книги / Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями

й»* mloj“eosAt *и“'ляЛ* )cos6-игwsin6,,

и?*” -и}*Ып At * u^cosAg,

/г.46/

u“;-(u?'cos AK+uf>sinA^sind,,*urll(,cos Й„.

Гт’ - г/*'«вЛ*.♦ Гг1" sin Ак

вариационньм методе». Запишем эн ер г» «7

деформации,

возни­

кающую

з а счет реакции упругого контакта оболочек вдоль

края,

в виде

J -

UTW * г Л ^ в ; V ' Ч ' V ' * < V Я й/’-

- и

п и* тГи',г1+ в Р ж Я 'И Г г Р ^ г Л л г .

Sgs ~Tt

/2 .4 7 /

Выразим для каждой из сопрягаемых оболочек граничные лере-

>.1ещения и_углы поворота через их значения в

системе координат

Т, П f Ш* . Для первой оболочки /см. рис.

2 .3 / подучим'

шт= иЦ'.аад,-u%, sin 64,

и["~ tl'/jiSindf +и'%.ш64,

/2 .4 8 /

к»"-*?.

г/"-г»".

г Р - г Я -

Для второй

оболочки, учитывая соотношения /2 .4 7 /, находим

Шт=и(п’> cos6t -u™.sinSt .

и?=-afi'sinSt - и'4'.m

i l ,

пля/

„ ш- -и,!> v.m--- * д а

•

vт - -

^ да

^ 5

“ Г 9

# Г

¥t

*“

¥tR•

Подставляя

формулы /2 .4 0 /,

/2 .4 9 / в

контурные интегралы

Далее,

приравнивая вариацию

J

по граничнш перемеще­

ниям и углам поворотов

U n *,Um *tUtt

fa

к нулю, имеем

статические условия сопряжения податливых на сдвиг оболочек

T^'siaS^Ql^cosS, =~Т,'“sinds - Qf'cos6г ,

т.ю-Т/>

TtmcositrQU'sini,= -%mcosS. * Qt^sinSt,

/2 .5 0 /

ЛШ

u<2)

u(0 _ иЬ)

MiIf

" t

,

•

O A« U '

v mck« а

чглwantin' /ОRn#

пптмпг1Я1

запишем

Заметим, что

те же условия 7 2 .5 0 /

получим,

если

условия равенства ц д о

равнодействующих краевых усилил в

обо-

дочках в проекциях на оси

Т, И, Ш

и моментов относи-

тельно

осей

Т и

Ш .

2 .5 .

Постанову*

яж^уш динамики

ободочек

Если вн етяя

нагрузка меняется

во

времени

t ,

реакция

ободочки обусдовдена нахичием двух систем дополнительных сил.

Первую ив них составляют силы инерции,

которые пропорциональны

ускорению и

согласно принципу Дедам6ера могут

быть

заменены

статическими эквивалентами

h5

.

д‘ и,

.

д‘и.

.

e ‘w

h’

д %

-hpw

> - b p - f it '

-h p jtг -

где

р

- плотность материала

оболочки.

Вторая система сил обусловлена сопротивлением движению. Для

валентны оилш ~JL(uUfdt)t где Ji

- диагональная матрица

коэффициентов демпфирования.

«

У ш и вая вш есказанное, введем

вектор нагрузки р

pt(t)-hptdsut/dtг)-ji f(dujdt)

P=

РгШ-hp(d%ldt‘l-jiz(dutldt)

P„(t)~ Ьр1дгиг/сНг)-/1 ,(д ш /(Н )

i/m p (d2ytIdty - jit (dr,/dt)

/2 .5 1 /

LmtЩ-Ih’Wpfd'rJW) (drtmJ

Сравнения динамического равновесия оболочки с учетом вве­

денных обозначений запишем в вцде

CiBCU + P-O.

/2 .5 2 /

Дкя интегрирования уравнений движения /2 .5 7J, кроме стати­

ческих и геометрических граничных условий /2 .6 /,

необходимо за ­

давать

еще и начальные условия вица

0 )~U0 (dj, <Ж£),

№

UU<,Jt,t)jt^ U 0

/ 2-53/

Решение системы уравнений /2 .5 2 / с

краевши

/2 .6 / и началь­

ными /2 .5 3 /

.условиями определяет реакцио

оболочки на действие

летворять

условиям упругого

сопряжения /см.

параграф 2 .4 /.

Для решения задачи динамики оболочек методом конечных эле­

ментов сформулируем вариационную постановку задачи /2 .5 2 Л

/2 .6 /,

/2 .5 3 /.

д(Я)

tdLg),

Введем множество

вектор-функций

кото­

рые удовлетворяют однородны* геометрическим граничным условиям

/2 .5 / и являются интегрируемыми с квадратом

в области О

вместе

со

своими

первыми производными.

Умножим слева уравнедоя /2 .5 2 / и начальные условия /2 .5 3 /

на

произвольную функция V /о£у, dCz) €-D(Q), проинтегрируем

по

области

Я

и,

применив основное интегральное тождество

теории оболочек

типа Тимошенко /2 Л 4 /,

получим

_2 —

—

*

[

тш

+ J VTj2 j£ - d Q * j c

9)т60в Ш О -

/2 .5 4 /

О

-12Рг

М р

12

г

Обобщенна* ранением рассмотренной задачи называется / * 9 ,

59,

6ZJ векторийункция

U(dti,dLt , t) ,

которая

почти при

кодом t '£ JO, ГJ

принадлежит множеству

SCQ)

«

обла­

дает производными

дОШ, дгй /т удовлетворяет почта

всюду

ца

(0,Т)

соотношениям /2 .5 4 /* /2 ,5 5 / при

произвольных функциях

При такой вариационной постановке задачи

/2 .5 4 /, /2 .5 5 /

переменную

t

рассматривают как параметр.

Проанализируем ободочку,

свободную от действия

внешних

сил

P i f t f .

I я У,5 , на гра!шце которой заданы однородные

гранимые условия^

G S * 0 ,

di'cLgZfi,

/2 .5 6 /

Gi0 *Ot

cLi ,cLt ^ rt .

Отыщем ранение уравнений движения /2 .5 2 / в следующем виде:

U(dL„dt,t h № < '< * ') e iui.

57/

рде

( * * / ,

W

- круговая частота свободных колебаний.

Подставляя /2 .5 7 / в уравнения движения /2 .5 2 /

и граничные

условия /2 .5 ^ /,

получаем систему уравнешй

С^ВСУ+игтО я О,

o ^ f o ( £ € : Q

/2 .5 6 /

Представим область О

изменения

переменных

diit dig

в

виде объединения подобластей

^Qg

, являющихся четырех­

угольниками с

криволинейнши

границами,

Затем с помощью иэопара-

метрических преобразований С9, 38, 40,

63, 65,

9 1 J

перейдем

от переменных

d j, oig

к перемешан ku

* которых

конечные элементы - это квадраты ” f <

£ | ,

/

/рис.

3 .1 /.

(Ш1* Ы

Ь

т

Я - Ш . 7‘.

V «t“

Мж4,8;

„

я *Я в.

квадрата преобра­

С помощью соотношения /3 .1 /

внутренность

зуется во внутренность области О

. При этом

точки

пере­

ходят в

точки

Рт . Некоторые другие свойства иэопараметри-

ческих

преобразований описаны в монографиях С38, И З J,

Замет»!,

что в рамках рассматриваемой математической моде­

гих

порядков

/ ’ 91, И З 7 *

Условием невцроиденности изопараметркческого прообразова-

ння является

неравенство

detSe* o .

/3.2/

гды

/ е - матрица Якоби

г и

м , .

1

J

*

якобиан (£Q£JQ

J '

Учитывая / 3 .1 /,

цредставляем ■ виде

det3<>-

^

Зашшем

такжС формулы для вычисления производных при изо-

ния

■ в

'

" 0 ‘

л*

—У

ddLi

X

- Jfi

д

/ 3 .4 /

Ы г \

Ы г\

в

*

Ж

< *2 /

И

dtfi

i= r

И»

<?«, °С',‘

а ь

Искомый вектор U , входящий в /2 .1 5 /,

будем аппроксими­

ровать на преобразованном элементе

Q *

с помощью тех ко

1

/ 3 .0 /

1 J

Применим дальне известную

процедуру МКЭ Г 9,

1В, 44, 59,

82, 83 J ,

состоящую в представлении интегралов по области Q

в

веде сумм* по конечным элементам к

выполнения на каждом элемен­

те ивопардаетрического

преобразования / 3 . 1 / .

Заметим, что иэспараиетрические элементы для функционал»

/2 .2 5 / -

совместные, поскольку иэопараиетрические

кусочно-поли-

номиальные аппроксимации принадлежат классу

С °(Q ).

йассмЬтрш

квадратичную часть

функционала /2 .1 5 /

a(U, O h j - Ш O fEoM BAAdcbtH ,.

/зл/

Представим для удобства вычислений матрицу дифференциаль­

ных операторов

С как

С « Д В ,

/З Л О /

где А -

матрица, элементы йц

которой имеют вид

0 * * 0 .

Q>am-fc »

(113* 0 ,

й&тй4бш.°*

Ciir^Ki*

0-Н5ш0,

Qzi*

&2t~ о,

..ч О и *0 , 0

1 6 * ^ ’

OtТ~*г,

Q20*O,...f a 2 i5*O'

„

„

1

Аг . П

\

а» = Х

а * = о ,

а „

= - ^ .

a,i--j-'dfc).

Т ,д*Ш

'

OJJ

у

Qj8 ®'

a*7~~2Kit,

o3g=o,...,a1iS=o,

17’

а“ ‘ 'к<> a « = o <5=o,

аи~ка . aiS~0;..., a4T=o,

a<8 = 17’

ff*9=0,

a< « =*> fl«<y*o....,a*e =o, a„=*-e ,

0-}г=а*з~0, aSi=-кг, a3s=o.....aJe =0. а3-„= - f - •

° 5 / 0 “

0 *

«-»

aS i3 =1 t

&3H~ QgjS^O,

n

»♦ ••*

йыо^О,

*/

У

^ 6 / “

0-612=0, o61i ~-^-j^dj(AX

Обп=о615в0 , a 71 - o, ...,

QT9 S 0 *

o.T10- j ^ ‘ di lAt),

0-7n~Ot

(L7H =O,

Off^ *

» ^

/ * 2 ^ j |

0^{Af),

ttei’ O,

a„з-jfa'

______Hi dM .

0$Ь = 0 ,

у

( l $ a m CLgg~0,

d g j s ~ ~ ^ К ^ (К ^ + K2) ,

a8ti*°* a*i r

h a$1^

^ e<4 = ^ >

0м5~0;

d

0

в =

d

d

d=

а

± -

дл

Здесь

К* -

патрица жесткости элемента,

Р «

J (Ъ'ЙУЪ'Ъ'Май'СЦ^

, . ;

/3 .1 1 /

о *

0

' =

* >

*

•

;

*

Л

/зла-

о

г

О

' У

'

< г «

1

д

,

B '= A

r £0 fiAA,A2 .

' з л з /

п-1

Ж

Заметны,

О

Зе

n

Аг

что патриц/ В

можно записать в вцце суммы

в -

и

/

в

ь

/ 3 . I V

а о

с

О О О

где

S ,

О О О

8 , - 0 0 0 г 8 , = о Ъг о »

5 j *О О О

о о

о_

О 0

0 .

о о S j

В случае

трансЕерсаиьно-изотрогаых

оболочек имеем

0

"

-

x

- J L

Ъг~Ьк*(ж' У

0

У

0

,

Ь ~ 1

-Р

0

У

0

0

-

r

j

Eh*

1

1

О

1

1

О

1211-1*)

J)

О

Н _

Т а х т

образом,

матрицу

fl*» а» следовательноj и матрицу

жео т к о с »

мемэнта

К* » можно представить в

виде суммы

ке= 'Ь к {,

/3 ЛЬ/