/2 (а У ) - |
(а У )2 Л («6,*); |
||||||||||||
|
c52 ( y |
= — 2G12 (ай)2 C2/2 (ay); |
t>M= cfi3 ( У ; |
|
|
|||||||||
|
C54 = G12 |a y K 2(a y ) - |
( a y )2 |
|
(«У)]; |
|
|
||||||||
с6Б ( у |
= — 2G1S (ай)2 C2K2 (a y ) ; |
cw = с66 (У ; |
|
|
||||||||||
св1 = Ga/e/j. (а У ) ; |
свз (У |
= (ай)3 £2 ° |
|
|
|
7‘ (а^2*); |
||||||||
|
|
с«э = свг (У* • cei = GakKi («У); |
|
|
(4.8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Cw(Sa)=( ^ |
b |
a 4 t + |
V lia- ^ |
w |
) ' |
с“ = с“ е л |
||||||||
X = |
^ |
До |
•* |
G = |
G1S = GM; |
2G12 = аи — |
|
агз = |
||||||
(4.9) В формулах (4.8) /„..(г) и Д „ (г) обозначают модифицированные функ- чин, Еесседц.и .Макдоналвдв.n-rq порядка,
79
Для сплошного стержня решения основных уравнений (2.30) выберем в виде (3.24). В результате преобразований с учетом граничных условий (4.5) и соотношений (4.2) и (3.24) выводим характеристическое уравнение в виде (4.7) при t, / = 1, 2, 3. Значения элементов Ci, опре деляются по формулам:
|
|
сн = |
2Gl2«Cl^2(a ^l)’> |
|
|
|
с 1г (£2) = a a u (° ^ г ) 2 ^I (а £г) + |
(а Сг) |
Н--------- _j_ Q |
а хза 3 Л |
(а Сг)* |
||
СХЭ= С12 (£s)i |
С21 = |
^12 1®(>Х^2 (“ Cl)--- (a Cl)2 11 (a al)U |
(4.10) |
|||
c22 (£2) = — |
2G12a 2^2/ 2 (а ъ2)'» ^2з = c 22 (£з)1 c 3i = |
G a 7, ( a ^ ) ; |
||||
<h* (Ц - |
»» |
- X * + G " 1‘ k G/ ’' |
= |
|
|
|
Для третьего варианта теории малых докритических деформаций характеристический определитель для сплошного стержня приведен в работах [18, 64].
§ 25. Ортотропные длинные пластины
Рассмотрим устойчивость бесконечно длинной в направлении Оха пластинки толщиной 2h (ось Ох2) и шириной I при сжатии ее вдоль оси Ох1 усилиями интенсивности р. Здесь будем исходить из соот ношений (2.8), (2.10), (2.11) и (2.12), (2.14), (2.15) для статических ли неаризированных задач в случае второго и третьего вариантов теории малых начальных деформаций. Компоненты основного (докритического) напряженного состояния в этом случае имеют вид:
о?1------ |
р-. < & - о ! , - 0 . |
(4.11) |
Решение уравнений (2.8) без инерционных членов для четных пе ремещений и2 по х2 представим в виде
X = (4 c h -j-£ i* 2 + S ch — С2*а) sin SL Xl, |
(4. 12) |
Функция X удовлетворяет уравнению |
|
Й |
+ 1е + |
й ) а | | + й 1 ^ |
- ] Х= 0- |
<4J3) |
где |
|
_______________________ |
|
|
f i j - 4 ± У |
А * --- (an — &Р )(°П 7 Р ) .; |
|
||
А _ |
|
22 |
12 |
(4.14) |
(а» ~~ &Р) — (fll2 + 6l2)* + |
(QlB — Р) |
|
||
2anOia
Здесь и ниже 6 = 1 соответствует второму варианту (2.8), а 8 = 0— третьему варианту (2.12) теории малых начальных деформаций.
Выражения для возмущений перемещений и напряжений, выражен-
80