книги / Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями
..pdfБолее наглядньы /рис. 1 .7 / является построение резной по верхности, осуществляемое движением образующей L1 вдоль плос кой направлявшей L%.
|
Рио* |
плоскости хоу парам е три ч ес :ог- |
Пусть кривая |
L * задана в |
|
ми уравнениями |
|
|
Х=х„Idi), |
У-Holdг), |
d°, « сАг ^ d \ . /1 .а / |
Пооюдьку для плоской |
кривой X =Q =0 , |
оси локальной |
|||
сиотемм координат £ , |
£ |
совпадают с векторами |
главной нор |
||
мали V |
и бинормали |
fi . |
|
|
|
Учитывал мфаяения для направлявших косинусов главной |
|||||
нормали |
V кривой / 1 |
.8 / |
|
|
|
?‘ {-у'о/(Хв'У'оУ. |
х'а1(~о*Цо)Ь\ |
Л . « / |
|||
и предполагая ваданшми |
параметрические уравнения образующей |
||||
|
|
|
|
d°f <cLf 4 d * , |
/ 1. 10/ |
записываем, исходя ив соотношения / 1. 2/ , параметрические урав нения ровной поверхности
■*»(«#)■? |
\..Л / 4W |
|
|
|
К М 'У о Ъ О Г |
|
|
у и М ч Ш |
XQ(df) |
Пли |
|
f t ifc b y iU i)]* ’ |
|||
|
|
Коеффмеденты 1аые резной поверхности / 1. И / определяем, используя формулы / 1-6/ при Хтв я0 %т .е .
Afm*rnftih * i‘ A p M [N M *i>M ], / М 2 /
кт'(ч',*<'У . Лрш(Хо*УаА
„У‘о*'о-Уо*'о
Для определения главных кривизн поверхности / I . И/ восполь зуемся СООТНОШЕНИЯМИ
-L* * \— №*х М_ |
й*У Ё *\ д*2(дх ду дх ду П |
± |
( fa U h ft* )_____ |
гж f)ft~ЯfaMp№г)]
Подставляя оцда значения производных из Д .И А подучаем
k - b f r h t r t - <'ч'Ж т.
|
|
л |
|
!Н,)*рЮ |
|
|
|
|
|
|
г*~ТЩ РЖ м Ш ' |
|
|
||||
Кия и в |
параграфе 1.1» на изменение переменных |
d t , dg |
||||||
здесь накладывается ограничение |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1~t(diЖр№г)*0 . |
|
|
Л Л 4 / |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.з. п&аувщамнч a w iw it крц?« рюч°»лвдзиир9Ч1 |
||||||||
Пусть направляющая резной поверхности - |
плоокая кривая Lg , |
|||||||
заданная параметрические уравнениями / 1. 8/ , |
в |
которых в ка |
||||||
честве |
параметра |
dig |
выбран угол меаду осью |
ОХ |
и нормалью |
|||
кривой |
Lg шее произвольной точке. Предположим, что и обра |
|||||||
зующая |
LJ |
параметризована углом между осью |
ОЖ /колДннеар- |
|||||
на оон |
%imfl |
/ к нормалью в ее |
п р и з вольной точке. Тогда |
|||||
главная |
нормаль |
нацравлянцей / 1. 6/ |
имеет координаты |
|
||||
f~C0Sdg, ~ Sin dg J |
и согласно /1 .9 / |
получаем |
|
|||||
C0Sdgm...Н а .. |
|
— * |
|
|
|
|||
|
|
ко*Уо) 1 |
Slndg |
|
|
Л Л 5 / |
||
|
|
|
ко +!/в‘ )1 |
|||||
|
|
|
|
|||||
Таины образом, уравнения резной поверхности можно запи сать как
x*x0(dt)-q(d,)mdi: y*yo(dtH(d,)si/idt ; Z-C/WJ.
При выбранной параметризации направляющие косинусы глав
ной нормали образующей / 1. 10/ резной поверхности имеют вод ISifldj, ~ COSdj J • Согласно / 1, 6/ получаем для них выра
жения
Л Л 6 /
Sind' ~ ~ V ^ ' |
cos<* * " ~ 7 7 ^ |
|
№ |
Учитывая /1 .1 6 /, по второй формуле Л . 13/ определяем
1
г , =
Kpfct)
l-iltdjKpId,) sind'- |
Л Л 7 / |
|
г IS -
Если |
r(c(hd(.i)=k / г г |
г)' то |
выражение /1 .1 7 / запи |
||
шем е |
виде |
|
|
|
|
|
/ |
sirich |
|
/1Л8/ |
|
|
r r w r f s ' |
||||
|
В силу теоремы Пенье / 7 1 , |
8 1 7 |
значение T(dLj%diz) |
||
является кривизной параллели. |
|
|
|||
|
Принимая во внимание |
/1 .1 5 / |
и /1 .1 6 /, после несложных вы |
||
числений получаем |
|
|
|
|
|
|
KpAps i, |
|
K)ifAaimi. |
/1 .1 9 / |
|
|
Отсюда по формулам /1 .1 2 /, |
/1 .1 3 / найдем |
|||
|
Лл=г(Ыц,с(я); |
|
/ 1. 20/ |
||
В обмен случае, когда задимцие кривые резной поверхности /образуемая и направляющая/ являются произвольные, не кмеющи-
ми аналитического ошеания, для их параметризации удобно прж е- |
|
нять сплайны. При этом исходя из того, |
что на результаты расче |
та оболочки существенно влияют значения |
кривизн поверхности, |
наиболее пригодны рациональные сплайны / 3 9 . 7 , непрерывные до |
|
вторых пройвводных в узлах сплайнирования и обеспечивающие сохр ан ете свойств выпуклости и вогнутости приближаемой кривой.
1 .4 . Поверхности, пологие относительно резных поверхностей отсчета
Каи было сказано в параграфах 1 .1 , 1. 2(резные поверхности образуют шроляй класс, который, однако, не охватывает всего разнообразия геометрических форм оболочек, применяемых в инже нерной практике.
Оуцеотвенно расширить возможности моделирования оболочек
сложной геометрии, оолранив при этом некоторые удобства |
пара |
||
метризации резных поверхностей, |
можно з а счет оболочек, |
пологих |
|
относительно резных поверхностей отсчета. |
|
|
|
Идея и метод параметризации поверхности, |
пологой относи |
||
тельно некоторой заданной поверхности отсчета, |
предложены в |
||
монографиях М.С.Корнишина, В.Н.Паймулина / 5 3 , |
7 8 7 » Эти идеи |
||
обобщают понятия поверхности, пологой относительно плоскости |
|||
/ 2 4 7 . |
|
|
|
Следуя отм еченны е работам, |
представим п о в е р х н о с т ь , |
пологую |
|
о тн о си те л ь н о р е зн о й повер!ХНости |
о т с ч е т а / 1 .2 / , |
в виде |
|
|
r V f . |
d z)af(dffc(g)*fl(ihcCe)n(di§d2), |
/!•&/ |
|||
где |
f(dt, сСг) - |
расстояние до пОдогой поверхности от |
точки ск1, |
|||
о £2 |
на резной |
поверхности |
) |
, измеренное |
||
вдоль ее норыали |
fl/bCf, сСг) |
|
|
|
||
|
Предположим, |
что между точками поверхности |
/1 .2 1 / и рез |
|||
ной поверхности отсчета существует взаимно однозначное соответст
вие. Очевидно, оно достигается |
тогда, |
когда нормаль П. |
к |
|||||
резной |
поверхности пересекает |
поверхность / 1. 21/ |
не бодее |
одно |
||||
го р аза. |
|
|
л |
|
|
|
|
|
Определим коэффициенты |
|
Qy |
первой квадратичной формы |
|||||
поверхности |
/ 1. 21/ по формуле |
йу-(Г*, ?!), |
I, j - 1,2, |
|
||||
где |
f / - |
(df yddt). |
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя выражение onpai* в формуле / 1. 21/ и учиты- |
||||||||
соотношения |
|
г- |
дп |
|
|
|
||
|
|
i4,2 |
|
t» |
/ 1. 22/ |
|||
|
|
f i r |
|
)» |
|
|
||
характерные для поверхности, |
отнесенной к линиям главных кри |
|||||||
визн, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
r,4*+fKiW t*/t*. i~ i2 |
(ti- щ ; ) - |
/ 1. 23/ |
||||||
Перемножая скалярно векторы /1 .2 3 /, определяем |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
/ 1. 24/ |
|
а« * / < • / » •
Всвязи с тем, что уравнения теории ободочек имеют бодее
простой вед в ортогональных координатах, установим условия, при которых координатные линии d^CORSt являются приближенно ортогонадьньми.
|
Испо,; |
зуя /1 .2 3 /, |
Л . 24/, |
находим угол |
X * мевду ксор- |
|||
дии&тнши векторами |
т / , |
J y |
г—г— -- ■■■> |
|||||
|
|
ш х / |
. |
0 |
£ |
; |
‘ |
“ |
|
. |
/— т-» |
|
М |
* |
|
|
|
где |
А*жуйи • |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим выражение |
|
|
|
|
|||
щ ]
которое можно переписать в виде
Ojt
|
|
IМ |
|
|
|
|
|
г |
/ I . 26/ |
где |
|
*i-h/[W*Utу. |
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
Предположим теперь, |
|
«то имеет место сильное неравенство |
||||||
|
|
€ * « 1 , |
|
|
S i f y , |
|
|
|
/1 .2 7 / |
|
Тогда, пренебрегая |
в ооотновении /1 .2 6 / мшим, по сравне- |
|||||||
нив |
с |
единицей, значением |
£ * |
, получаем |
f Е. |
||||
. |
Аналогично ив |
формуя /1 .2 5 / |
находим |
COSJCfatO; SIR Xf* i ; |
|||||
|
Таким образом, |
при выполнении условия /1 *2 7 / |
координатные |
||||||
линии |
d^CORSt |
на |
поверхности |
/ 1. 21/ |
можно |
считать прибли |
|||
женно ортогональными. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Дия коэф$иц|ентов Леме пологой |
поверхности |
/1 .2 1 /, |
||||||
учитывая соотношение /1 .27/, имеем приближенные формулы
/1.2й/
Определим коэффпренты второй квадратичной формы поверхнос ти, пологой относительно резной поверхности, по выражен»)
0 . у Н ^ л Д |
/1 .2 9 / |
где ^ |
f={df*lddi)%nf*(dnf/ddA, R* - |
нормаль |
к поверх |
||
ности |
/ 1. 21/ , т .е . |
|
|
|
|
|
n '-lrt’f/l/lr/. г / / . |
|
|
/1 .3 0 / |
|
Используя соотношения /1 .2 3 /, |
/1 .2 8 /, |
по |
формуле /1 .3 0 / не- |
||
ходим |
|
|
|
|
|
|
п / « п - 4, е , - ? е ё г> |
|
|
|
/1 .3 1 / |
глв |
e r W . m / d d J , |
i - 1,2. |
|
|
|
А1фферен1Д)руя /1 .3 1 / с учетом |
/1 .2 2 /, |
а |
такте |
зависимостей |
|
Od, |
Аг 0d t е‘ *<к<п• |
|
dder A< Bd, e‘ ' |
дёг |
de£ |
1 |
ВАг _ „ _ |
ddi |
Bd, |
Л, |
, |
согласно /1 .2 9 /, получаем
в * ' Л И к
^ - к ^ Щ М г П М М г ^ Н Л г к ^
- л н » « ) ( - ю ь д а * н . м л ) -
Опустив в предвдущих формулах последние слагаемые, которые согласно Л . 27/ являотся мальми величинами* получил прибли женные соотношения для определения коэффндеентов второй квадра тичной формы пологой поверхности / 1. 21/
4 * - -ФЫ-ШМ') .)•
По значениям коэффициентов второй квадратичной формы пологой поверхности / 1. 21/ определим ее |фивиэны с помощьв выражений
к!—фЛ, ‘; |
К^'ЬаИЛ%). |
Л .З З / |
|
Поскольку фртшря |
f(dtj,c(g) входит в соотношение для |
||
1фивиэн /1 .3 3 / вместе |
со |
своими вторши производиши, для ее |
|
аппроксимации можно воспользоваться сплайнами от двух перемен ных! алгоритм построения которых описан в монографии /"3 9 J .
Резные поверхности» являющиеся поверхностями охочета при построении пологих поверхностей / 1. 21/ , имеют в каждом меридиальном сечении одну к ту же кривую-образующую. Интересно отме
тить, |
что с помощью описанного подхода можно легко |
осуществить, |
||
в частности, |
пвр&метриэадею распространенных в инженерной прак |
|||
тике |
поверхностей с изменяющейся образующей и каркасных поверх |
|||
ностей /■ 61 J. |
|
|
||
|
Аналогично условию, применяемому в работе [ 'ZAJ к поверх |
|||
ностям, пологим относительно плоскостей, наряду с |
сильны* у с л о |
|||
вием |
/1 .2 7 /, |
требуем, |
чтобы гауссова кривизна пологой п оверх |
|
ности мало отличалась от гауссовой кривизны резной |
п о вер х |
|||
ности |
отсчета, т .е . |
jXfK ~K^Xg^t(fg j= 0(6g). |
|
|
|
|
|
- 17 - |
|
Последнее соотношение выполняется, если предположить, что
2
nUi-KfKt - 0(ег), |
к„ =0(с‘) . |
л . 3 4 / |
Таким образом, мера |
несопряженности |
координатных |
линий на срединной поверхности пологой ободочки является вели чиной порадка 0(Е*) .
Иа соотношений /1 .3 3 / |
следует известные ограничения на вто |
рые прокеводные функции f |
, если, поверхность отсчета является |
п т ЗКООТЫ), |
|
1 .5 . Геометрия тузр^лниящвихся поверхностей
Предположим, что срединные поверхности составных ободо чек - сто поверхности 0( , которые отнесены к ортогональны* координатам дСц , сС& и заданы параметрическими уравнениями
X |
^cLii)* y~Ui(c(.4i,clu)l Z^Zi(cCjitcC2i). /1 .3 5 / |
Уравнения линии пересечения поверхностей /1 .3 4 / является решениям! системы трех нелинейных, уравнений ‘
В общем случае затруднительно найти аналитическое решение системы уравнений /1 .3 5 /. Поэтому рассмотрим численный алго ритм построения линии пересечения срединных поверхностей. Пред положив, что задано значение одной из криволинейных координат
о(.у на поверхностях /1 .3 4 /, |
решим систему трех нелинейных |
уравнений /1 .3 5 / /относительно |
остальных трех Незафиксирован |
ных криволинейных координат/ одним из численных методов, напри |
|
мер, Ньютона. Обозначим искомые криволинейные координаты, отлич
ные от заданной (кц , |
через |
X#, Хе, Х3 . Систему трех урав |
|
нений /1 .3 6 / вившем в |
веде |
одного векторного |
уравнения |
9(х )-о , |
л-3?/ |
||
- д . x-=(x,,Zt.Xif: Ц‘ (Ш.1Ь)Т:Vrxrxt; Цг*у,-уг1
Ifi-ZrZt.
Предположим, что в некоторой области, содержащей решение уравнения /1 .3 7 /, матрида
Tot^a для определения решения уравнений /1 .3 7 / запи
шем итерационную формулу XlK* ,=X Ki~lfx (XfK}Jlf(XtK>) .
Выбор начального приближения в "случае резных поверхностей несложно осуществить, исходя из значений параметра сИц , а также размеров и характеристик взаимного расположения сопрягае
мых частей поверхностей. |
|
Решения системы уравнений /1 .3 5 / |
совместно со значениями |
выбранного дораметра сСц являются |
криволинейная* координата |
ми точки, лежащей на линии пересечения |
поверхностей /1 .3 4 /. По |
ним построим сплайн-аппроксимацию линии пересечения поверх |
|
ностей Г 39 ] |
|
d ^ d ifd ); d tlad e2i (d). |
Д .3 8 / |
Выбор постоянного значения параметра dy |
удобно связать |
с построением расчетных, сеток на срединных поверхностях сопря
гаемых |
оболочек. |
|
__ _ |
_ |
|
|
Рассмотрим на лишм /1 .3 6 / тройку ортов |
Г , |
0[ , |
|
|||
/ Г |
- касательная; Hi - нормаль |
к поверхности |
обра |
|||
зующая, |
вместе с единичными векторами |
касательных' к |
||||
координатным линиям на поверхности, |
правую тройку |
6# » |
\ |
|||
Hi , fflL - |
тангенциальная нормаль |
к кривой /1 .3 7 / /рис. |
1 .8 / . |
|||
Очевидно, что |
векторное уравнение кривой пересечения срединных |
|||||
поверхностей оболочек можно получить из векторного уравнения
поверхности |
Г* ft (dii, o C *J |
, |
в |
котором параметры |
dj't |
||||
dgi |
выражены через |
параметр |
d |
с |
помощью соотношений |
||||
/1 .3 7 / . Учитывая ото т факт, для |
вектора касательной запишем |
||||||||
равенство |
, |
, _ i |
r fn |
_ |
|
|
|
|
|
|
_ |
d r- |
|
|
|
|
|||
|
■ |
|
в |
|
|
|
/ « |
л |
-39/ |
;'лс |
51=Аа(йиУйЖ),С1‘ Аи(йЛя/йЖ), еу=-^д£г-’ |
Ajr |
|||||||
коэффициенты Ламе поверхности |
0^ |
|
J* |
• |
|
||||
№ • 1 .8 .
|
|
Рнс, 1 .9 . |
|
|
Следов! м ль но» |
имеем /риа. |
1 *9 / |
|
|
шА^ |
Ct |
t\ift |
Stub |
Si |
|
( s W |
|||
|
|
|
|
|