книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек
..pdf—-5-6a„w,hiWiaaa— ~g* 6 (v12au |
+ 2GJ2) t^ap/S — |
GlB ( 1 — 6) ttf.a 4* |
|||||
|
+ |
(QiiH’a.ota + |
Glt4|fej)p) Ьа(A)-----p - Glt/a (A) фа 4* |
||||
|
|
+ (vlaan + |
G12) (A) %,e„ = |
0; |
|
||
-----\ |
бам«Мад-----f- 6 (v21a22 + 2G12) |
,paa — -jjrG2B( l — b) Wfi + |
|||||
4- (а ггФ|Ш 4- Gia^B.oa) bl (A) — ~ |
G2gffi (A) i|)0 + |
(v2ia22 4- |
|||||
|
+ Gl2) b'a (h) ypa,fia = 0; |
|
|
|
|
||
b-(h) = |
ba (h) |
bf>(h) |
|
|
|
||
bl(h): |
h |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
цилиндрической |
оболочки |
|
|
|||
(рис. 2) |
в выражениях |
(1.162) |
следует |
|
|
||
предположить, что Ra = R и Rp = оо. |
|
2 |
|||||
Пусть, например, цилиндрическая обо- |
Рио |
||||||
лочка длины I, шарнирно опертая по |
|
|
|||||
торцам |
(Р = |
О и Р = |
I), находится |
под действием |
осевого сжатия |
||
р и бокового давления q. Граничные условия будут выполнены,
если предположить, |
что |
|
|
|
|
|
и = |
hAysin |
sin |
Р; |
v = АЛ2cos |
cos |
Р; |
w = |
АЛ3cos |
sin |
Pi |
*« = £ iS m - ^ sin - ^ y - P ; (1.163) |
||
|
|
% = S2c o s - ^ c o s ^ - p , |
|
|
||
где n — число волн вдоль окружности; |
|
|
||||
т — число полуволн |
вдоль образующей оболочки. |
|
|
|||
Подставляя выражения |
(1.163) в уравнения (1.162), получаем характе* |
||
ристическое уравнение для определения критических нагрузок |
|||
det(|m^/Ц= |
0 |
при i, j = 1, 2, . . . . 5. |
(1.164) |
Численное решение уравнения (1.164) с учетом формул (1.156)...
...(1.158) дает возможность получить критические нагрузки по теории Кирхгофа — Лява, по статической и кинематической теориям типа Тимошенко. Указанные исследования будут приведены в главе 5.
41
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ НА ОСНОВАНИИ ТРЕХМЕРНЫХ ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 14. Общие решения трехмерных линеаризированных уравнений при однородных докритических деформациях
В дальнейшем будем предполагать, что координаты 0< совпадают с прямоугольными декартовыми координатами Х(. Ниже все исследования проведены в лагранжевых координатах xi недеформированного тела. В то же время координаты х{ являются криволиней ными координатами деформированного тела. По повторяющимся ин дексам два и больше раз, если особо не оговорено, производится сум мирование; индексы после запятой обозначают дифференцирование ho координатам Xi.
Построим решения трехмерных статических и динамических урав нений в вариациях для нелинейно-упругих несжимаемых и сжимаемых тел в случае однородных начальных состояний для различных вари антов теории малых начальных деформаций.
Соотношения упругости соответственно для сжимаемого и несжима емого упругих тел при малых деформациях можно представить ана логично случаю конечных деформаций (1.16), (1.18) в виде:
(2.2)
где р' — скалярная функция координат xi.
Упругий потенциал в случае трансверсально-изотропного сжимае мого тела зависит от алгебраических инвариантов А\, А2, А'г и вели чин А'* и As:
|
Ф = Ф (Аи А2, Аз, А4, AS); |
А\ = |
ед Аг = е«е$/■; |
^ gj |
|
|
Аз = &rs&spZpr', А4= езз; |
As = |
(ез1)2 + |
(езг)2. |
|
Для несжимаемого тела в выражениях |
(2.3) |
следует |
положить |
||
А\ = e'if = |
0, т. е. упругий потенциал зависит лишь от других алгеб |
||||
раических |
инвариантов. |
|
|
|
|
, Предположим, что возмущения объемных сил отсутствуют. На ос новании выражений (1.47)...(1.51) и (1.70)...(1.73) приведем соотноше ния, характеризующие три варианта теории малых начальных дефор маций для несжимаемого тела:
1. Удлинения и сдвиги малы по сравнению с единицей. Тогда ли неаризированные уравнения движения, условие несжимаемости, гра ничные условия и выражения для компонентов тензора деформации
<42
имеют соответственно вид: |
|
|
|
|
|
||
|
[Oln(бл/п + Umtn) + 0Г?пМ/я(л1,< — РUm= 0; |
|
(2.4 ) |
||||
|
|
(Ьат + и°п.т)ип,т = |
0; |
|
|
(2.5) |
|
Nt [aln (6™ + |
ul,n) + |
o?nUm.n]Is, = |
Pm\ |
un |s, = |
0; |
(2.6) |
|
28?/ = ulj + |
+ |
uhulj) |
2вц = Ui,i + |
Uj'i + |
Ug'/Usj + |
uSiiu°,f. |
(2.7) |
2. Удлинения и сдвиги малы по сравнению с единицей, а начальное; состояние определяется по геометрически линейной теории. В этом случае имеем:
(ош + |
— рйт= 0; |
(2.8) |
||
|
ип,п = |
0; |
|
(2.9) |
Nt (ош + |
o°num,n) |s, = Pm\ |
um|s, = 0; |
(2.10) |
|
2e?,- = |
ui'i -f- iff/, |
2e</ = |
u, .;- + Ц/.ь |
(2.11) |
3. Удлинения, сдвиги и углы поворота малы по сравнению с еди* ницей, а начальное состояние вычисляется по геометрически линей ной теории. В результате получаем:
|
[ош + Oin(1 — бтп) um,nh — РИм = |
0; |
|
(2.12) |
||||
|
|
|
|
ип,п = 0; |
|
|
|
(2.13) |
|
i [ciim + о?л (1 - |
8тп) ит.п1Is, = |
Pm; |
|s, = |
0; |
(2.14) |
||
|
2 |
е?, = |
/ + и}/, 2е,-/ = |
иг„ + uiti. |
|
(2.15) |
||
В |
приведенных |
выше |
|
соотношениях |
компоненты |
<Уу = |
о \ + о ,,. |
|
тензора напряжения |а'} |
определяются из выражений (2.2), а функция |
|||||||
Ф ' = |
Ф ( A it Л3, Л4, Л5). |
|
(2.4)...(2.15), исключая |
(2.5), |
(2.9), |
и (2.13), |
||
Основные соотношения |
||||||||
справедливы и для сжимаемого тела. При этом компоненты тензора напряжений (а'| определяются по формулам (2.1), (2.3).
Линеаризируя |
соотношения |
(2.2), |
с учетом |
(2.3) |
получаем: |
|||||||||
|
. (0 |
о |
ааФ° |
, |
- |
о |
о |
ааФ° |
, |
* * |
|
да®° |
|
|
|
а" = Л* [2е" й Щ |
- + |
Зе,лея/ |
|
+ |
* h |
|
|
|
|||||
|
+ [6.3 (б,-, + |
б/2) + |
6,3 (6.-, + |
6i2)] е°, |
|
+ |
2 - ^ г |
|
||||||
+ 3 |
(г?яея/ + |
&яея,) + |
|
|
[б/з (б„ + б,2) +б р (б п |
+ 6/2)] ъц + рб,,; |
||||||||
|
Ф° = |
Ф (Л?, |
Лз, |
Л$, Al) |
(к = |
2, 3, |
4, |
5). |
(2 . 16) |
|||||
Здесь |
введены обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 = e L e L ; |
|
|
|
|
|
|
Л$ = е$3; |
|
Л§ = |
(е§,)г + |
(е§2)’; |
|||
Ла = |
2еятеяяг; |
Л3 = |
ЗептЪтрърп, |
Ал = влз’, |
Л6 |
2 (63ie3i 4- £32832). |
||||||||
43
Рассмотрим случай начального однородного состояния, которое характеризуется следующими величинами:
и°„ — 6t„(А, — 1) х{\ А, = const; |
Ах = Яг*, |
|
о?, = аи Ф 0; <*» ^=0; а°и = 0 |
(* Ф i)> |
(2*17) |
uh = б,/ (Я, — 1).
Тогда из условий несжимаемости (2.5), (2.9) выводим соответственно для первого и двух других вариантов уравнений:
2Я? + Яч = 3; tti,i + «г,? + Я3Я| 'u3,3 = 0; 2А, + Я3 = 3, umjn 0,
Выражения для компонентов невозмущенного напряженного со*
стояния имеют вид: |
|
|
|
|
|
для первого варианта |
|
|
|
|
|
oj = 6Ч[-1-м 1- |
з<ы <1—й |
+ |
(1 + за0)<1—а!)г+ |
||
+ |
e«e,5] i ^ - |
+ |
p"6" |
< (»; |
<2 |8 > |
для второго и третьего вариантов |
|
|
|
||
о), = Ьц [б*2 (1 — 36га) (1 — Я8) + |
б*з (1 + 35,з) (1 — $ |
+ |
|||
+ |
6*46/3] |
-+- р°б„ |
(l $)• |
|
|
|
J |
|
|
|
|
С учетом предыдущих выражений из (2.16) выводим соотношения упругости для трансверсально-изотропного несжимаемого тела, ось изотропии которого совпадает с осью 0х3 при однородных малых до-
критических |
деформациях |
|
|
|
|
|||
|
|
оц = |
б/, (а,«зл + |
Ь{иц + /?) + ( ! — °‘l) (Aiiu‘<i + |
AiiUi>1) (2,2°) |
|||
|
|
|
|
|
(i, /J ) . |
|
|
|
Коэффициенты at, bt, Aif вычисляем по формулам: |
|
|
||||||
для |
первого варианта |
|
|
|
|
|
||
а‘ = |
| 4 - 6m(' |
— |
j f j - M i - * • > * - - г |
а« ]{ 46» ( 36“ — |
||||
|
- |
1) <1 — Я.з)Л8-----3-6„(1 + 3 6 п )(1 — |
36„в,з8,Д, + |
|||||
+ |
26,5 (Збгз — 1) [б,з (б,| + |
|
2 |
1 |
<?аФ° |
|||
б/2) + 6,3 (6л + 6,2)J (1 — ^») ^з] |
дАодАо » |
|||||||
bt = |
{26А [At + 6,3(Я, — Aj)| + |-6*з (1 — ^з) [At |
6,3(2Я3+ AJ]} |
||||||
А , = |
Лм = |
4 - Ь» Д „ = |
хг[ а» — г о - : |
+ |
- г 6«] " Л Г '• |
|||
44
АЭ1 = Л3 [би - |
- г (1~ ^ |
8а + "Г 6ft5l ^ |
; |
А13 _ Л з; |
|
|||
У431 __ /132; |
Л23 =7^ ^зг! |
Аз Ф А аи |
а \ = |
а г> |
bi = Ь ц |
|
||
для второго и третьего вариантов |
|
|
|
|
|
|||
с< = 136h2 (1 - *з) - |
X блз ( 1 “ |
^ |
бмJ I6'2(36й~ |
W 1 - |
~ |
|||
___|_ б/3(1 |
Збй) (1 — КТ — б«б«б,-з + 4 " б« (36/з— 1) X |
|
||||||
X (бгзб/1 + |
&36/2 + 6/збп + |
б/зб/г) (1 — я,3)] м ом о 5 |
|
|||||
bt = [26*2 + |
Зблз (1 — Зб/з) (1 — Я3)1 “ |
о": |
&1 = 2Аг = &2*. |
|
||||
Л,з = [б„2 — |
б» (* “ *>> + 4 ” б*5] |
; |
= А п = А аг = Аз |
|||||
(k, t = 2, 3, 4, 5).
Пои подставлении предыдущих выражений в уравнения (2.4), (2.8) и (2.12) с учетом условия несжимаемости (2.5) и (2.9) получаем основ
ную систему |
уравнений: |
|
|
|
|
(m = l, 2, |
3, |
4), |
(2.21) |
|||
Lmiui + L„nu4= 0; |
щ = р |
|||||||||||
где операторы Ц { для |
первого варианта уравнений имеют вид: |
|||||||||||
Lu = (а?[ + |
А,2) Д + (о°з-+ ^-Им) -^5— |
Р |
} |
^12= |
||||||||
L13 = |
^ (а, — М Г Л И + |
Л31) |
5 |
/-и = |
|
|
i |
|||||
L*! = 0; |
L22 = LU\ |
Дгз = Мя1— |
|
+ |
|
“д^ёГ? |
||||||
|
|
= |
|
|
|
^3i — 0; |
^зг = 0; |
|
|
(2.22) |
||
^зз = (о?! + |
^зАг) Д + |а3з + |
Я.3 (а3 + |
63— А.8Я,1 -Л13)] |
— |
||||||||
|
|
|
___ |
о- . |
• |
J |
. |
о |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
Я/» |
^34 — ля - з г - . |
|
|
|
|
|||
|
Ле, |
• |
s |
* r ; |
|
= Ля^1 1~fa~ I |
^44 = |
Ol |
||||
a> e> a*? •
/о i^ pH тРехосном однородном основном (начальном) состоянии в теле (2.17) решение системы (2.21) можно представить в одной из трех форм
45
или в виде их линейной комбинации:
вУ— * “ |Ц < | Ф"1 |
( я , / , * , ( = 1 , 2 , 3 ,4 ; ДО, (2.23) |
0 L in
где функции ФУ) определяем из уравнений
det || Lk/1) Ф(/) = 0. |
(2.24) |
Исследуем представление решений системы (2.21) для первого ва рианта уравнений. В статическом случае уравнения (2.24) можно пред ставить в виде
(д + |
+ (б + Й) Л |
+ № - £ г ] ф ‘П - О, (2.25) |
где для определения величин £? имеем алгебраическое уравнение тре тьей степени
|
|
|
р , |
( М и |
+ |
<& . |
|
|
|
|
|
|
|
1 ^И 1 2 + |
°11 |
|
|
|
|
, ^8 |
И хг + |
t f A 12 — А з ) ~ °1 + |
аа + |
Ъ3 — А31 + |
А-зОпJ + |
O33 ) 4 |
|||
|
|
|
|
^Иэ1 + |
°ll |
|
|
|
I |
^ Л з + |
g33 |
( |
^3 [g3 + ^3 ~ |
а 1 ~ ^31 + |
Я з ^ Г 1 (Л й |
Л з)1 + |
°)3 ( ^2 __ |
||
^8^31 + |
а 11 |
1 |
|
|
|
+ |
0?| |
|
j |
__^2______ (^Им + °эз)а_____ __ Q
3 ( М г з + О?,) ( М з ! + <>?,) ” ’
корни которого имеют вид
tf" |
M I 8 + 0 Sт3 -i & = |
0 ± ] / D > |
Х| (X,j/413+ O33) |
- |
|||
|
^Иц + 0„*11 |
УГ |
^8-^Я1 “I- 011 |
_ [Л3А., 1(А1г Л13)—о3 + аз + |
— ^31J+ |
(2.26) |
|
(^1^12+ а?|) + °зз |
|||
2 ( М з , + < )
Решение уравнений (2.25) представим в виде комбинации решений двух уравнений:
ф ('> = |
Ф х + Ф 2; |
( д + |
Ф , = |
0; |
|
[д а -f- |
(£2 + |
Сз) Д |
- ~ j j “ + |
| ® а |
= |
Положив для определения |
перемещений |
|
|||
Ф(1>= Ф<2> ^ Ф (4>= Ф1: |
Ф(3) = Ф2; |
ufc- « J 1, , - « P + «?) + «(«?\ |
|||
решение уравнений (2.21) для статических задач представим для ци линдрического тела с криволинейным контуром поперечного сечения
46
в виде:
9Y |
а* |
X; |
'-~дГ~ |
дпдХз * |
«5. — - дп5 - дздх3 “ |
«з = ЛДХ; |
ил = р |
■(“ +c-sjK * |
где введены обозначения для первого варианта уравнений:
Y = |
(-^23^34--- ^24^33 |
^13^34 |
^14^3э) |
|
X = —■ЯтЯ37.^Ф2: |
Л ^ Яз |
Яц‘, |
В = Я| |
1[— Яз 'fli + Л^2(Я, -+- Х| *) — Яз 'Лз! + cr?i]; |
||
|
С = Я| 1(о,зз + Я1Л13), |
|
|
(2.28)
(2.29)
а п и s — нормаль и касательная к контуру поперечного сечения тела. Функции ¥ и X по (2.27) и (2.29) удовлетворяют уравнениям:
А+*-£-)’ ■О;
(2.30)
Из выражений (2.26) видно, что величины £jj и £f могут быть дей ствительными и разными, тогда Х = Х а + Х 3, а второе уравнение (2.30) распадается на два уравнения:
|
|
^Д + £« - £ 5-j)ХXzа = 0 |
(a = 2, 3; |
a %). |
|
|
(2.31) |
|||||||
Если $ и $ |
комплексно-сопряженные, то |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
X = |
Re Ха + Im Ха; ( д + 5= |
|
X 2 = |
0. |
|
|
(2.32) |
|||||
Для динамических задач решения уравнений (2.21) представим |
||||||||||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
и - Л - |
_ д* у . и |
_ ЗУ |
|
да |
у . |
Ш |
Г |
|||||
|
|
" |
аз |
а«а*3 |
»и* - |
д п |
|
|
х * |
|||||
«3 = Л Д Х ; |
И4 = |
р, -= ( (дДВл + |
сС |
^- ^- >я - ^£ |
^) 4 |
- Х |
; £ |
= |
ЯГ,р. |
> |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх. |
|
|
|
|
|
Функции У и X для;ля первого варианта (2.4)...(2.7) определим из урав- |
||||||||||||||
|
|
|
Я1А 3+ |
|
|
|
___ 2 . W . |
0; |
|
|||||
|
|
д + M is + ч?, |
дх$ |
|
|
|||||||||
|
|
ЯИ1г + 0||О, |
* ) * |
|
|
|
|
|||||||
К |
Яэ [Я3ЯГ‘ ^12 — Л13) Н~ Q3 -j- 63 — аг — Л13] - f |
(^,^12 + |
g|i) + °зз |
|||||||||||
|
|
|
|
|
^sAii + °ii |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X А' М_________Р |
|
д2 . |
Яд (Я,4,3 + а\3) |
|
|
|
|||||||
|
|
Щ |
М з»+о?, a |
dl* + |
Яз^З! + °11 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Я|Р |
|
дфр l x -о. |
|
|
|
|
(2.34) |
||
|
|
|
|
^3^31 + |
о,, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
47
Аналогичным образом можно построить решения уравнений (2.4), (2.8) и (2.12) и для сжимаемого тела. Линеаризируя выражения (2.1) с учетом начального однородного состояния (2.17), получаем соотно шения упругости для трансверсально-изотропного сжимаемого тела (ось изотропии совпадает с осью Олг3):
Oln = binaikK^ik,h + (1 — бin) Gin(\ui,n + hnun.i) |
(i, n$); |
|
(2.35) |
a ‘‘ = 6" [ ' ^ Г + |
0 ~ k + 3 |
|
|
|
+ |
|||
|
+ |
6/3 |
Ф (A?, Alt Аз, А®, A5), |
|
||||
где для первого варианта уравнений |
|
|
|
|
|
|||
a'‘ = [ l 3 T f(X‘ ~ |
1>l | ' + 3 ( |
' ^ ' ) |
1 |г |
+ |
вы- и г ] * |
|||
|
|
|
|
|
|
+ |
6П^ - Ф » + |
|
х [lV+а‘~1)_й Г +3(■VL) - щ - |
|
|
||||||
+ |
&Л[ 2 _ ^ |
+ З (я = _ 1)^ ф |
. ; |
л? = |
С ; |
|||
■[-*+ |
3 ц + к |
|
|
|
|
|
(2.36) |
|
дАз + -«-(блблЗ + |
б,з6Я| + |
б(2бяЗ + |
||||||
+ в Л г ) - ^ г ]ф " ; « • - Ф М ? ; A l л5. а 1 лй; |
||||||||
Оц = йгг\ |
аи — а1а = 2Gl2; |
ai8 = a23; |
aq = ац\ |
|||||
|
Git = |
Git; |
G23 = G,3 = |
G; |
|
Ф аД .. |
|
|
Таким образом, для первого варианта теории малых начальных деформаций линеаризированные соотношения (2.35), (2.36) не совпа дают с соотношениями линейного трансверсально-изотропного тела. Линеаризированные же соотношения между напряжениями и произ водными от перемещений второго и третьего вариантов теории малых начальных деформаций совпадают с соотношениями линейного транс версально-изотропного тела:
оц = Опоим* + (1 — 6ф Git(«,„ + u,,t) (/, / %yt |
(2.37) |
** = [ ^ Г +2№‘ - ' > ^ г + 3 ^ - " , - 4 +
х [ ^ + * л - , ) Т * + * л - ,^ + * - ^
+ «“ [ 2 -Д Г + 6 Л - , ) - 4 ] ^ . |
(2.38) |
48
Gin — [ -Щ + — (^< + К — 2) -^ o - + ~Y + ЬвЬщ +
+ |
Лаблз + а ,л 8) -^o-j ф°; |
|
cn = а22< °1з = |
агз! 2G12 = au — a12;- G13 = |
= G. |
Решение уравнений (2.4), (2.8) и (2.12) для статических задач в случае однородного начального состояния вида (2.17) для цилиндрического трансверсально-изотропного тела с криволинейным контуром попе речного сечения можно представить в общей для всех трех вариантов
теории малых докритических |
деформаций форме: |
|
|
||||
ds |
'F ----- |
дд |
V-. |
* |
______д_ ц, _ |
да |
у . |
|
дпдхя |
' |
дп |
д$дхл |
’ |
||
„, = л ( д + е ^ . ) х , |
(2.39) |
|
где функции 'F иХ определяем из уравнений (2.30), а величины А, В
ивычисляем по формулам:
для первого варианта теории малых начальных деформаций
|
В = |
0 + ааУ Г |
в+<&*Г |
||
al3 + G |
au + ° V r 2 |
£ = |
|||
|
|
Gn + q?i^i2 |
|||
С2.3 = с ± |
] / с 2- |
|
(°зя + |
стзз^з 2) (G + азз^1 2) |
|
|
(Дц + |
0|,Л.~2) (О -|- о ? ,^ 2) |
|||
|
|
|
|
|
(2.40) |
» я _ (Дц + °°Л| 2) (аая + |
азз^з 2) (G + д?|Аз 2) (G - f a^3Xl 2) — (а,э G)a |
||||
|
(Дц + о®,А,| ^ (G + |
|
2) |
||
|
|
^1 = ^2’» |
|
||
для второго варианта теории малых начальных деформаций в выраже ниях (2.40) = 1, а величины alk и G»* следует вычислять по формулам (2.38); для третьего варианта теории малых начальных деформаций (при Ста =
— а°2 = 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
Дп |
. о |
С+ 4 . |
.2 |
<* + <& . |
||||
А = |
„ -Х 7Г > Д = |
~ ~д.. ' |
■ |
W = |
— |
g — |
• |
||
|
ats + G |
|
|
|
|
|
|
|
|
£2,3 = С ± j / " £ |
- а 83- |
G + o®3 |
’ 2С |
|
вяз |
, |
C + |
g*> |
(Д|д + G)2 |
an G |
~ |
G |
~+ |
Дцfl„ |
anG |
||||
Общие решения для динамических уравнений (2.4), (2.8) и (2.12) можно построить аналогичным образом. Для всех трех вариантов тео рии малых начальных деформаций их можно представить в виде:
д |
* -X ; |
us = - - d 1ТГ'F— |
* |
X; |
|
дпдх3 |
дп |
dsdx3 |
|
|
Значения постоянной D и уравнения для |
определения |
функций |
||||||||
¥ |
и X имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для первого варианта теории малых начальных деформаций |
|
|
|||||||||
D |
р*Г2 |
. Л , |
в + ^ Г 2 |
а» |
|
рК 2 |
а3 \ ш _ п |
||||
|
flu + |
СТ1 1^Г2 |
\ |
"1" °?1 ^ 1 2 |
0*з |
|
+ |
а^Л-Г2 |
|
|
/ |
|
G+ OJJ^ I |
2 аз |
р*Г2 |
эз \ ( А |
, |
Айз + стзз^з2 |
а3 |
||||
[(*+ flu + а?Ai 2 |
«и + о?|*Г® |
|
+ |
0+о?.Ч* |
|
3x1 |
|||||
|
а + |
р ^ э 2 |
аз \ ____________ (д1з + |
о )2 |
, |
А |
0а 1 |
у |
_ |
0 . |
|
|
0 ° |
^«Э/3 -J 2 |
( а и+ a ° ^ |
(Gr +2)а ? |
^ |
2) 2 |
J |
|
ф с |
||
для второго варианта теории малых начальных деформаций в этих вы ражениях Vj = Х3 = 1, а величины сцм и Gu следует вычислять по формулам (2.33);
для третьего варианта теории малых начальных деформаций (при On =
— 0§2 = 0)
Р |
/ |
0 + 4 |
а 3 |
|
Р |
а 3 \ ™ |
|
= _^ ’ [ * + — G ^ l 4 + |
|
|
|
||||
в + <& |
аз |
___ р _ Л \ Л д + |
о |
____ _р_ Л \ |
|||
к » «и |
0*3 |
«и 0'а Д |
|
|
дх\ |
а д/2 ) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
_ _ Щ 0 ) 1 д 01. Х = = а |
|
|||||
|
|
« и ° |
а*§ |
J |
|
|
|
Рассмотрим однородное начальное состояние упругого трансвер сально-изотропного тела, ось изотропии которого совпадает с осью Охг. Исследуем представление общих решений уравнений (2.4) для плоской
деформации в плоскости х^Ох3: |
|
|
па = 0; |
ti\ — Щ (%ii х9у, w3 = u3(Xi, x8). |
|
Уравнения состояния согласно (2.35) запишем в виде: |
||
стн = |
+ а^дИз.з; |
ff83 = a3i^iu M + a3ak3u3.3-, |
Oj8= G13 (XjUl.3 + Я3И3.1); |
ai3= a8ll fl13 = ^31- |
|
Величины |
Оц и G13определим по формулам (2.36). Из выражений (2.21) |
и (2.22) в |
случае сжимаемого тела для плоской деформации в плос |
кости х^Охз выведем систему уравнений: |
|
L n“i + |
L i 3u3 = 0; |
L 3lu i + L 33ua = |
О, |
|
= |
L31 = k ^ z (Д13+ °1з) |
|
(2-41) |
|
^83 = *i £(G13 + aU r2) - Ц - + |
(fl83 + аззЯз ) |
j —P |
• |
|
50