Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

9.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

где

K£e = J {rWBIFJldetJedbdb,

О *

E*-A4oB№lAt:

Интегрирование в формуле /3 .1 5 / выполним по квадратурна! формулам Гаусса. При атом для сокращения времени счета опреде

лим значения базисных функций и производных от них один раз в
квадратурных узлах на квадрате	V . Определение

матрицы местности элементов сводится к суммированию указанных значений с множителями, соответствующими координатам узлов эле ментов.

Рассмотрим линейную часть функционала /2 .1 5 /

i(uj=\ (Грлл с«,<*с(г+ J (ёгд)тб°аг.

а	ч -
Продетовин вектор нагрузки	Р интерполяционно* полино
мом, т .е .
	/зле/
Здесь матрица	задана соотношением /3 .7 / и
п еТ^ / п е т п € т
р вт= (Р Г ,Р Г ....).

FteT4 Pi. Рг.Рп, m<, от,

Представляя интеграл по области О			в линейной части функ
ционала Лагранжа в виде суши по элементам,				втелнял кэопараме-
трическое	преобразование / 3 , 1/ и подставляя вьражоние для пере
мещений /3 .6 /,		получаем
		е		/Э Л 7 /
		е
где	/>М {Й)г
	/>М {Й)г
		Q*
Контурный интеграл в результате одномерного преобразования,
полученного из		формулы /3 .1 / при ^ nCQHSt,		преобразуем в
интеграл	вида	^

qeT\[&fi)4\dr5Z--qeTF~‘

Здесь подынтегральное выражение определено на части						границы Г) .
£» зависимо ста		от топология конечно-элементного разбиения она
может быть одной или несколькими сторонами элемента,						составляющи
ми	= - i	. Приращение йГ н&ходиы по формулам
	dr~[A<doCiCosX *A pd, sin l}tl.n ,
		ddi^Hdcii/d^d^		m	t z~ ± 1.
	d JH d d t/d iJd S t			"P"	* , = ± f .
	Вектором	/■ 0	обозначены узловые значения краевых усилий-
		U g
			5 ? - ( 5 * 6 ? . . . . ) ,
		5 f - (Т?,Т°. Q ° , Я М			Ы * * * •
	Заметим,	что	=0, если	Q e U Cf~ Ф -
	Таким образом,		функционал /2 .1 5 / преобразуем в			квадратич
ную форму

^{ { Г ТК Т - Г % е- Г % в}. /3 .1 8 /

	Записывал условия ^ 6				минтума, т .е . приравнивая к нулю пер
вые производные по			Q ,		получаем разрешающую систему линейных
алгебраических уравнений						_
								/3 ,1 9 /
	3 .2 . Численная реализация схемы МО радения зад ач
		статаки теории оболочек типа Тимошенко
	При решении задач			статика оболочек, описываемых сдвиговыми
моделями Тимошенко,			Рейсснера и др. для малых значений толщины
tl	оболочки /имеется в виду относительное значение толщины/
h	0,025, наблюдается явление потери точности получаемых резуль
татов / 4 ,		13, 14,	27,	28 ,	33,	34, 54, 65,	91, 109-113. И 8 - 1 2 0 Л
	На тестовом примере /см .					параграф 2 .2 /	задачи	изгиба пласти-
ны,	баокспашой в направлении					6 ^ -линии, исследуем		явление поте
ри	точн ое»	применительно			к схеме ИНЭ, построенной здесь на осно
ве	бихвадратачных аппроксимаций.
	L/.линдрмчвский изгиб пластины тага Ъшравнко описывается
уравнениями

„(d b	d V	\
f e	+ - щ	г Р ’

Hzv

J	/3 ,2 0 /

где G^K'G'h, D=Eh5/f2 (1-)}*),

p•const - интенсивность

внешней нагрузки. Положительные направления

/ у ,

#Л

и р

соответствуют принятым в теории оболочек

типа Тимошенко.

Предположим,

что на краях

ot у 3 0 ,* /

пластина жестко

за

тм лен а, у .е .

Wm¥i*0>

<А<=0;1,

/ з .н /

Решение системы уравнений /3 .2 0 /

при краевых условиях

/3 .2 1 /

имеет вод

„, =

р____р ь *.

, , „

,♦

2 С Л ' |Я 2 Г

26 Г*-* 12V

2 5 3 T ° ^ >

у> - __P_J

__Р_

/э.гг/

*♦

m At t o * 4 б д * 4'

Допустим, что для приближенного определения обобщенного ре

шения

U применяется метод

конечных элементов. Подпространст

во

£>,

конечно-элементных аппроксимаций строится как

подпрост

ранство, натянуто е н а кусочно-полин^иальный базис порядка

Предполагая при этом,

что

U £

для оценки точности

/"9 6 .7

приближенного решения

£/Л

согласно результатом,

поду-

ченнга

в параграфе

2 .2 ,

находим

Ifl'-ovf £ tin * .

/3 .2 3 /

Заметим,

что.согласно

формуле /2 .2 9 /,

множитель №

для

малых значений

пропорционален

ft”

. Следовательно,

при

одинаковом для

всех

порядке сходимости

О(ft у }

, чем меш

ав

, тем меньший шаг

/2у

конечно-элементной сетки необхо

димо выбирать для достижения определенной точности приближенно

го

решения.

Иреположим,

что

задача /3 .2 0 /,

/3 .2 1 /

решается

ККЭ

с я слои,-

а овашем квадратичных аппроксимаций.

?4атриуа жесткости элемента состоит из двух матрсщ-скагае-

мых

~Kf +

/а-сдвиговая,

б -

изгибнал час да/,

щ>достав

ленных на рис.

3 .2 .

Б»дно,

что коэффициенты едвигсвой часта

имеют порядок

у)

соответствующие им коэффициенты

нагибной части

порядок

0 ( A * ‘f t / J .

При малых значениях

тол-

13 h-i т л*

K * - D

З * 1'	1	h~f	“	1
З * 1'	T	h t	“	2
16 ь-1	- £ * - t			2
Т *<	з п *			J
	и	ч		1
	Т * 1			6
			г	ь
			15 **1

Симметрично

		а
0	0	0
0	0	О
	0	0

Симметрично а Т ’

Рис. 3 .£ .

1 ь

15 П1

8 . Ж *

■<?М*>|« I-

1 6 .-,

1 1

'J O * '

Ж» '

ж" >

1 h-1

T h <

S h-1

■~Th1

f j . - i

6 /f1

шины коэффициента иэгибиой части /учитывая, конечность разрядов е представлении чисел на P lW становятся пренебрежимо малыми в сравнении с коэффициентами сдвиговой части. Сяедозательно, в

предатсх воэнсчсностой представления чисел в 52й*, получаемая рае-г

- 3-1 -

решающая система уравнений соответствует вариационной задаче минимума функционала /2 .3 2 /, в котором не содержится второе сла гаемое. Эта задача является вырожденной в том смысле, что она не обладает единственные ранением, В матрице системы линейных алгебраических уравнений ШЭ в этом случае имеется определи тель, близкий к нули. Происходит вырождение схемы МКЭ.

Таким образом, отмеченное явление потери точности результа тов для малых значений толщины имеет место к для схемы ШЭ, по строенной в данной главе с использованием биквадратичных аппрок симаций на элементах. Оно обусловлено, во-перват, увели чешем множителя в априорной оценке /3 .2 3 /* во-вторых, вырождением разрешающей системы линейных алгебраических уравнений МКЭ.


	Как следует из приведенного соотношения /3 .2 3 / и веда матриц-
слагаемых		конечных элементов /рис. 3 .2 /, важное средство устра
нения указанных явлений - уменьшение шага			сетки конечных
элементов. Однако, учитывая ограниченные возможности 8Ш ,				оно
не всегда применило.
	Для устранения явления потерй точности		в /*1 3 , <110,	-Ш ,
112,	120 ]	использовали прием сокращенного интегрирования, а в
С27,	109,	1И J - метод штрафа. С этой же целью применяли двой

ную аппроксимацию углов поворота С£4 3 » Исследуем возможности первых дцух способов для построен

ной схемы. Заметим, что в данном случае сокращенное интегриро вание состоит в использовании при вычислении интегралов в сдви говой части функционала энергии двухточечной по каждой перемен ной формулы Гаусса. При вычислении иагабиой части применяют

трехточечную до каждой переменной формулу Гаусса*					В методе штра
фа сдвиговая часть умножается на		Z. Пусть		при	Л = Нс	инеко
тором выбранном значении шага сетки			получены достаточно
точные результаты решения задачи ЬШЭ, а			при	Л	происходит
вырождение. Выберем	Е из условия,		что	при	Л <HQимеет
место соотношение	„ .	_ . п
	EGhi	Goti

л/п''Д А Т 'п	при h~h0 .
где Go* QQ - значения коэффициентов 17 и	при h~h0 .
Отсюда наедем

	flty :	I		3	4	о	б
0,0		1250,0	505,32	1170,75	1147,95	1220,82	1326,44
0,03125		1022,95			1043,34	1933,84	1092,58
0.CS25		810,55			828,82	814,87	628,81
0,09375		612,79	466,75	469,01	627,53	620,89	656,04
0,125		429,69	466,75	469,01	441,60	431,27	438,30
0,15625		216,23			270,10	266,50	273,16
U, 1375		107,42			113,75	106,34	107,14
0,21875		-31 .74	-1 2 ,1 9	-234,29	-28,24	-29,08	-28,18
w,25		-156,25	-1 2 ,1 9	-234,29	-15&.33	-159,82	-164,53
I	,28125'	-226,11			-268,16	-265,80	-257,02
CC	,312b	-361,33			-365,15	-361,01	-376,62
C C	,24375	-441,39	-466,61	-459,83	-448,30	-443,53	-431,76
C C	375	-507,81	-466,61	-459,83	-1525,67	-515,11	-528,34
c C	140625	-559,08			-528,14	-562.05	—5'/4 1Do
c C	.4376	-595.70			-604,65	-604,06	-619,31
c ro	,46875	-617,68	-480,94	-709,10	-626,38	-620,X	-635,42
c ro		-625,0	-480,94	-709,10	-634,16	-633,71	-648.83

П р и м е ч а н и е :	1 -		аналитическое решение /3 .2 2 /;					2	- МНЗ при	;
	3	-	1йКЭ	при	Н ^ Щ	/сокращенное интегрирование/;
	4	-	ЖЕ	при	-1/8	;	5 - ЖЕ при		h1-lji6 /штрафование/;
	6	-	ЖЕ	Г:ри	/I, = 1/16		/сокращенное		интегрирование/.

Заметим,		что введение множителя	в	сдвигоьую хшсть
одновременно уменьшает множитель при			flj	в оценке /3 .2 3 /,
поскольку в функционале /2 .3 2 / в этой			случае вместо		6 необ
ходимо	взять	£ G .
В	табл.	3.1 приведены значения напряжения < з,/р			Видно,

что применение сокращенного интегрирования позволяет существен но улучшить численные результаты при негустой сетке конечных элементов. В случае более густой сетки результаты удушаются как с помощью способа штрафования, так и вследствие применения сокращенного интегрирования. Причем первый способ дает воз можность получить более точные р езу л ьтат.

3 .3 . Упругое равновесие составных оболочек

При решении задачи статики составных оболочек необходимо удовлетворять на линии сопряжения оболочек граничит условиям

/2 .4 4 /,	/2 .4 5 /,	/2 .5 0 /.	Среди них, как было показано в парагра
фе 2 .4 ,	условия	/2 .5 0 /	являются естественными. Следовательно,

при решении задачи МК& в вариационной постановке путем минти-

эацик функционала Лагранжа достаточно удовлетворять

только

глав

ны* условиям /2 .4 4 /,

/2 .4 5 /.

Выполнение равенств

в условиях /2 .4 4 /,

/2 .4 5 / достигается

цутем приведения значений узловых переменных для уддоа,

лежа

щих на линии пересечония_оболочек к ковш координатам,

опре

деляемы* векторами

Г . П, Ш

/см. параграф 1 .5 /.

Пусть элемент

Q g

примыкает к линии пересечения оболо

чек узловой

течкой

. Тогда для перевода вектора узловых

переменных

Щ' элемента

Q g

в новую систему координат необ

ходимо

выполнить преобразование

Ц * * Ц У ,

/Э.24/

где

Un*> Km** yv)T

Матрица

имеет вед

sinfiKcosAK,

-sinAKt

cos6к cosA

cos6KsinAK.

cosAK, sin fiKsinAic,

-sinfiK ,

COSfit

coskK,

-sinAH

sinAKt

cosAK

Способ определения углов Лц ,	для сопрягаемых обо
лочек приведен в параграфе 1.5.
Для цэеобрааованкя вектора узловых переменных ф		все
го вхемента Qg необходимо использовать матрицу

	" N			О	~
г . - h ~			1
Beat элемент		Q g	примыкает к линии сопрякения более
чем однш уалом, то в матрице преобразования					Та	на местах,
ооответспутинх узлам, лежачих на линии сопряжения, долины
Заменяться	матрицы		f .		К
Зялнф^вьфажекие для матрицы жесткости						и вектора
нагрузке F *	элемента		Q g	после выполнения преобразования
						/3.25/
Хе*~ТЩ еТе,				F e' - T Tf e.
Ц,ста сторона злемента				Q e , содержащая два узла			I , К ,
примыкает к линии		сопряжени оболочек. Тогда введу совместнос
ти аппрокешацнй, из равенства узловых перемещений						\
соседних елементов следует их равенство вдоль общей стороны.
Пример 3.1.		Рассмотрим в качестве тестового примера зада
чу расчета цилиндрической оболочки,. сопряженной с круговым
«каедш.
Оболочечная конструкция /рис. S.3/* нагружена внутренним
равномерно распределении! давлением интенсивности						р	. На

краях заданы условия равенства нулю нормального к крав танген циального смещения.

На ряс. 3.4 изображены впоры нормальных напряжений на пло-

.ддках, перпендикулярных плоскости сечения, на нагруженной /’кривая 1/ ж ненагрухенной /кривая 3/ поверхностях цилиндри ческой части составной оболочки /рис. З.ЗД Для сравнения пред-

■ Здесь я далее, если не указаны размерности, то заданные величины относятся к единице соответствующей ' раэыерростн.

ставлены агоры тех же напряжений, полученные цутем решения осесимметричной задачи теории упругости ШЭ с использованием биквадратачных изо параметрических конечных элементов /кривые 2

и 4 соответственно/.
При исследовании	задачи, как составной	ободочки о учетом
преобразования /3 *2 5 /»	рассматривали часть	оболочки» вырезан
ную двумя плоскостями	симметрии. На полученных в результате

сечения краях задавались условия сишетрии. На каждой из состав ных частей выбирали по четыре биквадратачных элемента в направ лении, перпендикулярном направлению симметрии.

Как следует из рис. 3 .4 , напряжения на нагруженной по

верхности в	точке	сопряжения срединных поверхностей, полученные
по моделям	теории	ободочек и теории упругости, существенно
отличаются.	Причем	теория, оболочек дает заваленный результат,

так как модель теории оболочек не в состоянии учесть реально го распределения материала в зоне сопряжения. Однако на отда лении полутолщинн от зоны сопряжения срединных поверхностей результаты хорошо согласуются. На ненагруженной поверхности в области внутренней угловой точки сечения симметрии напря

жения, полученные путем решения задачи теории упругоота, имеют тенденцию к сильному росту.

Таким образом, решения рассмотренной задачи на основе мо делей сопряженных оболочек и теории упругости H J согласуются только з небольшой окрестности линии сопряжения. При атом теория

fttc. 3 .4 .

оболочек диет аявшенныв значения в о б д аст внешнего угла ооцря- к е т л и заниженные - в о б х а е т внутреннего угла сопряжения.


	3 ,4 .	Схема МКЭ в усилиях-моментах
Решение вадапа статики			ободочек В вариационной постанов
ке /2 .2 0 /	необходимо искать		на множестве статически допустимых
векторов	6	, удовлетворяющих граничный условиям /2 .1 8 / и
уравнешям	равновесии /2 .1 6 /. Дополнительные условия уравнения

равновесия трудно удовлетворит базисным функциями ИЮ. 3 свя зи с етим освободимся от чих, восролы-овсваись методом атр а-

Ц / 3 4 . 7 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги