книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ЛИНЕАРИЗИРОВАННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

§ 4. Некоторые основные соотношения нелинейной теории упругости

Рассмотрим деформацию тела из идеально упругого материала, при которой точка М (положение ее до деформации опре­ делялось координатами xi по отношению к фиксированной прямоуголь­ ной декартовой системе координат) переходит в положение & по от­ ношению к той же системе координат.

где Xi (0lf 02, 03) — однозначная и непрерывная вместе со своими производнымн функция. Предположим, что всюду

Координаты 8, и Xi называются материальными или лагранжевыми (в частном случае координаты 0i можно выбрать таким образом, чтобы они совпадали с прямоугольными декартовыми координатами х,). От­ носительно функций £< (0lf 02, 03, 0 предположим, что они являются однозначными и необходимое число раз дифференцируемыми по 0 и t. При наличии деформаций в реальном теле, имеем

Ч -|г|>0- (1'5)

Положение точки тела до и после деформации определим соответ­

ственно векторами г = г (01э 02, 03) и R = R (0lt 02, 03, t). Тогда ба­ зисные векторы и метрические тензоры для недеформированного и деформированного тела в координатах 0f будут иметь вид:

13

где dt* w D 11— алгебраические дополнения элементов gti и G,/ соот­ ветственно в определителях g и G.

Компоненты алгебраических дополнений с?1и D1' не являются тен­ зорами в обцычном смысле, их иногда называют относительными тен­ зорами или контравариантными тензорами с весом 2.

Если все величины отнесем к размерам тела до деформации и использу­ ем метрические тензоры в координатах 0£ недеформированного со­ стояния, то ковариантные составляющие тензора деформаций Грина представим в виде

Инварианты тензора деформаций Грина определяем по формулам.

Напряженное состояние деформированного тела определяем при помощи симметричного тензора обобщенных напряжений ст*г/, изме­ ряемых на единицу площади недеформированного тела. Тогда уравне­ ния движения принимают вид

где Х ’т — составляющие объемных сил, отнесенных к единице объема

где Ni — составляющие орта нормали к поверхности недеформирован­ ного тела;

Р'т— составляющие поверхностных сил, действующих на дефор­ мированное тело, но отнесенных к единице поверхности недеформиро­

ванного тела, причем Р* = P*mgm:

Граничные условия на части S2 поверхности S в перемещениях за­ писываем в виде

14

Для динамических граничных и смешанных задач необходимо до­ бавить соответствующие условия:

Если тело идеально упругое, то существует упругий потенциал или функция энергии деформации Ф, отнесенная к единице объема недеформированного тела, которая зависит от компонент деформации гц и обладает свойством

В дальнейшем будем считать упругий потенциал Ф дважды непрерывно дифференцируемой функцией компонент тензора деформаций Грина. Из формулы (1.15) находим для сжимаемого тела

ного к криволинейным координатам 0*, можно определять и через симметричный тензор напряжений |т), измеряемых на единицу пло­

Поэтому приведенные выше формулы можно легко записать и в случае

15

§ 5. Трехмерные линеаризированные задачи для сжимаемых тел

В дальнейшем будем рассматривать три состояния упругого тела. Первое — естественное недеформированное состояние, при котором в теле отсутствуют напряжения и деформации, второе — начальное деформированное состояние (все величины, относящиеся к нему, будем отмечать индексом 0) и третье — возмущенное деформированное со­ стояние, все величины которого равны сумме соответствующих величин начального состояния и малых величин, называемых возмущениями. Ниже возмущения не будем отмечать никакими индексами.

Предполагая, что возмущения значительно меньше соответствую­ щих величин начального состояния, линеаризируем соотношения и уравнения, приведенные выше. Под линеаризированными соотноше­ ниями и уравнениями будем понимать соотношения и уравнения з воз­ мущениях. Все величины начального деформированного состояния вычисляем по приведенным выше формулам, если при всех величинах поставим индекс 0. Из выражений (1.8) получаем линеаризированные соотношения для ковариантных составляющих тензора деформаций

Из уравнения (1.10) находим линеаризированное уравнение дви­

и линеаризированные начальные условия для динамических смешан­ ных задач согласно (1.13) и (1.14) приведем соответственно в таком виде:

При использовании тензора напряжений Кирхгофа уравнения дви­

Линеаризируем выражение (1.20) для несимметричного тензора

16

Линеаризируя уравнение состояния (1.16) для тензора обобщенных напряжений {о*} и для тензора напряжений Кирхгофа {/] (1.20), на­ ходим:

-4. №?+w?) (-%■+■%){-%:+-%)*' (i-34)

-i[<6"+ '■ *> *■ +(-4-+-4-)x

х(-4г+-4 )+2^(-4 +-4 г)ф0- (U5>

Величины и представляют собой компоненты тензоров четвертого ранга. Согласно формуле (1.31) между ними существует связь:

= -tmafl + g«naff*i0.

.(1.36)

= I 1™* (gm + V X ).

Таким образом, выражения (1.24)...(1.28), (1.32) и (1.34) исчерпы­ вают постановку статических и динамических линеаризированных за­ дач для сжимаемых тел в случае, когда напряженное состояние дефор­ мированного тела определяется при помощи симметричного тензора обобщенных напряжений {а*}. Для несимметричного тензора Кирх­ гофа {/} имеем выражения (1.26)...(1.30), (1.33) и (1.35).

Приведем еще линеаризированное соотношение для симметричного тензора напряжений (т) (1.19):

Вышеприведенные соотношения справедливы для теории конечных докритических деформаций. Ниже приведем классификацию линеари­ зированных задач для малых деформаций, под которыми будем пони­ мать малые начальные (докритические) деформации. Поэтому слово «начальные» иногда будем опускать. Кроме того, всюду возмущения значительно меньше соответствующих величин начального деформи­ рованного состояния.

-17

Предполагая малыми по сравнению с единицей удлинения и сдвиги, получаем первый вариант теории малых деформаций. Все линеаризи­ рованные соотношения и уравнения, приведенные выше, остаются в силе, если в них принять

и не учесть изменения размеров тела до и после деформации. В этом случае соотношения (1.29), (1.30), (1.37), (1.38) и (1.32) переходят со­ ответственно в следующие:

метрически линейной теории. Тогда получаем второй вариант геории малых деформаций, а для компонент тензора деформаций имееи

2 V,«? + Vfи"; 2е„ =^Vfu{ + V,u,..

Все вышеприведенные соотношения остаются в силе, если учесть что

Линеаризированные уравнения движения (1.24) и граничные условия в напряжениях (1.25) для второго варианта теории малых деформаций принимают вид:

С учетом соотношений (1.31)...(1.36), (1.40) и (1.46) соотношения

Предполагая кроме предыдущих допущений, что и углы поворота также являются малыми величинами по сравнению с единицей, можно получить еще один упрощенный вариант теории малых начальных де­ формаций [112 J.

18

§ 6. Трехмерные линеаризированные задачи для несжимаемых тел

Для несжимаемого упругого тела из выражений (1.17) получаем линеаризированное условие несжимаемости

Запишем линеаризированные уравнения состояния несжимаемого те. ла. Для этого сначала вычислим величину Gm. Линеаризируя шестое соотношение (1.6), имеем

Умножая соотношение (1.53) на Со1и учитывая (1.6), (1.23), выводим

Линеаризированные уравнения состояния для симметричного тен­ зора обобщенных напряжений о**1 и несимметричного тензора напря­ жений Кирхгофа tim представим в виде:

В выражениях (1.57) и (1.58) на аргументы упругого потенциала по

Линеаризированные уравнения движенйя с учетом (1.56) и гранич­ ные условия на части Sx поверхности S соответственно представим в

19

(1.28) для динамических граничных и смешанных задач остаются спра­ ведливы и для несжимаемого тела.

Таким образом, соотношения (1.26)...(1.28), (1.52), (1.57), (1.58), (1.61) и (1.62) исчерпывают постановку статических и динамических линеаризированных задач для несжимаемого упругого тела.

Линеаризированное выражение связи тензоров напряжений (а*} и {т} для несжимаемого тела имеет вид (1.39) при /§ = 1.

При малых докритических деформациях возможны упрощения вышеприведенных соотношений. Предполагая малыми по сравнению с единицей удлинения и сдвиги, можно получить соотношения для первого варианта теории малых деформаций. Поскольку для кесжима-

емого тела

а величина Xlna&имеет вид (1.34).

В формулах (1.34) и (1.67) при малых деформациях упругий потен­

циал не зависит от первого алгебраического инварианта Л?. Линеаризированные уравнения движения и граничные условия на

части 5, поверхности S для первого варианта теории малых деформаций

Граничные условия (1.26) на части S2поверхности 5 и условия (1.27) для динамических граничных задач, а также начальные условия (1.28)

20