книги / Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями

са с эллиптическим патрубком

и полуосями Г |7 ^ £ 2)>

Полежим £g я 0,05 . На рис.

3.2В,3.29 сплошной линией изобра­

Рассмотрим соединение о полуосями

и

r ( f ~ £ g ),

Г(Ыъ) • Положим fy « -0*05, 8g ■

0,05. Полученные

для этого

сдупад результаты представлены на рис. 3.26-3.30 . точ­

что максимальное

по модулю напряжение перемещается в точку F

и равно @22 с

Заю** образом, при рациональном проектиро­

О * д е - Л 1 1 й * д в » о .

/ . . у

Здесь

п - матрица ж есткоот, способ построения которой опя-

с*н» "ч>«т«фв э.ц

H '-i/i’mNA'ht&etJe&KAtt

•

матрица масс.

Q

z

Для вычисления коеффнцнентов матрицы масс

воспользуемся,

как м в

параграфе З Л ,

трехточечной по каждой переменной квадра­

турной формулой Гаусса.'

Рассмотрим численный метод, позволяюацф_оцределкть собст­

венные числа и векторы задачи веда

/ 4 . 1 / КЦ~лП Q* 0 .

Матрицы

К и М в / 4 .1 / являются

большими

матрицами

лен­

лен метод итераций в

подпространстве С9 , 46, 51,

52 J*

Основная цель метода итераций в подпространстве -

опреде­

лить

р

наименьших собственных яначений я соответствующих

собственных векторов,

которые удовлетворяют условиям ортогональ­

ности

A,

где

9Т*$

I

/ 4. 2/

A'mdlag(A()l

~ единичная матрица порядка

р

dTs[5 }

, , (Ц]

"

матрица, составленная иэ

р

собствен-

ных векторов.

Pacfiuoтрим алгоритм метода итер&^й в подпространстве.

Пусть

Xi

представляет собой матрицу из

р

линейно незави­

симых векторов, которыэ являются начальном

приближениями пер­

вых

р

собственных форм

. . . »

(}р

.

Предположим,

что

найцена

/-я

итерация для

j^ .

Алгоритм определения

i + i

итерации для

этих векторов_ыожно_записать в следующем веде:

1.

Построим

матрицу

Fi.tzMXi.

. .

.

2.

Определим матрицу

fji+^ из

соотношения

р

что

соответствует решению системы линейных уравнений для

пра­

вых частей.

_

_

3. Построим матрицы

ttli+i

и

K^.j

размерностью Р хр ,

ярллющиедя соответственно энергетическими эквивалентами матриц

К

и

М

в

р

-мерном подпространстве

*

4.

Решим полную проблему собственных значений и векторов

для

уравнения

К1ЧХ^

-

Xi+1

. где

Xi4

-

матрица собственных векторов размерностью РЯР «

Л /*/

- диа­

гональная матрица

собственных чисел.

б. Вычислим матриц

улучшенных приближений к собственны*

векторам

Xir,= У^, Хц, .

Построение итерации закончено.

Рассматривая итерации в подпространстве, важно заметить,

что

матрицы

Кi+f

и

Г П стремятся к диагональной форме <

при увеличении числа итераций. Следовательно,

при решении вспо­

могательной

задачи на

собственные значения эффективно использо­

вать

обобщенный метод Якоби.

Лерзьи шагом метода итераций в

подпространстве является

выбор начальных векторов

X у

. В / 9

J

предложен

следуют^,

алгоритм

назначения начальных векторов. Первый столбец в

MXj

должен соответствовать

диагонали матрицы

М ,

что

обеспечи­

вает

участие

в решении степеней, свободы,

связанных со

всеми

массами. Остальные столбцы в

МX*

должны быть единичными

и отвечать степеням

свободы с. наименьшими соотношениями дйа -

тональных элементов матриц

К и

М .

Пример 4 .1 . С целью

выяснения возможностей предложенного

подхода к исследованию оболочек различных относительных тол­

щин

рассмотрим задачу о свободных колебаниях

пластины,

беско­

нечной в направлении

координаты

aC^

О^оС^й . На краях

cLf-O и dLj-GL

заданы условия шарнирного опирания,

на краях

скг~CO lSt

- условия

симметрии.

позволяет

существенно улучшить результаты расчета. Для оценки

точности

определения частотного

параметра

Л=p(i)*CLZЕ

с

}

использованием ОЛИ и ППИ в табл.

4 . !

приведены значения

X* 10

для первых трек тонов при различных значениях

К/2 d

,

подучен­

ные на сетке йз

четырех конечных элементов. Аналогичные резуль-

таты, подученные на сетке из восьми конечных элементов,

седер-

хит табл.

4 .2 .

Т а б л я

ц а

4Л

Ша :

К

'

Т

:

ОПИ

: 6.% :

ППИ

1 =

6.7'

1/10

39,20245

86.08611

87,32552

1,44

86,21552

0,15

1427,239

1249,283

I330V241

6l48

1275,584

ш

7225,399

5500,831

6422,821

•16,8

5999,669

V20

22.30061

22.. 09958

22.78984

3 .12

22,13342

0,15

356.8093

344,3443

390,3354

1§,3

352,0616

2,24

1306,349

1671,204

2208,640

32,1

1844,294

16,3

1/40

5.575154

5.562492

5.813222

5,571043

0,15

89,20245

86.39869

105,6092

45,4

90,41522

2,28

451,5874

442,5519

647,8062

489,8971

10,7

1/100

0.892024

0,891699

0,937676

5,16

0.893071

0,15

14,27239

14,25162

1^.45767

26.5

14,57834

2,29

72,25399

• 72,01799

110,6169

53.6

79,81703

10,8

1/200

0,223006

0,222985

0,234725

5

26

0,223328

0,15

3.563090

31566795

4,387646

23,1

3,648632

2,29

28,06349

18,04369

27,94652

54,8

20,00671

10,8

П р и м е ч а н и е ;

л , 7

= аналитические решения по тео­

рии пластин Кирхгсфа и Тимошенко;

0

-

относительные погрешности

1риб;оаенясго реяенвя, полученного 1ИЭ.

Рхосаотрям графики зависимости относительной ошибки б(%)

определения частотного параметра

X

от

BCtjll

с использованием,

сетки

из

чеп^ех конечных элементов /рис. 4 .1 /.

Номера кривых

I, ?,

3

соогаетствупт номерам частот

в

поредке их возрастания.

Сгаошнши линиям* обозначены кривые для

случая,

когда 'Использует­

ся СПИ, мтритовши - ППИ. На рис.

4 .2

представлены аналогичные

раоуть^ьгн для сетки ИСЭ из

восьми элементов.

WQ:

86,0ебИ

ОПИ

: 6 %:

ШИГ

7

6 %

1/10

69,20245

86,18331

0,11

86,09442

0;009

1427,239

1249,283

12^5,687

0,51

1251,049

0,14

7225,399

5500,831

5575,346

1,35

5535,918

0,64

1/20

22.30061

22,09968

22.17650 О,-35

22,10185

0,009

356.8098

344,3443

34$.3021

1 44

344.8622

0,15

1806,349

1671,204

•1728,282

.3,34

1683,182

0,71

1/40

57

5.562492

5,605162

0,77

5,563042

0,01

89.2024

88.39869

474,

3,12

66.53394

0,15

451,5874

442,5519

7,23

446,8445

0,74

r _

0,892024

0,902098

1,16

0,891788

0,01

I/ЮО

14,27239

72,01799

1Ш 8

4*76

14,27354

0

15

72,25399

f t , l

72,55988

0,75

1/200

0,223006

0,222985

0,225795

1,26

0,223007

0,01

3.568096

3.566795

3.750704

blto

3.572283

0

15

18,06349

18,04869

20,22217

12,0

18,18472

0,75

Т а б л и ц а

4*3

Аналити-

:8

эле-

:Лв- : 16 эле-

:/t <* : 20 эле-

6, %

ческое

ментов

:

:

ментов

. :

и>*

ментов

решение

:

:

0,08608611

0,08618331

О ,И

0,0860926

0,0075 0,0860888

0,0031

1,249283

1,255687

0,51

1,249716

0,035

1,249462

0,015

5,500831

5,575346

1,35

5,505946

0,093

5,502955

0,039

14,78683

15,21150

2,87

14,84307

0,38

l4 ,82438

0,36

Т а б л и ц а

4. 4

Аналити-

:

Сетка конечных элементов

ческэе ре-

.

•

шение Кирх-*

3x3

Ш

4x4

•!

5x5

6x6

гофа

•

0,35681

0,33474

0,33327

0,33304

Щ 4

2

2301

2,0099

I

9266

1.9075

2,2301

2,0089

1,9267

1.9075

1,9007

5

7089

5,4148

4,6035

4,5026

4,4785

8.9202

7,8591

7,1624

6.84В1

6,7336

8.9202

7,8602

7,1606

6,0502

6

7335