книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек

ной теории устойчивости применялся в работах [51, 641, подробное обсуждение его выполнено в работе [1001. Для моделей, учитывающих реологические свойства, будем фиксировать значение всех величин

Для возмущений компонент тензоров деформаций и скоростей дефор­ маций выводим:

Изложенный подход для тел с реологическими свойствами в трехмер­ ной теории применялся в [58, 62, 64]. Чтобы получить предельную сис­ тему, рассмотренную в работе [126], необходимо положить t0 оо.

Заметим, что для изотропных тел из (5.96) следует

В возмущениях выделим множитель exp iQ t, тогда для амплитудных величин (для которых оставляем обозначения самих величин) получаем из уравнений (1.43), (1.49) систему уравнений

151

Из выражений (5.103) и (5.104) получаем:

Из формул (5.103) и (5.105) следует, что свойства (5.105) характерны только для первого варианта теории малых докритических деформаций в случае тел с реологическими свойствами. Для второго и третьего вариантов этой теории имеем равенства:

Таким образом, выражения (5.101) являются наиболее общими и ве­

личины % и G]j, входящие в них, несимметричны. Поэтому ниже по­ строим решения для наиболее общего случая (5.101) и (5.105). Пред­ варительно выпишем выражения, чтобы вычислить величины ар( и для некоторых конкретных моделей деформируемых тел.^

Для гиперупругого изотропного тела с произвольной формой уп­ ругого потенциала Ф согласно [69] с учетом (5.106) получаем выра­ жения:

где Ф° = Ф(Л?°, А?, Л§°).

В выражениях (5.107) через А? обозначены алгебраические инвари­

анты тензора деформаций.

Для теории малых упругопластических деформаций, учитывая обо­

+ - Т - Е А ] .

Если в (5.108)'принять Е0 = Ек — Зр, то получим случай линейного упругого изотропного тела:

aip = А + 26/эр; 'G,/ = р; а</ = 6,/ (AeJU + 2ре«).

152

Для теории течения пластических тел с изотропным упрочнением, учитывая обозначения [70, 75] и (5.106), при нагружении получаем:

Г Р ¥ + Ш г Г <р’

153

154

Из предыдущих соотношений следуют равенства:

ац = аог; ап = 021; Gn = G21; G13 = G23; Gaj = G32;

(5.118)

ац = ai2 + 2G|2= аг| + 2G21.

Решение уравнений (5.116) при условиях (5.117) и (5.118) в про­ извольной цилиндрической системе координат, ось которой совпадает с осью Охз, можно представить в виде (аналогичные представления ре­ шений для упругих тел приведены в § 14):

Функции f и Х являются решениями уравнений:

При статическом (квазистатическом) подходе из (5.119) получаем:

Тогда функции W и X определяем из уравнений (2.30), где величины С2 имеют вид:

155

Из выражений (5.121) следует, что в случае статического (квазистатического) подхода решения представляются в виде уравнений второго порядка, однако характер их определяется соотношениями между ве­

В случае плоской деформации в плоскости хгОх3 решение система уравнений (5.99), (5.101) можно представить аналогично (2.42) в виде:

“i — [(Яз°)2 |[<3з1 + а? 1 (Яз) 2] - щ - + [аад + «ад(Яз)"2] ~ ^ г | + Р^а || X;

(5.125)

и, = - \ Х (+3 + <3в) - g ~ X .

Для определения функции X получаем второе уравнение (5.120), в ко­ тором оператор Д следует заменить на дг!дх\.

156

При статическом (квазистатическом) подходе из (5.125) получаем:

Для определения функции X имеем второе уравнение (2.30), в котором оператор Д следует заменить на д2/дх2, а величины £2 и £§ вычислить из выражений (5.122). Составляющие поверхностной нагрузки при хг =

= const и при ха = const представим соответственно в виде:

Результаты (5.119)...(5.128) получены для тензора {(о) в виде (5.101) при условиях (5.103)...(5.105), и если принять (5.106), т. е. считать

величины ар, и Gij симметричными, то эти результаты переходят в ре­ зультаты, полученные в работах [64, 69).

Таким образом, выше получены решения трехмерных уравнений для первого варианта теории малых докритических деформаций в об­ щем виде для различных моделей деформируемого тела. Эти результа­ ты позволяют построить характеристические определители для раз­ личных моделей по аналогии с приведенными выше для стержней, пластин и оболочек, причем конкретизация модели достигается за

счет выбора выражений для величин % и G*j.

Чтобы получить аналогичные результаты и соответствующие ха­ рактеристические определители для второго варианта теории малых докритических деформаций, необходимо в (5.119)...(5.128), а также в соответствующих им характеристических определителях принять

выражения (5.106) и во всех соотношениях положить Я? = 0.

Следует заметить, что результаты (5.119)...(5.128) с несимметрич­

ными величинами % и Gi, относятся только к случаю первого вари­ анта теории для тел с реологическими свойствами при принятом под­ ходе. Во всех других случаях первого варианта теории (тела без рео­ логических свойств; случай предельной системы с реологическими

свойствами; при учете упрощений типа Я?» 0 для медленных движе­ ний в докритическом состоянии и т. д.), а также для всех случаев вто­ рого варианта теории получаем результаты с симметричными величи­ нами ape и G^.

157

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ай н о л а Л. Я. Вариационные принципы динамики линейной теории упру­ гости.— Докл. АН СССР, 1967, 172, № 2, с. 306—308.

2. А й н с Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— Харьков: Гостехнздат УССР, 1939.— 719 с.

3. А м б а р ц у м я н С. А. Теория анизотропных пластин,— М.: Наука, 1967.— 266 с.

4. А м б а р ц у м я н С. А. Специфические особенности теории оболочек из современных материалов.— Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1968, 21, № 4, с. 3—19.

5.А м б а р ц у м я н С. А. Общая теория анизотропных оболочек.— М.: Наука, 1974 — 446 с.

6.Б а б и ч И. 10. Об устойчивости цилиндрической панели.— Прикл. механика. 1968, 4, № 12, с. 121—124.

7.Б а б и ч 1. 10. Про стШюсть траисверсалыю-1зотропннх цилшдричних обо-

№7, с. 32—39.

9.Б а б и ч И . 10. Об устойчивости изотропных и трансверсально-изотропных цилиндрических оболочек на основе трехмерных линеаризированных уравнений,— Тр. НТО Судпром. Л., 1968, № 108, с. 145—151.

10.Б а б и ч И. Ю. Об устойчивости равновесия ортотропной цилиндрической оболочки,— В ки.: Тр. VII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. М .: Наука 1970, с. 76-79.

11.Б а б и ч И. 10. О линеаризированных задачах для несжимаемого тела при

малых деформациях.— Прикл. механика, 1971, 7, № 5, с. 21—26.

12. Б а б и ч I. Ю. Умови спйкосп i р1вняння нейтрально! р|'вновагн нестисливнх т1л при малих докритичних деформащях.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1971, № 6,

вого сечения на величину критической силы.— Строит, механика и расчет сооруж.,

ных нэ материалов с малой сдвиговой жесткостью.— В кн.: Тр; НТО Судпром. Л., 1969, № 130, с. 28-37.

159

21. Б а б и ч И. Ю„ Г у з ь А. Н., Ч е р н у ш е н к о И . И . , Ш у л ь г а Н .А . Об оценке точности теории устойчивости цилиндрических оболочек при внешнем

ортотропной цилиндрической оболочки в случае осевого сжатия при неосесимметричных деформациях.— Прикл. механика, 1974, 10, № 8, с. 102—107.

23. Б а б и ч И. 10., Ч е р н у шеи ко И. И., Ш у л ь г а Н .А . Сравнительный анализ прикладных теорий устойчивости пластин и цилиндрических оболочек из компо­

•26. Б о л о т и н В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости.—

М.: Фнзматгиз, 1961.— 339 с.

27. Б о л о т и н В. В. Вопросы общей теории упругой устойчивости.— Прикл.

математика и механика, 1956, 20, № 5, с. 561—577.

28. Б о л о т и н В. В. О сведении трехмерных задач теории упругой устойчивос­ ти к одномерным и двумерным задачам.— В кн.: Проблемы устойчивости в строит, механике. М .: Стройиздат, 1965, с. 166—179.

29. Б о л о т и н В. В. О вариационных принципах теории упругой устойчиво­ сти.—В кн.: Проблемы мехаиикн твердого деформированного тела. Л .: Судостроение, 1970, с. 83-88.

31.Б о л о т и н В. В., Г р и г о л ю к Э. И. Устойчивость упругих и неупругих систем,— В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. М .: Наука, 1972, с. 325—363.

32.В а т с о н Г. Н. Теория бесселевых функций : в 2-х ч.— М .: Изд-во иностран­ ной лит., 1949.— Ч. 1. 798 с.

ные методы в теории сферических оболочек,— В кн.: Механика твердого деформируе­ мого тела. М .: Наука, 1973, о. 5—86.

39. Г о д у и о в С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.— Успехи матем. наук, 1961, 16,

№3. с. 171—174.

40.Г о л ь д е и б л а т И. И. Нелинейные проблемы теории упругости.— М. з Наука, 1969.— 336 с.

41.Г р и г о л ю к Э . И. Теоретическое и экспериментальное исследование устой­ чивости тонких оболочек за пределом упругости.— В кн.: Итоги науки. Механика. М .: Наука, 1966, с. 7—80.

42. Г р и г о л ю к Э. И., К а б а н о в В. В. Устойчивость круговых цилиндри­ ческих оболочек.— В кн.: Механика твердых деформируемых тел. М. : 1969.— 348 с.

.160