книги / Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями
..pdfри тельную точность определения первых четырех частот можно полу* чить уже на сетке из восьми конечных элементов*
Пример 4 .2 . Рассмотрим задачу о свободных колебаниях квад ратной шарнирно опертой пластины, сторона которой G - 4. тол щина tl.= 0 ,1 . В рамках теории пластин Кирхгофа задача имеет аналитическое решение.
Значения квадрата круговой частоты, полученные с исполь зованием ППИ на разных конечко-елеменжых сетках, соответствуюпие первым шести фордом свободных колебаний, приведены в табл. 4 .4 . Как видим, разработанная схема МКЭ позволяет с доста точной точностью определять кратные частоты, характерные для квадратной пластины.
При решении задачи на основе уравнений Ъмошенкэ исследо вали также сходимость метода итераций в подпространство, кото рый используют в предложенной методике для решзння обобщенной
задачи |
на собственные здгьчеьия. В табл. 4 .5 ггряведены значении |
Ог , |
полученные после каждой из шести итераций метода о исполь |
зованием сетки 4x4 конечных элементов. Итерации 1>рор.сд11ли при |
|
восьми |
итерируемы* векторах. Результаты табл. 4 .5 подтверждает |
|
|
|
|
Итерации |
|
|
|
|
1 |
‘ |
2 |
i |
3 |
4 |
! |
5 |
6 |
0,36898 |
|
0,33328 |
|
0,33327 |
0,33327 |
|
0,33326 |
0,33327 |
3,996В |
|
1,9301 |
|
1,9267 |
4.9266 |
|
1.9266 |
4.9266 |
7,2754 |
|
1,9636 |
|
1,9275 |
4.9267 |
|
4.9267 |
1.9267 |
36,214 |
|
5,7630 |
|
7 ,213В |
4,6175 |
|
4,6054 |
4,6038 |
155,18 |
|
8,2346 |
|
7,4652 |
|
7,4646 |
7,46ОТ |
теоретические предпосылки о сходимости метода итераций в под пространстве и сввдетельствувт о его высокой эффективности при решении рассматриваемого класса задач.
Пример 4 .3 . Исследование возможностей предложенной схемы МКЭ для решения задач о свободных колебаниях оболочек проводили
на примере круговой цилиндрической оболочки радиуса |
R * 1О, |
|
|
длины |
/ = 10, толщины h* 0,05 . Задача о свободных колебаниях |
||
укаэакной оболочки хорошо Исследована СП , 42, 45, |
25, 26, |
35, |
|
47, 54, |
57, 92, 99J и характерна тем, что наименьшая |
частота |
сво |
бодных колебаний замкнутой цилиндрической оболочки не соответст вует наименьшему числу волн по окружности поперечного сечения [ 25, 26, 99 7» Поэтому для получения удовлетворительных резуль татов методом конечных элементов необходимо использовать доста точно большое количество конечных элементов.
Значения (02 ' i0s , |
вычисленные на разных конечно-элемент |
|||||||||
ных сетках |
при входных параметрах |
Е » |
4; р * 1; |
• 0 ,3 ; |
||||||
|
10 ; |
0 * cC g^ Х/в,приведены в |
табл. |
4 .6 . На краях обо |
||||||
лочки |
of/ * |
0 и Л^~Х/2 |
задавали |
условия шарнирного опирания, |
||||||
на краях с(2 = 0 и dLi-JtjZ- условия |
антисимметрии. Как |
видим, |
||||||||
точность определения |
(J* |
сильно |
зависит от |
количества, ко: оч |
||||||
ных элементов, и погрешность не возрастает монотонно с ростом |
||||||||||
частоты /табл. |
4 .6 /. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Т а 6 л и ц .а |
4 .6 |
||
Аналити |
:ЗхЗ |
д * |
: 4x4 |
Д * |
:5х5 |
Д |
* |
• бхб |
||
ческое |
ре- |
|||||||||
иение |
|
.элемен- |
|
элемен |
|
. элемен |
|
элементов |
||
Кирхгофа- |
’ тов |
|
тов |
|
т е |
|
|
|
||
Лява I |
25 7 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
2II77309 |
Г»,'043X902 |
124 |
219246709 |
Зб,0‘ |
214357046 |
B ’ S9 |
212494363 |
3 ,ЗР5755 |
14.246751 |
260 |
4,6742443 |
J8 .2 |
4* Т124906 |
з|9 6 |
s i 9557386 |
П р и м е ч а н и е . |
Результаты получены с использованием |
луч
iKi'o" пнач^чия.
Результаты, вычисленные на разных конечно-элементных сет ках с использованием ОПИ при определении матрицы жесткости, со держит табл. 4 .7 . Как видно из данных табл. 4 .6 , 4.7, использо вание ПЛИ способствует повышении точности определения (J2 , особенно на редких сетках.
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
4. 7 |
3x3 |
5д , * !4х4 |
5x5 |
‘6 %1 6x6 |
* А % |
||
элементов: |
: элементов: |
: элементов: |
элементов |
: |
П р и м е ч а н и е. |
Результаты получены с использованием |
||
ОЛИ при вычислении матрицы жесткости; |
а |
- значения ороситель |
|
ной погрешности определения |
СО*, вычисленные при условия, что |
||
СО* .полученное на сетке бхб конечных элементов с использова |
|||
нием ППИ, взято в качестве |
"точного1* значения. |
||
Пример 4 .4 . Исследуем |
вопрос о пределах применимости соотно |
шений теории оболочек, пологих относительно резных поверхностей отсчета, при решении эедач о свободных колебаниях. Для этого рассмотрим ободочку с резкой срединной поверхностью, которую подучают путем движения образующей
It^ -c C jtQ c L , £=-оС*, о(?4о(,<о(?, сС~COIlSt
по направляющей
1*[К*/7оСг)]с»УоСг . //■ $*/%Сг)]$Ы 2, d ° 4 d 2* d te .
Уравнение резной поверхности запишем в веде
X=[R*f*(dt)*d,tgd]cOSdt,
у=[R4*ld,,^ditgd]swdl. 2=-d, .
Рассматриваемую поверхность можно также представить как
поверхность, пологую относительно цилиндрической поверхности отсчета. При этом f (cL^d^) имеет вед
t ‘ d,tgd.+t'(cCt)
Запишем функцию f * (А А
где
a-const, dl=i(d.i+di).
- 103 -
Выражения для коэффициентов Лайв и главных кривизн рас сматриваемой резкой поверхности имеют вцц
а ( ч м т ) Ч т ^ /е,
*1-0, |
^ [ № f + m i M 2)4 w )w 4 id d \w \. |
|
Те же значения с учетом соотношений пологости можно запи |
||
сать как |
. |
, |
|
А?И, |
Ah( R+f ) , |
Ki=o. |
^ + ff+ 2 (d № t)4 R 4 № !flM 2)]lA>. |
||||||||||||||
|
Предположим, что |
на краю cL^-ckj оболочка жестко |
защемле |
||||||||||||
на. На оставшейся части 1*раницк заданы граничные условия, |
соот |
||||||||||||||
ветствующие |
свободному т аю . |
Расчеты проводили |
при таких значе |
||||||||||||
ниях |
параметров: о С у = с (/= 0 ; |
о(у - |
0,3048; o ( f |
= |
0 ,5 ; |
|
|
||||||||
Е = 1,97-10" ; р в |
7,94б*103; |
l/ * |
0 ,3 ; |
К '= 5 /6 ; |
|
G'= 0,76 -I0'f |
|||||||||
R = 0,6096; |
h/2~ 0,003048. |
|
|
|
tj}23t |
|
|
|
|||||||
|
Первые пять значений собственных частот |
, |
подучен |
||||||||||||
ных на разных |
сетках |
конечных элементов, |
приведены в |
табл. |
4 .8 . |
||||||||||
|
Значения |
(jjf2!Tf для |
оболочек, |
пологих относительно |
цилин |
||||||||||
дрической поверхности |
(f |
= 0, |
ck.s 0 ) |
отсчета, |
содетаат |
|
|||||||||
табл. |
4 .9 , |
4Л 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
4. 8 |
|||||
Сетка коневых элементов |
|
|
|
! |
[1 2 ] |
|
|
[ 4ТО] |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
.3x2 |
: |
|
3x3 |
: |
|
4x4 |
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
507,78 |
88,58 |
65,09 |
|
|
|
84,9 |
|
|
85,6 |
||||||
153,40 |
143,38 |
433,02 |
|
|
|
130,2 |
|
|
434,5 |
||||||
320,21 |
275,06 |
251,71 |
|
|
|
248,7 |
|
|
258,9 |
||||||
442,82 |
364,37 |
344,83 |
|
|
|
349,9 |
|
|
350,6 |
||||||
647,54 |
451,14 |
404,67 |
|
|
|
449,4 |
|
|
395,2 |
||||||
|
Из представленных результатов следуют выводы: |
значение О. |
при котором погрешность определения частот свободных колебании
не плезшает 5 %, должно быть не больше |
0 ,2 ; |
соответствующее |
||
значение d |
но должно превышать |
0,03: |
одновременное введение |
|
параметре |
ск , О. грпвопдт к более точному определению частот |
|||
пологой оболочки, чем члтюго в |
отщчльности |
/табл. 4.ТО/. |
- ТС4 -
d=oj7.. а = о
79.50 |
82,19 |
3,38 |
74,33 |
80,00 |
7,56 |
|||
135,26 |
140,59 |
3 |
94 |
127 |
21 |
138,45 |
8,оЗ |
|
231,37 |
285,58 |
1,49 |
265,40 |
274,49 |
3 |
42 |
||
386,05 |
397,98 |
3,09 |
369,93 |
396,18 |
7,09 |
|||
566Д 9 |
580,86 |
2,59 |
544,11 |
576,20 |
5,89 |
П р и |
м е ч |
а И и |
е: I - |
значения, |
полученные без учета |
||
пологости; |
2 - |
с |
учетом |
пологости; |
(j - |
относительные погрешнос |
|
ти определения |
частот с |
учетом |
соотношений пологости. |
4 .2 . Частоты и Формы свободных колебаний оболочечных конструкпий
Пример 4 .5 . Исследуем частоты и формы свободных колебаний составной оболочки специального назначения /рис.4 .3 /. Срединная поверхность ободочки формируется движением по направляющей
XaRcosdL2, y=U(1-e)sindL?.t 0^cL?<2x, R=const, e*const
Рис. 4 .3 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T « 0 ! b |
q t |
1.Ю |
|
й * 0 . |
<Z=JU?J |
* |
1 |
К^оГ |
а ~ Ш |
т |
< i - 0 . i t |
и=й.дз: |
|
|||
Ф |
т |
|
||||||||||
I |
: |
2 |
: (У * |
: |
1 |
2 |
:6 % |
I |
; |
2 |
: в * |
|
ХОв'б'' |
|
189,86 |
0.75 |
|
'235,^ |
245,14 |
6,2В |
142,60 |
|
150,52 |
5,40 |
|
301,36 |
|
313,59 |
*',05 |
|
367,85 |
469,09 |
24,5 |
262.01 |
|
290,И |
10,7 |
|
5*7,49 |
|
523,33 |
1.13 |
|
902,42 |
735,96 |
1,48 |
456,01 |
|
484.32 |
6,20 |
|
'72,33 |
|
702,42 |
2 60 |
|
1129,4 |
1-14,8 |
14,5 |
750,20 |
|
771.66 |
2,66 |
|
л19,уЗ |
|
960,77 |
4,46 |
|
1.72,6 |
1307,0 |
22,4 |
858,04 |
|
922,38 |
7,42 |
|
D |
p i i e i i i i i e : |
1 - значения, полученние бое |
у ч е т пологости; 2 - |
с учетом |
поло |
|
||||||
гости; |
О - |
отис^ителыше логреаности определения частот с учетом соотношений пологости. |
|
образующей, заданной уравнениями П~г( ^ , |
fa О, О^оС^О. |
|||||||||||||||
на участке |
А В ; |
q*S»(dA |
faSAdf), |
O ^d^ S0m J\C |
||||||||||||
/рис. 4 .3 /. |
2|десь |
Q * |
|
CDrSt, |
|
|
Sq , |
5^ |
-параметри |
|||||||
ческие |
сплайны/"3 9 .7 , |
|
аппроксимирующие участок |
кривой |
по |
|||||||||||
веданным координатам точек |
fa, |
fa |
• Сопряжение кривых в |
|||||||||||||
точке |
А |
|
характеризуется наличием облМ |
касательной. |
|
|||||||||||
|
Для ободочки |
/рис. |
4 .3 / |
исследовали аависжость круговых |
||||||||||||
частот и соответствующих им форы свободных колебания от пара |
||||||||||||||||
метра |
£ |
в |
/4 .3 / . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
При вычислениях |
рассматривали |
формы свободных колебаний, |
|||||||||||||
удовлетворяющие |
при difO и <эС2*7Г |
гдавньм условиям симметрии |
||||||||||||||
U^ajfzs 0 |
и антисимметрии |
|
|
|
|
|
В случае £-О , |
|||||||||
они охватывают все осесимметричные и неосесимметркчные форш" |
||||||||||||||||
свободных |
колебаний.. В табл. |
4. И |
приведены круговые частоты &L |
|||||||||||||
для |
разных значений € , соответствующие первш |
пяти тонам сво |
||||||||||||||
бодных колебаний. Как |
видим, |
при |
б • 0,1 |
низшая круговая часто |
||||||||||||
та |
U |
уменьшается на |
|
10 %, а |
при |
б - |
-0,3 увеличивается на |
|||||||||
3 %/10 сравнению |
со случаем |
6 •« О/. |
Т а б л и ц а |
4 . Н |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6* |
0,0 |
|
|
|
|
6- |
0,1 |
|
|
|
£*- * / |
|||
|
0,335026 |
|
|
|
0,298712 |
|
|
|
0,346382 |
|||||||
|
0,369236 |
|
|
|
0,321043 |
|
|
|
0,357804 |
|||||||
|
U,’ 65175? |
|
|
|
0,368963 |
|
|
|
0,414043 |
|||||||
|
|
|
|
О |
383732 |
|
|
|
0,619324 |
|||||||
|
0,913590 |
|
|
|
0,4246'. 3 |
|
|
|
0,933132 |
|||||||
|
Первые |
три формы колебаний, |
удовлетворяющие при с£2 в 0 |
|||||||||||||
к оСг яХ |
условиям симметрии, |
представлены на рис. 4 .4 . Сплошны |
||||||||||||||
ми линиями |
обозначены формы, |
соответствующие 6я0 , штриховы |
||||||||||||||
ми |
6 « |
0 ,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ • 0. |
|
|
Исследовали |
также осесимметричные формы едя случал |
||||||||||||||
На рис. |
4 .5 |
для |
первых |
трех осесимметричных колебаний изобра |
||||||||||||
жены фермы движения образующей срединной поверхности оболочки |
||||||||||||||||
/номера кривых соответствуют номерам частот/. |
|
|
||||||||||||||
|
Приведенные вине результаты подучены при еледущих зна |
|||||||||||||||
чениях |
параметров: fl » |
J ,8 ; Н* |
0 ,1 ; |
V - |
0 ,3 ; |
* |
Й * I ; |
|||||||||
Е - I ; р - |
I ; fa» 0; |
|
fa • О; |
fa |
- 0 ,2 ; |
fa |
- -© .Ш |
fa - 0 ,4 ; |
||||||||
fa |
■ |
-0ȣ |
• fa |
■ 0 ,6 ; |
fa » -0 ,3 ; |
fa |
- |
0 ,8 ; |
fa--4,3. |
Rio. 4 .5 .
Пример 4 .6 . Рассмотрим составную оболочечную конс1рукцию, моделирующую баллон электроннолучевого прибора /ЭЛЦ/.
Последуем свободные колебания конструкции кинеско па /си. параграф 3 .6 / при таких значениях параметров: ))- 0 ,2 2 ;
£ = 4 2 rSi-Ю ; f5000; к'*№; 1?'-0,Шк'. $<-0,01*: /?,0= 1,2и;
$20°0.95м;RMS0,05M;Н„=0,Шм;Ъ(?0,172н;%*0,1д95м;If=0,63:SZ=Q,00B5M;
L=Q,071\l толщины в обозначенных точках /см . рис. ЗЛВ/- faf
*0,00462м; hr0,004-25м; Л3=0,00488м; tl^O,005135м;
пб=о,оотм; h7щ оотн; кв=о,оотм; пд*о,ообШм; п1{г =0,0Сд47м;11,г0,00тм; h^O,003085м;0^0,003085м \ 0,003085и,
координаты |
точек, |
задающих образующую борта /в |
локальной систе |
ме координат Г[ . £ |
/ -(0,0); (0,003;0,031); (0,015;-о,050); |
||
координаты |
точек, |
задающих образующую конуса - |
{Q;0);(0,0Vf |
-0,045); [0,02243; -О,ОВ).
В табл. 4 .12 приведены значения первых двух частот свобод ных колебаний в зависимоста от количества конечных элементов.
Форш колебаний, |
соответствующие этан частотам, |
удовлетворяют |
в сечениях XOZ |
и IJOZ условиям симметрии. |
Как видим, удов |
летворительные частоты можно получить на сетке из 12 конечных элементов.
Т а б л и ц а 4.12
Количество Частота, элементов Гц
5.2512,54
3258*05
|
|
2233,01 |
|
(1 ,4 ,2 ) |
3085,58 |
|
|
(1 .4 ,4 ) |
2154,03 |
|
|
2845,51 |
|
||
, |
12 |
1549,94 |
|
(4 ,4 ,4 ) |
2810| 18 |
|
|
, , |
16 |
1507,27 |
|
(4 ,8 ,4 ) |
2582;И |
|
|
, |
20 |
1483,68 |
|
( 4 ,8 ,8 ) |
2293I21 |
|
|
, |
21 |
1467,45 |
|
(9 ,6 ,6 ) |
2625102 |
|
|
|
27 |
1435,38 |
|
(9 ,1 2 ,6 ) |
2377,02 |
|
|
|
П р и м е ч а н и е . |
|
|
8 первой колонке в скоб |
|
||
ках указано |
количество ко |
Рис.4 ,6 . |
|
нечных элементов на четвер |
|||
ти |
экрана, |
борта и конуса. |
|
Формы свободных колебаний в сечении оболочечной конструкции плоскостьюyOZ , соответствующие частотам, приведенным в табл.4 .1 2 , получены на сетке из 27 конечных элементов /рис.4 .6 / /1 - первая форма колебаний; 2 - вторая форма колебэниД/.
Пример А. 7 . Рассмотрим задачу определения частот и форм свободных колебаний составной об дочки, моделирующей цветоделительцую маску баллонов «ЭЛП с прямоугольной формой экрана.
Цветодалительная маска представляет собой оболочечную конструкц.^о, состоящую ив экрана п борта, срединные поверхности которых описывают те ха формулы, что и для баллона ЭЛП.
Расчет частот и форм свободных колебаний цветоделитель
ной маски проводили для следующих значений входных параметров:
V-0.3; £-г,5 Ю"; р-3700; к'=5/6; R'-O.mOZ; R<0-U.mi6n;
Ra-o,e/em8n; R30m,m>i; Ht=o,m*; B0’0,OQI»: В0щюви: i/-o,W: L=o,oa; Н-о,оооын.
Исследовали зависимость репения от количества конечных влечентов, а также от вида закрепления оболочечной конструтди по линии торцового евченкя борта. При расчетах рассматривали четверть цветоделительной маски. Значения первых трех частот U)/2f( свободных колебаний оболочки приведены в табл. 4 ..3 . Условия вакрепления цветоделительной маски по линии торцового сечения вначительно влияют на частоть свободных колебаний, осо бенно на первую. По сравнен» с варнирн1Ы опирением по линии торцового сечения, жесткое закрепление в трех веданных точках
повш ает первую частоту свободных колебаний на 20 |
жесткое |
|||||
вакрепленке по всему крж> - |
на 38 Ц. Расчеты значений резуль |
|||||
татов /табл. 4 .1 3 / |
осуществляли |
на сетке конечных вкементои, |
||||
состоящей ив девяти |
элементов на вкране и тести на борте. |
|||||
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
4*13 |
I |
|
: |
2 |
: |
3 |
|
703,70 |
537,54 |
010,91 |
|
|||
814,97 |
004,51 |
835,32 |
|
|||
839,43 |
839,57 |
852,46 |
|
|||
П р и м е ч а н и е : |
I |
- жесткое |
закрепление в |
трех точках; |
2 - варнирное опираняе по всей линии торца; 3 - жесткое защемле ние по всей линии торцового сечения борта.
Рассмотрим формы свободных колебаний /рис. 4 .7 /, соответст вуюпие nepBiai частотам для различных условий закрепления борта. Нумерах*г кривых отвечает номером колонок табл. 4.13.
Учитывая, что экран цветоделительной маски является обо лочкой малых кривизн, его можно моделировать прямоугольной поло гой сферической оболочкой. На краях оболочки заданы условия шар нирного 0'1ирания. Задача о свободных колебаниях такой оболочки