книги / Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями

ftic.

4 .7 ,

Т а б л и ц а

4.14

Сетке конечных влеыентов

: Аналитическое

2x2

3x3

4x4

".регние

8 2 |,8 7

824

59

824,59

827,Л

826,%

828

,/6

828,97

861’,44

832

07

832

59

831,34

845,29

844,42

835,85

1309,8

852,87

850 92

837,о :

где M С

и_К соответственно матрицы масс, демпфирования

циентами. Однако

эти процедуры, становятся_неэффективнши при

больших порядках

матриц М, С, К

и

F . Дня практических

условно мощно

разделить на две группы -

методы прямого интегри­

рования;

методы разложения по собственны* формам Г 9, 40,

48 J,

При прямом интегрировании репение системы /4 .4 /

подучают

с помощью численной пошаговой процедуры. Количество операций

при прямом интегрировании прямо пропорционально количеству

временных шагов. Таким

образом,

использование прямого интегри­

рования эффективно,

если необходимо найти реакцию системы за

сравнительно короткое время /т .е .

з а

несколько временных ша­

го в/.

Однако при большом количестве магов оказывается более вффек-

тивннм первоначальное преобразование

уравнений / 4 .4 /

к веду,

при котором .пошаговое решение требует наименьших затрат. Это и

составляет идею метода разложения по собственны* формам.

Представим узловые перемещения

^

конечных элементов в

веде

где Ф -

_

/4 .5 /

матрица,

состоящая иэ столбцов-векторов

ft

/см

па­

раграф 4 .1 /,

X (t)

- неизвестный

вектор

порядка

, завися­

щий от времени, компоненты которого называются обобщенными пе­

ремещениями..

.

„

Подставляя / 4 . 5 / в

/4 .4 / и умножая слева на

Ф

, полу ­

чаем систему уравнений равновесия для

обобщенных перемещений

X(th$TCi>Xlt)*Q‘ X(t)*4>rF(t).

/ 4 . 6 /

При выводе уравнений / 4 .6 / исподьзовиш свойства

М-орто­

гонально г тм матрицы

ф

где

l

Ь)2*

- единичная ма1ряца_пордцка И _

Начальные условия для

X(t) представ*!

в виде

х0‘ Фтйй0,

х0=фгйи0.

/4.7/

Ив выражения /4 .6 / следует

, что если демпарование не

учитывается,

то

при ислояьвования форы свободных колебания урав­

нения равновесия / 4 .6 / разделяются

m + Q ‘ m = $ TFtt).

/ 4. в /

т .е .

приводятся

и решения

П отдельных уравнений вида

&ilt)+Ql{X{(t)*r(lt),

/ ' 1,2......... Я ,

/4 .9 /

где

rJtj'S lF lt).

Отметим,

что

4-е уравнение

в /4 .9 / является уравнением

равновесия

системы с одной стелены» свободы,

единичной пасен и

жесткости

2

Начальные условия для в той системы

эатасы-

бы ­

ваем

нв

/ 4 .7 /

r W

e ;

/4 .1 0 /

* 4 .0* а‘ ми° :

b iL o ° а<чй»’

* = /> 2 ........"■

Репение

каждого уравнения / 4 .9 / модно получить с помощь*

интеграла Доамедя /

9_/.

Для определения полной реакции системы необходимо найти

решения

всех

П уравнений /4 .9 /. Перемещения угловых точек

вычисляют по формуле

9/t)’ Z18,Xi(t).

/ 4 . н /

Если известны, коэффициенты демпфирования [ 9 J форм свобод­

ных колебаний

fa f

,

то /4 .6 / мощно «атасап в вих*

хМ+2и>(<))(ХЛ)+ыг,хМ~ r((t), i

n

. / 4 л г /

деформированного состояния

пластины Кирхгофа /*2 2 , 26,

99 J,

Дцфферен|Д(альное уравнение малых колебаний тонкой пласта­

ны постоянной толщины

представим как

д1ш

£ ? У

, J *vигni .

=

0 ,

■ \дх*

2 дх2дц9

а#*

-)+рп

a t*

/4 Л З /

г ? "

~

V f

где Ш(Х, у., t) -

прогиб

пластины,

д=Вuj12(1-^% циливдри-

чоокая сесткость пластаны;

fi

- плотность материала,

ty(X,y.,t)-

иытексжвность внешней нагрузки,

Е

-

модуль упругости, ^ - коэф-

фнрент Пуассона,

/? -

толщина пластины.

Ц* 0 ,

б

Если

на краях

пластины Xs 0

, X-й ,

заданы условия сарнирного опирания,

то

нормированные собствен­

ные формы колебаний имеют вид /"2 6 ,

99 J

s i n

/ 4 Л 4 /

w far.th

t :

(Ч )<

/А Л Ь /

гдо Xma(t) -

т,п~{

неизвестные функции.

Подставляя /4 Л б/

в /4 .1 3 /

и учитывая, что

11ЦЦСТ1

**“

+г

^ Ч м

I . ,

/А Л 1 /

T xW

+ i y ~ r P t,u™lf"' (ЧЪ

оолуэаем

/Я ,/7 = /,2 , ... »

£ :& Ш

)^тлftlТ Ушиfet^ )£, тп(t)]=

/А Л Ь /

Умножая уравнение /4 Л 8 /

на ifKi (х,у.)

,

интегрируя по X

о* О до й и по У

от

0

до 0

, учитывая свойотво орто­

гональности собственник форм

Цт

, / 4. 18/

аапснваеи

как

xHIM + u U 'S i- U J J

^ Л Ш х ^ а г й ц ,

/ « . « /

•

0 о

к i~ i 2

Если функция прогиба

Ш(Х^

t) удовлетворяет начальнш

условиям

$ Ш 1

тс для xKi(t)

й г !

- * * .

они шдевт вид

* °

Х.п (0)~\ |

Wo<h<tx,t?)dx(ty;

X » l°)^ |

ЩЧи (x,y)dxUy.

/*•»/

Определяя из задачи

/ 4 . 1 9 /- /4 .20/ функции

Хм(Ь)

м сум­

мируя рад /4 .1 6 /,

получаем функции поогиба

W(XtUr,t),

Рассмотрим вынужденные колебания пластины под действием

внешней нагрузки

вяда

_

(pit), a ,*x < a t .

^

1 0 .

Х ^ [

d

f . d

g j

/4»21/

где

fi,

0 < t 4 t o ,

p(t)

0 ,

tnKi-O— t К< 90 •

l

С учетом / 4 . 21/

уравнение /4 .1 9 / преобразовываем

к форме

&Ki(t)+(0 *i XKIltl-rKip/t),

/ 4 . 22/

jfjp lc a sfa g -c o s

Записываем

peneine

/4 .2 2 /

с учетом нулевых начальных усло­

вий

o< t <t0:

[т¥-\l-cos(jKLt],

/табл . 4 .1 0 /.

8 (Уа) определения про­

ГОДина 'относительной погрешности

гибов в з&зпсимсстн от иреме;*;

/рис.

4 ,1 2 / мялистрирупт ооэухь-

татч табл. 4 .18 . Ломаны** 1 ,2 ,3

соэтветст'вушг сетке1конечных

-

П 9 -