книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек

{ [* (°13

+

ст11^з 2) -^2~ +

(а3а +

С33Л.32) - £ |-----

р

j х

X

(an

+

CT?iXT2) - щ - +

X? (G13 +

СТ33ХГ2) - £ |-----

р

—

— ?мХз (а1э +

Ct9)a

X — 0.

№ + с

(°п Н~ q?i^>i 2) (Gt3 +

gii^3 2) 1V1

&Ь = с ±

с * _

(°яз + °ЗЗ^Г 2) (^13 +

°ЗЗ^Г 2)

(2.43)

2С = [(а33 +

стязЯ-з2) (сЕц +

а?|А,| 2) + (G,3 +

азЛ

2) (G,3 +

стмЯз2) —

-

(аи +

Gis)2] К^зз + °°ъК2) (G,3 +

а ^ Г 2)]“ ‘.

Граничные условия в напряжениях при

х3 =

const

и xt = const

получим из соотношений (2.6) и (2.17):

(ОэЗ^З 4" ОГЗЗНз.з) k=const = Рз>

(^зА г +

ОзэЩ,э) k=const =

Р »

^ ^

(ацЯ-1 +

0(1^1,i) k —const =

Р ц

(<JlA-i +

ff'll“ 3.l) lz,=const =

PS-

ниях и представляя последние в виде:

иг = и (хх) cos а х2sin р*8;

«а = v (хх) sin а х2sin Р*э;

(2.45)

u3 = w (хг) cos ах2cos р*3

[“» + °

' >

- «Л d -- «)]т 9

4 - 0 - « ) ^

р»+

+ [«» + 0 „ -

4

о°а(1 -

6)] ф

+ [ои + -i-o?, (1 +

8 )J - £ j. +

^

2~ (1 + *) f j x

j

| (азз + <7эз6) Р®+~ ~ Сгва® +

Н—

<?22(1 +

б) а 2j w = О;

— h ^ x 1^.h \ 0 < хг < а; 0 < х3 ^ b\ h < a .

При выводе

уравнений (2.46) предполагалось, что al — ft (JCi); сг?/ =

= 0; t Ф j. Для

второго варианта

уравнений (2.8) 8 = 1 , для тре­

тьего варианта

уравнений

(2.12) 8 = 0.

ны выражениями:

о°\\ = const; ah = &о + bVxx

(i = 2, 3),

(2.47)

ных рядов:

и - £

А ^ , 0 = £ В ^-,

*=0

о.

ft«=0

/Л •

(2.48)

w =

£ Ск

хх =

ах.

нивая к нулю члены при одинаковых степенях х,

получаем

ряд си­

стем уравнений:

(коэффициенты при х°)

первая

система

уравнений

2 (в„ +

и?,5) А — а*[ 0 Иа* + GIspa + 4 ( 1 +

*)

+

+

4 (1 +

«) (Mil1] А + а [ а,, + 0„ — j- (.1 -

«) Йя] «В, -

- [ам + 0 а

— i- (1 - в)6?>]арС, = 0;

— а [а „ + G,, —

(1 — 8)он| » А + 2 | G „

+ -j- (I +

+ а® [щ , + в и - 4

(1 - «) *?’] “ РСс =

a[a,3 + Gu — ^-(1 —8)а?,|рА + [йзв + GM —

-----1 ( 1_ 6) 6?'] а®арв„ +

2 [G,, + 4 (1 + *> ° “ ] С» -

- а®[в„Р® + 0ма® + 4 (1

+ 8) o®6i!l + P®8i3’*] С, - 0;

^ +

1-я система уравнений (коэффициенты при xk)

К

+ опб) (к + 1)(/г + 2) Л*+2 -

а2[с12« 2+ ДзР2 +

+

4" 0

+

в) “2Ьо2) + -g- ( Н - «)РгЬо’] Л*- а3 [ 4 О + б) аг6(12) +

+ Т

('1 + 6) Рг&‘3)] 4 м +

а [аи + G1# —

(1 — 6) &о2)] X

X а № + 1)£*+- — L (1

_ б)dlb?)akBk—а |а18 + G13 —

~ Т

( 1: ~ 6)tf*] Р(* + 1) С*+1 + ± (1 -

&) a2b?%Ck = 0;

-

а [ам + G» •- 4- d -

б) а?,] а (k + 1) Л*+1 +

+ [б12 + - у О + fi) 0ii]

+

1) (Л +

2) Ял+2 —

-

а2[а22а2 + Ga3P2 + а26<2>6

+ 4_ (1 + б) р Ч 3)] Вк-

-

а2 [о2&|2>6 + 4 - (1 +

б) р26?>] Bft_! +

а2 [а28 + С23 -

- 4 - а —б) fcg3’] арС*— 4~(1— б) a»6f ’ape*-.. =

0; (2.50)

а [ai3 + G13— 4~ (1 —6) a?ij Р (k +

1) Ak+1 + а2 [ам +

G23 —

~

4 - ( 1“ s)6o2,]apB ft- 4

- ( l

- 6 ) f lS 6 f аР 5л_, +

+ [бы + 4 - d + 6) a?ij (k +

1) {k + 2) Ck+2 —a? [a83P? +

G23a2 +

f 4-(1 +

6) a2$> + 6P2^3)] Ck~ a2[4-(1 + 6) a26(i2) + Р26(,3)б] Cft_, - 0.

чая Л0 = 1 ,

Лх =

Вв = £ 3 = С„ = Сх = 0, для второго — Л3 = 1.

Л0— В0=

= С0

= Сх, ...,для шестого—С3= 1, Л0 = Ах — В0=

ражений (2.48) находим шесть частных решений ии\ vi{\

(i =

и = Б Д a(0 cos ах2 sin Р*8;

о = У

Д о " ' sin otx2sin рх3;

<=l

(=i

(2.51)

6

4

w =

cos ахъcos p*3>

+ [“» + с » — г «5>(1 -

«)] nyrv + [ G „ +

4 - «А ( I +

«>] X

X r » - ^ - - [ ( e 3J+ 6crb)rY + GMr!“ +

-i-o0M(H -a)/!!J«» +

+ [o .s + -j-ofi (1 + «) + - f ^ - C

+ * > '] ' I F

- 0-

Представим начальное напряженное состояние, соответствующее

внешнему давлению полого цилиндра, в виде:

0?1 = ац*~х+ V

1""1+

с;

а®2= айгк~ 1+ V

* ^ 1+

с;

о

,

о

Л

.. .

(2-54)

озз =

const;

оц

= О

(t Ф /),

где величина X зависит от упругих постоянных.

При целых X решения уравнений (2.53) для

г £

(0, оо)

ввиду на­

личия регулярной особой точки г = О можно

построить

с

помощью

обобщенных степенных

рядов:

и =

2 Akrp+k‘f

v = £

Вкгр+к;

/ft ——

4=0

4=0

«,

(255)

г» = £

С,г»+»

(А„, В „С 0ФО).

4=О

Таким образом, число р н постоянные Ак, Вк>Ск должны

быть так

Ниже построим решения,

когда о^ =

—р\ о°ц = о22 =

0; о£/ =

О

(i ф /); б = 1. Решения для

предыдущего

случая, когда

величина

X

симметричной деформации:

Ак[Оц (р +

k f — а 22 — Glanaj + Bkn [(al5 +

Gl2) (р +

k) —

— а22 — G12] — Ak- i f (G13 — р) — Cfc_iY1(Лм +

^is) (P +

^ — 1) +

4- ^13 — aaal = °;

— Akn [(a12 + Gn) (p + k) +

a22 +

G1B) -f Bk[G12 (p +

k f —

- o 22n2- G

12) - f i fc_2Y3(G23 - p ) +

Cft,,Y rt(a23 + G28) =

0; (2.56)

Au—iy l(au +

GI3) (p -f k — 1) -f- aM +

GU1+ Bk^ y n (a^ +

G23) +

+

СкIGu (p + k f — GMna] — Си-aflasV2 = 0.

Для осесимметричной деформации имеем:

АкЮн (Р +

k f — а 22| —

2Y2 ( ° u —

Р) —

Ск- 1У [(д 1з +

+ С,з) (Р + А -

1) + aw -

«за! = 0;

5

Лл—iY Цв» +

Ga) vP + k — 1) + flae +

+

CbGu (P +

— Cfc_2a83Y2 =

+ яа [(лм +

Gla)2 р2 -

(а22 +

Gl2)2]} = 0.

(2.58)

В результате решения этого уравнения

р,,2,з>4 = ± |Т___п *

~

{a-п +

G<2n2) — Он (Дггд2 + Gia)

_ц

-j_ f_"8 <«22 +

Git)8 ~

(a,, 4- Glgn2) M + G12)

l

°uGi*

+

-| ГJL* (Qft + GH,)2 -

Qlt fa , + Gun*) -

fl„ ja„n>-f Gl2) j a\v»II; (2 g9)

I

2auG,j

J J J!’

P5tc =

± П у Г

.

9i,2= ± У ^ \ рз.4 = 0.

(2.60)

и{1) = 2

А(Ргк+\

W{1) = 2

CUV**

а =

1, 2, 3);

*"°

те

„

(2-61)

uw = и(3) In г +

2

a/4) =

w(3)In г +

2

fc=0

*=о

Коэффициенты i4*), С**

определяем из рекуррентных

соотношений:

№ =

feu (ft +

W -

а22Г ‘

(G« -

Р) +

СЁ-iY [few +

+

GJS) (Pf +

^ --- 1) +

а1Э---й2з1} *

с!'1=

[G13 (р, + А)2Г ' { - 4 'i.v [few +

Gw) (ft

4*k -

1) +

причем

4* Дад 4* G13] +

С*2-2вяэУа)>

A f f lw - X S H - O ;

0;

Л''1=

C5f> « 0

(« -

- 1 , - 2 ,

...) ;

A® =

C gf, = 0;

C?> =

1

» = 0.

1. J .

. . . ;

< -

1.

2.

3);

У

- jb - ii n ,

где n — целое

число.

Коэффициенты Dft н Е1]определяем из соотношений:

D{?

= — (auft2 -

fl22)-' (2A

uft-

vCgL, (a13 + G13) -

— D/fij-y2 (G13 —p) —

(few + G13) (ft— 1) 4- als — a23]};

+ yD^U [(aw +

013) {k — 1) + a2з + Gi3)}»

причем

J E f t.,- d S ? “ 0; 4 4) = 1

(* = 0 , 1 , 2 , . . . ) ;

f!,4, = Оя1=

0

(л =

— 1, —2, . . •).

А

A f(r, Pf) sin ух3,

2

А

А ф (r>Pt) cos ухв;

«8 =

£

(2.62)

А, = const; f(r, ft) =

ы(0;

<р (г, р,) = wM

(i = 1, 2, 3, 4).

огг|г=я±л = 0; огг |г=.д±й — 0,

(2.63)

ческой нагрузки:

(i, / = 1, 2, 3, 4),

где

detllCi/U = 0

си (Pi) -

[flu - (£rPl)- +

т - f {г, р£) — a13yq> (г, p£) |

<*,(Pi) =

[v /(r, Pi) +

<‘ = 1. 2, 3, 4).

2 (а„ +

брГ) А2— [а22 + 6р(20)+ G12n2 +

(1 + б) p £ V +

+

Gi3x2 + -g- (1 + б) o&x2] i40 + (аи +

6pi0)) Аг +

+ [^12 +

G12-----2~ (1 ---®) Р20>] П^ 1 ----[**22 +

^12 + “5“ (1 +

+

36) а40)] пВ0 -

[а13 + G13- - i - ( l - 6 )

азз] хС, -

(«13 ~~ йзд) кС0 = 0;

(2.64)

[Gw + -§- ( Н - 6) р{0)] (Л +

I) (Л + 2) Сл+2 +

+

Qft+i (А0, В0, С0, . . . . Ац-i, Bfr+i, Cft+i) = 0.

Здесь

р\т) = а ^ - 'с ^ + Ь

^ - 1й ^ + с;

q\m) = X

-

b j J r ^ W j ;

* = yR

(i = 1, 2);

|(«xi + So?i)-^5- + [G12 + -у- (&(] +

б)

+

+ ^2а„ + 26а?| + бг —jy -j-J r

+ |о 12 +

- у аи(1 + 6)j х

X ~jr ctg 0 -щ- +

I«i2+

° 1з — Я22~~азз~~ 2агз

6 (а22 +

+ <&)1 -Jrj uf + j |a 12 +

G „ -----Y ст22 (1 — 6)J—

-gpgY -f

-f falfi + GM--- Y

(1

6)] — C*g9

+ fal2

fl22

— a23 — G19---- Y a22 (1 +

36)]

+ Jai8 — a ^ — a33

— Gn — 6033---- Y 022 (1 +

6)] - jr c*g ®} "e =

'

» „о

п

drdQ

+

(ди — flw )T c tg 0 ' l “

+

Оц + u » — -5 - 011(1 — O) J T

12

+

|оаг + °2э +

2Gi2 + 4 -

^

+

^

+

№ , -

ам +

« «& - ' * » ^

clg ®}

+

+

{[G„ + - г

(II + «) a!. ] да- +

№ . + 8 *

-7Г-ЯГ +

+ [2C„ +

- i- ° n (3

+

6) + - i - r - ^ r - ( 1 +

8) -

-

4 - A C - 6 ) ] - r Т Г +

'“» +

6°°!) ^

ctg9 ^

+

+ [ - a M- 2GK + 4 - A ( l - 6) — j - A ( l + 8) +

+

T ' ' l l -

~ S)] 4 - ~

<“» +

8A> 7Г

9) “» = 0;

oft =. fi (r);

o?, =

0

(»=*/).

В дальнейшем, предполагая 6 = 1 ,

рассмотрим

трансверсально­

а22 — а83! а\г — 013*

G12 =

Gis* G23 =

(2.66)

Тогда решение системы (2.65) отыскивается в виде

и, = ип (г) Рп(cos 0);

UQ =

v„ (г) Р„ (cos 0) sin 0.

(2.67)