книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек

Or/- + О/

диr

~

и ОЧл

дг

К .

(5.52)

■

о

диа

ОгЗ +

Оrr—Qf~ =

— R ± h имеют вид (5.13),

как

и при осевом сжатии. Для «мертвой»

нагрузки q получаем, из (5.52) следующие граничные условия: -

1о„ + о„

дг ! Iг*Л±Л

0; (ого + л - ^

)

|

|г=

дг

/

(5.53)

[оГ) +

On

опираиия

(5.14).

Граничные условия (5.13) и (5.53) на цилиндрических поверхностях

с учетом формул (2.37) и (2.52) можно представить в виде:

{[(вц +

Рогг)

Ч- al2

1и (г) + nan -J-o (г) — yal3w (г)} |г=/?±Л=

0;

{ -

пОи ~

и (г) + ' (Gl2 + Ро°п)

-----± . \ v м ) Ц * ±* = 0: (5>54>

IУ0 l3u (г) +

(GI3 + Pa“r) ~

w

(г) ■|г_ я±Л = 0,'

где Р =

0 соответствует случаю «следящей» нагрузки q;

р =

1

соответствует «мертвой» нагрузке q.

Вводя

новую

переменную г = R (1 +

х) (—hIR < x ^ .M R ),

ре­

при отсутствии

особых точек в области | х | ^

MR можно выбрать в

виде степенных рядов (2.48). Тогда

соотношения (5.54) примут

вид:

V

{[(ап + ро°п) k +- ап \ Ak +

(ап + р<&) (k -Р 1) 4 * i +

+

nan Bk— а13к (Ck- i +

С*)) xk I

h =

0;

-

R

f

Q{ - n G lz A k + 1(G12 +

Pa?r) k - G

a ] Bk +

(5.55)

+(Gn +fk£) (k + 1)5*+,} x4L+JL='°5

f ,

{xG13A + (G13 + pa?,) (k + 1) Cft+1)

_ +

A = 0.

A=

O

|* _ ±

~R

относительно постоянных А0,В 0,С0, Аг, Blt С,. Для

определения по­

стоянных /4в, Bk%Ch (ft =

2, 3, ...,) (§ 15) получаем систему рекуррент­

ных уравнений, из которой выводим:

Akk (ft — 1) [аи +

Oi -|- a2 +

С(1 — k, — ft2)| =

- -

(ft—

1) ( 2 ft- 3) (au +

C)

-

[(ft -

2)2 (ou +

C) _

n2G,2 -

-

Vft — (n2 +

1) C — x2 (G,з +

C)|^!M

+

2X2 (G13 +

C ) 4 J +

4" *

(G43 4" G)

— n (ft

1) (<2i2 4~ G12) Bk—i —

ft [(ft — 2) (flj2 4" G12) — a22 — Gjjj — 2C| Bk—ч4*

+ x (ft -

1) (als +

Gu ) C*_, +

x [2 (ft -

2) (a13 +

G13) +

a13 -

c23j a _ 2 +

4- x [(ft — 3) (a13 +

Gl3) +

a l3— aM|

—

J ic / m 4" 1) {(Qi — Cfti) [(«* +

*) ctft-m-2 +

ma*_ni_,] -f.

4- (аг— Cft2) [(m— X) p*_„_2 +

A .+, +

+

{[(П2 +. 1) X (0, -

Cft.) +

X2 (fl3 -

Cft,)] OCfe—m—2 -

j 7

l(o2 +

l) X(a, -

Gft2) +

x2 (a4 -

Cft4)| pfe_ m_ 2} Am +

- x2

2

I (o3 -

Cft3) aL m_2 -

(a4 -

Cft4) P*_m_2j (2Лт_, +

A„_2) +

m=~0

+

2n*

S* KQJ -

Cfei)

-

(o2 - Cft2) P*_m_ 2) Bm;

m=o

Bkk (ft — 1) [GK +

a, + a2+

С (1 -

ftx — ft2)[ = — (ft -

1) (2ft — 3) x

x

(£1Ц+ C) B*_, — [(ft* -

4ft +

3) (G12 +

С) — о2 (a22 +

C) —

- «

2(G23 + C)lBft_ 2 +

H2(G23+ C) (2Bk^

- B

k^ )

+

f n ( k -

if (au

+

Gt2) Л*_, +

л [(ft -

2) (au +

G12) +

4“ ^234Gj, 4- 2C) Ait—2 — x/i (Q23 4* G^) (С*_2 -f- Ck—з) —

Й—2

«

1)-((aj — Ok,) [(w 4* X) a k—m—г + иа^_ т _ || 4-

^

(ог -f

4- (Oj

Cft2) [(/n—X)Ph—m—i 4- 0*Pft—/л—l]} Bm+t +

<t—2

1) X (ax — Cfti) -[- x2 (fl3 — Cft3)l (Xk—m—2 —

4"

d(o2

k-"К « а 4-

1) X (a, -

Cft2) +

x2 (a4 -

Cft4)l pfe_ m_ 2[ 5 m 4-

4” 14

КОз

Gft3) CLk—m—2

(04 — Ckj) Pft—m—2J (2Вт—14” Bm—2) 4*

>n—0

4- 2nX

V 2((ai_

Ck,)

(a*— Cft2) p '^ m, 2J

(5.56)

Ckk(k — 1)|0,-3 + в, + а , + с п

—

м

=

- ( £ - 1) (2k — 3) х

X (Gl3 +

С) С*_, — [{k — 2? (Gl3 +

C) -

n* (G23 +

C) _

x2 (<3щ 4- C) | Ck—24- x2 (a33 + C) (2G_3 +

C*_() —

— (A — 1) x (a13 +

Gl3j Л*_, — x 12 (k -

2) (au +

GI3) +

an -f Gl3) Л*_2 —

— x[(k —3) (ai3 +

G13) +

^23 + G13| /4л_з — хл (а2з 4* G23) (Д*—2 4- Д*—з) —

fc- 2

X) ak-m -i + mak- m-,\ +

—

V (m -i- 1) {(ax — C£,) [(/re +

/n=0

k o + (02 — Cft2) [(m — A) f3*_m—2+ Wp*-m—l]} C/n+| +

+

S

{[re-A, (a! — CAX) +

x2 (a3 — CA3)| a *_m-2 —

(a2 — О Д +

-f” X“ (й4 — C^^)] pt—m—2) Gm + X2 V

[(fl3 — GA3) Ot*_m—2 —

m=0

— (a4 — Ofe4) pft_„_2j (2Cm_, +

Gm- 2),

где величины a,-, a,-, P, и р,- являются

t-ми коэффициентами в разложе­

ниях

соответственно

функций

(1 +

лг)\

(1

+ л:)71-1».

(1 + х)~х и

(1 + *)-A+l) по степеням х (| х | <

h/R).

Из соотношений (5.55) и (5.56) выводим характеристическое урав­

нение

в

виде

det || aij|| =

0;

a,7 = f ( p, q,&, x,

ars, G*/, n, tn)

(5.57)

( t , / = l , 2, . . . . 6).

ношений для определения

постоянных Ак и Ск (k = 2, 3, ...)

через

произвольные постоянные /40, С0, А3 и Вх:

ап (^ + 1) (^ + 2) Ак+ч + аи (2k + 1) (k +

1) Ak+\ + [ДцА2 — a22

— х2 (G13 — p)| Ак— 2х2 (G13 — р) Ak—\ — х" (Gl3 — р) /4*_2 —

— х (k 4- 1) (a134~ Gl3) C*4_i — x [2k (a134" Gl3) 4* tz13 — a^J Ck—

— x [(k — 1) (o134" GJ3) 4~ ^IS — ^23] Ck—1=

0;

(5.58)

G13 (k + 1) (k 4- 2) Ck+2 4- (2k + 1) (k 4- 1) GI3C*+i 4-

4* [k2G13— x2 (a33

P)J Ck — x“ (д33

p) (Ck—24- 2Ck—i) 4~

-h x (k 4- 1) (fli3— G13) /4*4-1 4- x [2k (a13 4- G13) 4-

4" G13] Ak 4-

4- x \(k 1) (tt134- G13) 4- o23“I" G13l Ak—i =

0.

Соотношения

(5.55) для

осесимметричной формы потери

устойчивости

с учетом (4.1) переходят в следующие:

£

[{aub +

al2) Ak -b au (k +

1) Ak+l —

- a13%(C„ +

Cft_,)j xk|te±

n = 0;

(5.59)

У. \*G13Ak +

G13 (k +

1) Ck+i) xk|

±

=

0.

*=°

л

харак­

Из соотношений (5.58) и (5.59) получаем с точностью до е2 и х

теристическое

уравнение

где

det||a</|| = 0

(i,/ =

1 ,

2,

3, 4),

(5.60)

«и = «и ---- g-е2

[а2з + G13 +

(G13 — p)J ;

ai2 = axi---- ^-e2 (a13 +

p);

«13 =

°13---- 2 ~ e‘ (a33

p) — -2- '^ r |2 (o23 — a13) +

-^-(fl13— fl23)J ;

«14 =

2~~

[ ^

13

a23-----a^” ^ 13

^ 13^j »

«21 — °2 2

°1 2 +

(G l3 ---- P)

------- 6~ e2,t" — ~Q~

~

^ 1 3

~b P)>

«22 = O12 — o31;

agg = a23 — a13 +

e2

1G13 (al3 — a23) —

-

flM(Озз ~

P)J +

(O23+ 2GI3) -

^

= -Qa^

(G» ~ p)j ;

«24 =

^

1 3 -

4 - 8 2х ] - ^ ±

^ ( а 13 +

р

) - Сзз+ p \ ;

«3i =

^

i 3

- x

e2x —

a3~

P)

2 ^ 3 +

Gt3) | ;

«32 =

-

-Y 4 -

(fl23 -

2 e 13);

a 33 =

- 5-

I T

[«33

-

P + а^ а' * - а^ j ;

«34 =

G13 -

4

e2

-

a

33 +

p ] ;

(5.61)

«41 =

-

н (o23 +

G13) -

e2x {

-

2

^

(fl23 -

2a13) +

M

£

азз— P"+ o13 + G13I

—

(flt3 +

Gia)2

I

flu

J

«42 =

— Oi,X -

[ia (Gin — P)

----gin + Gia

[ _ai3 (gia + Gia)

„

,

])

Gis

^

------------ Язз + р

р _ J _ °2а (а13 ~

+ Ц12 («12ДЯ3 —Ч ^ г з ) + “23 t°llQ23 -

а12а»1

**

аМ- «110.13

+

+ е2

ииазя — 0)3

(5.62)

За,,

2h [

а п а 22а яз —

а Тза*2 — а ^ я л + 2 а ,га13а2Я — а „< 4 ,

] v*

(5 63)

Рк„ = -щ- [---------------------------

-------------------------------

J

или, переходя к техническим постоянным по формулам (4.25),

Таким образом,

гипотеза

Кирхгофа — Лява является

асимптоти-

ветствующих

значений, вычисленных

на основании гипотезы Кирх­

гофа — Лява

(для рассмотренных при

численных расчетах

диапазо­

нов изменения механических характеристик материала это

отличие

не превышает

10%).

Таблица 8

Таблица У

Ах = 0.1

лк = с.оь

Номер рисуй-

v

V'

Е/Е,

Е,/0

Ир, = 0,02. . .

..0.2-10—4

. .0,2.10-4

0,50

18,20

4

0,99616

0,99616

19.21

0,10

22,24

0,3

0,2

0,50

40

0,96434

0,96428

23,27

0,80

50

0,95559

0,95557

26,25

1,00

60

0,94678

0,94676

80

0,92919

0,92917

ный шаг по р* выбирался для фиксирования

перемены знака (hp- =

= 0,005; 0,01; 0,02). Затем для уточнения корней шаг по р*

уменьшал­

ся до 0,2 •

КГ4.

Таблица

10

EJG

R/2H

4

10

20

60 .

100

Р*

к

р •

х

Р*

X

0 •

X

х

300

0,9982

27,0

0,9957

27,0

0,9916

27,2

0,9737

27,6

0,9574

28,0

250

0,9978

24,7

0,9949

24,8

0,9908

24,8

0,9698

25,6

0,9504 .

25,9

200

0.9965

22,1

0,9936

22,2

0,9878

22,2

0,9628

22,9

0,9380

23,6

100

0,9947

15,6

0,9861

15,8

0,9746

16,0

0,9256

16,9

0,8781

18,2

70

0,9927

13,3

0,9818

13,3

0,9641

13,5

0,8939

14.7

0,8240

16,2

50

0,9893

11.1

0,9745

11,3

0,9499

11,6

0,8517

13,1

0,7548

15,3

40

0,9860

9,9

0,9682

10,1

0,9374

10,5

0,8151

12,4

0,6967

14,6

В табл. 8 приведены некоторые значения р* минимальных корней

трансцендентного уравнения для £ / £ 3 =

1; 2h/R = 0,005 при различ­

для механических характеристик, приведенных в табл.

9. На графиках

кривым 1, 2, ..., 9 соответствуют значения EZ!G = 4,10, 20, 30, 40, 50,

60,

80,

100.

корней р* и со­

В табл. 10, 11 приведены значения минимальных

ответствующие им величины х = mnR/l для £ / £ 3 =

0,5 и £ / £ 3 = 0,8

при

v =

0,3; v' = 0,2.

Таблица

II

£,/С

Л/2Л

«

10

20

40

100

р *

х

р*

X

Р*

х

Р*

X

р*

х

300

0,9977

30,3

0,9946

30,4

0,9888

31,1

0,9771

31,3

0,9520

32,0

200

0,9966

24,8

0,9919

24,9

0,9799

25,3

0,9683

25,5

0,9212

26,9

100

0,9932

17,6

0,9797

17.7

0,9681

18,0

0,9367

18,7

0,8437

21,0

70

0,9902

14,7

0,9768

14,9

0,9543

15,3

0,9096

16,1

0,7760

19,6

62,5

0,9891

14,0

0,9698

14,2

0,9490

14,5

0,8989

15,4

0,7520

19,4

60

0,9860

12,5

0,9667

12,9

0,9362

13,2

0,8738

14,2

0,6880

19,2

40

0,9836

1U

0,9595

11,5

0,9204

12,0

0.8425

13,3

0,6145

20,3

Таблица 12

Номер рисуп-

£,/Я,

v„

V,j

.V“

28

0,5

0,5

0,30

0,25

0,20

29

0,3

0.6

0,32

0,10

0,25

30

0,30

0,5

0,8

0,30

0,20

0,25

28

(штрихо­

вая

линия)