книги / Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями
..pdfРис. 3.8.
|
Пример такого представления матрицы показан на рис. 3 .8 . |
||||
Элементы матриц |
Kj и |
Ag заштрихованы под раэншн углами. |
|||
|
Аналогично, |
пусть |
столбцы г* и |
такие, |
что для элемен |
тов |
столбца F |
имеет место соотноаэние |
|
|
|
|
i r . |
если |
J*lr * |
|
/ 3.31t |
i r- |
1 i ‘ . |
«от |
/е J„, j- i*; |
|
|
|
г, |
“ » |
i ^ o , h .ir^ r,- |
|
|
_ |
Рассмотрим |
теперь |
процеоо исключения Гаусса дня матрицы |
||
К . В обычном |
процессе при прямом ходе исключаются все элемен |
||
ты, находящиеся |
под диагональю* В результате |
из последнего урав |
|
нения находят |
фд . |
L е 3 |
|
Зафиксируем теперь какое-то уравнение |
и пропус |
||
тим его при исключении / т . е , элементы соответствующего |
столбца |
||
не будем преобразовывать в ноль/. На следующих лагах кроме тра~ днодонных нулей под' диагональю обратим в ноль и соответствую щий элемент фиксированной строчки.
Этот прием равносильный условному перемещению фиксирован ной строчки на последаее место, В результате из реального послед
него уравнения (}п |
не |
вычисляете'’ , |
поскольку в |
строчке два |
||
элемента ненулевых в |
столбцах |
t * |
и Я |
. Зато |
из фиксирован |
|
ного уравнения находим |
, |
после чего |
можно осуществлять обрат |
|||
ныЯ ход Гаусса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис, 3 .9 . |
|
|
Зафиксируем теперь |
все строчки, номера, которых принадле |
|
» $ |
жа . В результате |
описанного исключения придем к матрице |
|
К |
/ри с. |
3 .9 /. Если |
теперь выпишем отдельно все фиксирован |
ные строчки, |
то подучж |
полною систему линейных уравнений на |
|
неиавестные |
с индексами из |
||
|
|
|
Цо** Fo • |
Рапив &ту систему и |
перенеся вклады с такими неизвестными |
||
в правую пясть |
оатаьзяхея^гравнвиий, можно провести обратный |
||
ход Гаусса для |
м атри ц |
К |
Ирин»; этот предосе ухо распадается |
на два: |
один для матрицы __ Kj |
и столбца F| , другой - для |
||
матрицы |
Kg и |
столбца F% . |
||
__ |
Обратим теперь ^внимание на формулы преобразования матрицы |
|||
К |
к матрице |
К . Не вдаваясь в подробности метода Гаусса, в |
||
общем |
веде их можно записать |
следующим образом: |
||
всли
Kmj*lfs[Ktl _ «< *»
Kmj=K{t., m=Li%j- if i |
|
Kmj'Klr. H-i‘ , j - i ’ ; |
/З .З У |
|
|
|
|
|
»f |
♦ p |
* |
94 |
• p |
|
|
|
Ifp(nq) |
|
|
|
|
Z - ‘ r , * 4 . |
|
|
|||
где под |
подразумевается выражение, которое зависит |
||||||||||
от элементов матрицы |
Кц . |
|
|
|
|
при М£ Зо |
|||||
. Так |
как |
последняя |
строчка |
/3 .3 2 / |
имеет место |
||||||
и |
, |
то в |
этом |
случае выражение для |
|
|
представим ра |
||||
венством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* я / |
Ч<}1г,*Ъ Ш *киъ*К(Ъ)- |
|
|
|
|
|||||
Из приведенного |
соотношения видно, что вместо ошсанного |
||||||||||
исключения для матрицы |
К |
можно было провести аналогичные |
|||||||||
/в смысле фиксирования строчек |
с номерами из |
30 / преобраао- |
|||||||||
вания для^атриц |
Kf |
и |
Кг в отдельности, а |
летом составить |
|||||||
матрицу |
К . Ясно, что |
при таком алгоритме матрицу И |
состав |
||||||||
лять не нужно. Формируется только матрица |
KQ |
и столбец |
F0 |
||||||||
для определения значений неизвестных с номерами иа |
JQ • |
В ре |
|||||||||
зультате |
процесс решения большей системы линейных уравнений |
||||||||||
заменен решением |
трех меньших систем, |
матрицы которых полностью |
|||||||||
вмещаются в оперативную память ЭВМ. В этом состоит содержание суперэлементного решения системы линейных алгебраических урав нений для составной конструкции.
Исследуем составную конструкций, изображенную в веде дерева, элементами которого являются подконструкции /рис. 3 .10/. Предположим, что разбиение многоуровневое. При этой на каждом уровне конструкция представлена в виде объединения определенных частей. На более низком уровне составные элементы разбиваются на более мелкие. Элементом самого высокого уровня является вся конструкция. Для примера рассмотрим возможные представления бал лона кинескопа /рис. ЗЛО/ и трубчатой оболочечной конструкции /рис. З .И / в виде деревьев, изображенных на рис. ЗЛ 2, 3.13.
ftic- З Л 1 .
У
P
0
в
в
и
ь
у
р
1
е
н
4
Уровень 2 [Баллон |
[аорт :
Гконге I
Щ] Ж )
тШ
Ш 1 03) 3 3 ЧЕ1ЧШ 453
й ю . 3 .1 2 .
|
Уровень 2 |
Трубчатая |
||
|
конструкция |
|||
У |
|
Г |
|
|
ШШЛ |
|
|||
р |
|
|||
о |
|
\патрубок \ |
||
В |
|
|||
е |
|
\Латрубок] |
||
н |
т |
|||
ь |
|
|
||
р |
ш |
|
|
|
У |
|
|
|
|
о |
{Ш ш |
• ш а |
||
В |
||||
е |
■ Ш З 'ё г ] |
1 щ ] |
||
н |
||||
|
|
|
||
ьч ш
Рис. 3 .{3 .
Откатим, что идею представления конструкции в ввде подструктур
при их расчете испсяъговми авторы многих работ / '8 3 , 96, И 6 J n
Предположим, что интересующие нос параметры X конструк ции сообщают экстремальное значение некоторому энакоопродеденно
му функционалу |
$ |
|
|
|
|
||
|
S |
л м |
= 1 1 п |
5м , |
|
|
|
где |
- количество составных элементов самого низкого /нуле |
||||||
вого/ уровня. |
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим теперь отдельный составной элемент, |
который в |
|||||
дальнейшем будем называть суперэлементом. Допустим, что толщи |
|||||||
на оболочки на суперэлементе нулевого уровня^ постоянна и равна |
|||||||
tig |
. |
Произведем дискретизацию области |
Q |
и<, которая |
|||
является |
прообразом этого |
суперэлемента |
QS- UQ | |
. Аппрок |
|||
симируя |
поле искомой функции X |
владениями вида / 3 .6 / , «гри |
|||||
дем к квадратичной форме |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
п'° £ |
_ |
{ ^ |
р |
гег * - Г тП - |
|
|||
При этом матрицы |
j(^s и f** |
|
можно вычислить по формулам |
||||||||
/3 .1 5 /, |
/3 .1 7 / в зависимости |
от деда функционала |
П/х) . |
|
|||||||
|
Назовем сулеруэлэми узлы, |
лежащие на линии пересечения |
су тр - |
||||||||
элементов. Предположим, что неизвестными узловыми значениям |
|
||||||||||
в суперуэлах являются значения искомой функции |
X |
в общей |
|
||||||||
для обоих суперэлементов криволинейной системе координат |
f * |
||||||||||
П* |
, |
связанной с |
линией их пересечения. Тогда придем х дис |
||||||||
кретизации |
полного функционала |
|
|
|
|
|
|||||
|
л« i m - ¥ r - £ i k ’i r - r n |
|
|
|
|||||||
где |
О - вектор неизвестных |
узловых значений искомой функции |
|||||||||
X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Записывая необходимые условия минимума квадратичной формы |
||||||||||
/3 .3 3 / относительно |
вектора |
^ |
, |
приходим к разрешающей систе |
|||||||
ме линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей |
|
||||||||||
|
|
|
|
H ^F . |
|
|
|
/3 .3 4 / |
|
||
|
Решением этой системы являются неизвестные узловые значе |
||||||||||
ния искомой |
функции |
X |
в узлах сетки. Нахождение решений сис |
||||||||
темы /3 .3 4 / |
на ЭВМ представляет определенные трудности, связан |
||||||||||
ные с большой размерностью матрицы |
К• Предложенный алгоритм |
|
|||||||||
суперэлементного решения снеталы алгебраических |
уравнений, |
|
|||||||||
блок-схема которого изображена на рис. 3.14, позволяет их обойти.
Ряс, З Л 4 .
- 76 -
Рассмотрим схему более детально. Предположим, что вся сво бодная от программ и информационных массивов память ЭВМ разбита
на две лоховины. Назовем их условно |
5 / и Вг . Пусть матрицы |
|
К и F |
для суперэлементов нулевого уровня уже сформированы, |
|
причем размерности их таковы, сто они вмещаются в раздел памя |
||
ти Bt . |
|
|
Если |
бы конструкция расчленялась |
на отдельные куски, тождест |
венные суперэлементом, и эти куски не пересекались, то тогда |
||
решение полной системы уравнений сводилось бы к решение систем уравнений на каждом суперэлементе. Но в большинстве случаев пересечение суперэлементов не пусто. Туда входят суперуэлы, ле жащие на общей границе суперэлементов. Таким образом, в матрицах суперэлемента уравнения на эти суперуэлы - недоформи-
рованы. |
В них не учтены аце вклады .других суперэладентов. Поэто |
|||
му прямой ход Гаусса в обычном его варианте |
невозможен. Необ |
|||
ходимо |
так его модифицировать, чтобы не производить перерасчеты |
|||
с использованием строк матрицы, которые не является полностью |
||||
сформированными. Предложенный алгоритм метода суперэлементов |
||||
хорошо подходит для этого случая. |
|
|||
|
Рассмотрим конструкцию, _состоящую из двух суперэлементов. |
|||
Пусть |
в роли матриц Ду и |
Kg _выступают матрицы суперздеиек- |
||
тов. |
Тогда система уравнений |
К0 fyo- F0 |
является систе |
|
мой алгебраических уравнений для определения неизвестных значе ний искомой функции в суперуздах. Рассмотренный пример демон стрирует работу алгоритма при одноуровневом суперэлементом исклю чении. Многоуровневое исключение -_зто повторение данной схемы
несколько р аз. При этом матрицы |
KQ и FQ содержат нздоформи- |
ро ванные элем ен т. Они совместно |
с матрицами Ко и F0 анало |
гичной структуры, сформированыиди на базе других суперэлшентов нулевого уровня, являются исходни! материалом для построе ния матриц высшего уровня и т .д . Такой процесс завераается построением матриц самого высокого уровня, которые представ ляет полную сиотеыу алгебраических уравнений на неизвестные значения искомой фунмдии в определенных суперузлах. Двигаясь теперь с обратном направлении и осуществляя обратный ход Гаусса, получаем неизвестные узловые значения для всей конструкции.
3*6. Анализ напряженно-дейюрмируемого состояния оболочечных конструкций
Списанная в настоящей главе схема МНЭ решения задач стати ки оболочек реализована в виде комплекса программ на Фортране, с помощью которого выполнены исследования напряженно-деформи рованного состояния оболочек.
Пример 3 .6 . Определим напряженно-деформированное состояние оболочлл-перекрытая с резной срединной поверхностью /ри с. 3 Л5 /, полученной в результате движения образующей
fl90.j^~ch Зд jQ^j | * |
Z5 |
no направляющей |
|
X=dLt , t j= 6 m ^ + 2 0 , |
-50*dLt *50. |
FMC. 3 .iS .
Оболочка нагружена собственным лесом
А —
т,*т2*0\
V / V f ill>y,Z
a 2 - t t r * jr 2 ® 0 при dLi=const;
|
И^ИГ-у^О |
при |
|
|
d 2aC0tlSt, |
|
|
|
|||||||
|
Для значений |
|
p H , |
£ « / , |
к '= ^ » |
|
[/=0,3,1dh/6=2, j |
=3,2793 |
|||||||
произведен расчет четверто |
оболочки, |
|
обозначенной на рис. ЗЛ 5 |
||||||||||||
буквами |
А , О ,С |
. На краях |
А2) и CD |
задавались |
главные |
||||||||||
условия |
симметрии |
Иг=Уг~^ |
и lLi-)()=0 соответственно. На |
||||||||||||
рассмотренной часто оболочки выбирались сетки Зхб и 6x15 эле |
|||||||||||||||
ментов. Относительная разность |
расчетных напряжений, |
подучен |
|||||||||||||
ных на указанных сетках, |
не превшала 10 %» |
|
|
|
|||||||||||
|
На рис. |
3 .16, |
|
3 .17 |
представлены графики расчетного напря |
||||||||||
жения на |
внешней |
б2/р |
|
и внутренней |
б21Р |
поверхностях |
|||||||||
оболочек |
соответственно. |
Нривые, обозначенные номерами |
К |
||||||||||||
/К |
» |
I , |
2, 3, |
V , |
иллюотрирупт изменение |
(5е |
в |
сече |
|||||||
ниях |
c ( f = |
d iK |
!d 1 |
м |
25; |
|
dL12 |
= |
15,87; |
7,32; |
d ^ 0 /, |
||||
|
Пример 3 .7 . Рассмотрим составную |
оболочечную конструкцию, |
|||||||||||||
моделирующую экранный узел |
баллона кинесхола /рис. З Л 8 /. |
||||||||||||||
|
Экран баллона зададим как резную поверхность, образующуюся |
||||||||||||||
движением окружности радиуса |
|
/?у -7? +Sj2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
tl-Rf(i-COSd{,), |
t=-R"$indH, |
|
|
|||||||||
вдоль |
окружности радиуса |
|
R° |
d i - d l |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
X*R?Sind20 |
y = 0, 2=R°(C0$d2r1)> |
|
|
||||||||||
|
|
d.94 ^ d.94 ^ d> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
качения параметров |
d ц, dgi |
определяют из условия пере- |
||||||||||||
сечения срединной поверхности экрана и срединной поверхности |
|||||||||||||||
борта. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Борт баллона представим также в веде резной поверхности. |
||||||||||||||
Ее направляющая составлена из |
|
гладко сопряжгннкх дут |
окружностей. |
||||||||||||
Уравнение направляющей можно записать в веде |
|
|
|
||||||||||||
X -RIQCOSdg2 +Cj\ |
y^RftSiti(£21 *с2 |
|
|
|
|||||||||||
z*-L+SfIZt
«>
где
ы . 2 . 3 , < * ? " < d ft < < С ' .
Яго*Rto~$г/21 R s |
o |
" , c'f-O, 0^!-HQ~Rwf |
t?-Ba-R„, c f - O , |
с^‘-х „=(B0-R30)cosip, |
|
- |
У0 |
- |