книги / Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями
..pdfAid* L SO*
Рлс* |
I * 11* |
- |
21 - |
Рассмотрим семейке соединяемых ободочек плоскостью, нормедьной к линии пересечения их срединных поверхностей /рис. 1. 10/ .
Линии |
Of %Qf |
|
- следы срединных поверхностей ободочек. Че |
|||||||||||
рев |
ti |
обозначены вневние |
тангенедальные нормали |
к краны |
||||||||||
оболочек |
0( |
/ |
ii |
либо |
оовпедает с вектором ftti |
, |
либо про |
|||||||
тивоположно направлен/; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
_ |
Для записи |
граничных условий сопряжения определим |
вектор |
|||||||||||
а |
|
, направленный па биссектрисе угла, меньшего |
|
, |
||||||||||
манду векторами |
Г* |
, |
t 2 __от |
вершины |
Я |
|
|
+ Гг |. |
||||||
|
_Бведем_также вектор:' |
ttl* |
образующий |
вместе с |
вектора |
|||||||||
ми |
Г |
, |
Я |
|
правую |
тройф |
Ш , Г , |
П*. |
|
|
|
|||
|
Тригонометрические функции угла |
6^ |
между вектором |
|||||||||||
нормали |
|
H't |
м вектором |
Я * |
/рис. 1. 11/ /направление отсче |
|||||||||
та |
6} |
от |
|
оовпедает с Направлением, противоположны* |
||||||||||
направленно движения часовой стрелки, если смотреть с конца |
||||||||||||||
вентора |
Г / |
можно определить |
по формулам |
|
|
|
||||||||
|
|
а ю 0£ » я £я * |
|
|
sintii-Tnfi* |
|
Л .4 0 / |
|||||||
Для определения произведений векторов, входящих в форму лы /1 .4 0 /* * воспользуемся соотношением /1 .3 9 / и выражениями для векторов fl. я Я *
|
2 .1 . |
Разрешавшие уравнения |
статики |
|
|
|
|||||||
|
|
|
ободочек тапа Тимошенко |
|
|
|
|
||||||
|
Рассмотрим тонкую упругую ободочку толщины |
h | |
сре |
|
|||||||||
динная поверхность |
которой отнесена |
к ортогональной, сопряжен |
|||||||||||
ию! |
системе криволинейных "координат |
о |
i=i,2, |
где |
, A |
- |
|||||||
ее |
коэффициенты Ламе; |
l/r4sKit чгг~^г |
~ главные кривизны. |
||||||||||
|
В рамках математической модели теории оболочек типа Тимо |
||||||||||||
шенко /*7 9 7 перемещения U4,U£, Ш. произвольной точки тела |
|||||||||||||
оболочки |
dL4,dig,dL3 ^ * , с ^ с « |
“ | к < £ < ^ 1федеяяю» через пе |
|||||||||||
ремещения |
U4 lltiW |
и углы’поворотов нормали |
ft, ft |
на |
|||||||||
срединной поверхности по формулам |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
U4SU4(c(f,c(,g) +c(.3 ft(oCftc(g), |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Д , - u , # * , . < ) £ , ) ♦ < * * » * |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Hr=Widt,dz). |
|
7 |
|
|
|||
|
Введем векторы перемещений - |
углы поворота |
U^iUpLlg* |
||||||||||
W, ft, ft) |
- |
/рис. 2. 1/ и деформаций £ = ( £ / , £ * , £ « . £ / 3^ |
* 3. |
||||||||||
z,, zt , z a y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Геометрические |
соотношения теории ободочек типа Ъшопен- |
|||||||||||
хо |
представим в |
виде матричного соотношения |
|
|
|
||||||||
|
с-Ы |
|
|
ё»си. |
|
|
|
|
/ 2. 2/ |
||||
где |
|
- матрица дифференедадышх операторов вида |
|||||||||||
|
|
1* |
^*г=А ^ |
|
С13=К4, |
СцаС15л0, |
|
|
|||||
С # = |
|
|
|
Cgg^^fig, |
Cg&*Kg, Cg^CgrO, |
|
|
||||||
|
M r L * |
|
* |
C j2 = yjj" 4 |
Ag * |
|
^ |
* |
0» |
|
|||
Cjf= |
A{ |
|
|
||||||||||
C+i4<it |
C42- 0, |
C43* ^ |
01* |
cu m1* |
? * A " 0» |
|
|
||||||
Р и с .2 . 2 .
24 -
CS 1 c32w-*i, |
CS3 * J~d2 . |
cu - 0 , C55~/, |
|
n2 |
|
c„-ctt- c „ - 0, |
Ctljr au |
CM‘ -^rd,lAt), |
C7/*C7,- C„*0 , |
Cn-jL-д М crs=£ дг, |
|
2 c> ' = * 7 ^ '
cn*o, 2cet-j^dtj - . 2cw = -^0,~ •
Рассмотрим вектор усилий - моментов e-(T,.T,.SA.Q £t М/, Mtt H) /рИО. 2.2/, который связан с вектором деформаций £ соотношениями упругости
6= Вб , |
/2 .3 / |
Здесь 0 - матрица упругих постоянных, которая в случае транс версально-изотропных оболочек .моет вид
/ |
I |
О |
О |
О |
0 |
0 |
0 |
v> |
/ |
О |
О |
О |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
ф |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
к ЕП 0 |
|
„ |
к Э Д и ? „ |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
о |
Е |
0 |
||||
В~ Т ¥ О О О о Щ ^ о |
|
о |
|||||
О О О |
о |
_ |
/г |
М* |
о |
||
0 |
W |
7 Г |
|||||
О О О |
о |
0 |
1Г |
1 Г |
о |
||
|
|
|
|
п |
|
/I2 |
|
О О О о |
о ^ |
где G* - модуль сдвига; К1 - коэффициент сдвига; Е |
- мо |
||
дуль Юнга; |
- коэффициент Прассона. |
# |
|
Для изотропных оболочек G-\Е(2(1+/) /, К-5/6. |
|
||
Пусть на внешней и внутренней поверхностях ободочки зада |
|||
на поверхностная нагрузка р/, Рг»Рп |
н Р7» Ре* Ря |
соот |
|
ветственно. Введем вектор поверхностной нагрузки на ободочку
P“(p1t Рг, Рп* Ml* ^l) Г |
|
* компоненты которого опреде- |
|||||
мм пс форцуавм |
|
|
|
|
|
|
|
Pi=Pi*Pt, |
Рг“ Р/*Рг. |
Рп-Рп*Р~п,. |
|
|
|||
|
к |
|
А |
|
|
|
|
mi*^lP4"Pi)* |
|
(Рг~Рг)* |
_ |
/ 2 .4 / |
|||
Уравнения равновесия, |
свявываащие векторы |
6 |
и Р , |
||||
представш как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W + P *0 . |
|
|
|
/2 .5 / |
|
Здесь |
- |
матрица дифференциальных операторов |
|||||
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
е « = ' |
Д |
|
св*АJTt e* A<’ |
||
< * * i , |
f r c i ‘ ^ 0 . c |
^ |
a |
^ + j b |
-ЫА,), |
||
|
|
|
|
|
c lr - f e w l c l -о. |
||
с * 5= ' « • |
с“ = с " |
=0> |
|
|
|
|
|
СзГ '*1* |
|
CJ 5 К О, |
С« |
Я т 4 г ^ ^ 2 . |
|
||
|
|
|
|
|
nf Л2 |
|
|
^ |
s |
* с**=0, c*i |
^**ee 12Д |
^2^1 r |
CsiK С$2 ШCg3 S Cfi*Ot |
1 |
2 |
|
c i " ' . С^ ~ и Г дгМ ' С” ' л Л ЙгА'- C« = v i f ^ ' '
Напряжения в оболочке определяется по (эпестнш! усилиям и моментам
Цусль граница |
Г |
/рис. 2 .3 / области jQ состоит из |
частей ff и Г2 |
.н а |
котортс заданы соответственно стати- |
|
|
Г, |
Р и с .2 , 3 .
- 2V -
чеохиз и геометрические уаловия |
|
|
|
|
||||
|
|
G^0B6 , |
064, 0(2 £ Гу i |
|
/гл/ |
|||
|
|
5г0 - и °. |
^ ,< £ г еГе . |
|
|
|||
а»воь б ° :Л ,Т „ |
в.. f t . Ms)\, |
- заданные |
краевые усилия» |
|||||
моменты; |
U x(llt> ^s. » » |
It* ti) |
- заданные |
краевые первые» |
||||
тения - |
углы поворотов; C=(tyt/j |
|
~ матрица |
вида |
||||
O i - ш |
' Л , |
<j«*sin*X. д13=.ип2Я, faQa’ Qu’ tirO. |
||||||
fajrSinZllKfKi), £,*'-][$inM, gn*jUnM, g4„ - |
||||||||
- cos2l, qL’ Vtf&'Qtr’ O, |
qU'KtCos'A-bsia1!, |
|||||||
|
|
|
^ 54a cosAi |
Qjgmsiii%t |
Q36mQ$? к9э$шО» |
|||
|
|
|
|
0«-«wf*. gi?*sin‘A, |
||||
girsinil, |
|
|
|
|
qlt —jrtin2X, |
|||
gU’ jsin U , |
9U - cosZA. |
|
|
|
||||
H « W |
|
» матрица вида |
|
|
|
|
||
Oncost, Qn^sinK, 9**m9»x9«-0, (fir-Sink, |
||||||||
Qu*C0SA, |
Qts* Q*4~Q2jmO, |
pi/90*2*0, |
Озз ~ 1* |
|||||
0иш0з5лО, |
0*1л9*1ш9*з~®> |
|
Q**9cos A, |
|
||||
Q *sin l, |
gii* |
39*3~Q* 9*I 9~SLHA, |
QH ^COSA. |
|||||
Таким образом, разрешающую систему уравнений теории тране- вероально-наотропнтс ободочек можно записать как
%6 + Р’ О,)
б * 5 ё , |
| |
o C , , o ( , e Q v |
A V |
ё - c u , |
J |
17gUmU I, (K4, « • / ' f ' |
/ « • * / |
Представим в матричном иоде невестцую постановку авдач тео рии обоючек в переиецениях
£f ff£ff + P -0 , |
/2.10/ |
й Щ - б 0, (Аи6СйеГ4; |
/тип/ |
&Й0 Л 0 , |
/2 .1 2 / |
Учитывая формулы Грина / 7 9 J
Ш ;Ы М г’\^ ^ Г . \$ £ м м 4 х йг;гл3/
где if - некоторая непрерывная и непрерывно дифферендеруемал функция» а конечная область Qi ограничена кусочно-гладкой границей, р точках которой иыевт место соотношения
A+ddrSinAdr, A dcLgs cosAdr,
получаем для операторов теория оболочек тапа ТЬношенко следупяее основное интегральное тождество:
Ш |
) гш ,А гс1оС<<и.г- \о .Ц к М *№ г * |
/2 .1 4 / |
|
|
*U5j,a)%ldr. |
||
|
|
||
Здесь |
Г |
|
|
|
0.3 , 0.+, tig), |
|
, |
|
|
0 |
|
|
О |
1 |
|
1 2J.
Записывая соотношение /2 .1 3 / в вариациях на множестве гЫ* метрически допустимых векторов II /удовдотворяодах граничнац| условии / 2. 12/» получаем вариационное уравнение Лагража
бЦО'гО, Ое у 'ЛУ»{й:(д'й/д<1{)еШ i=i,2,j~o,i; еМ =й°}л .1ь/ r'tlij)=jUcU)TE SCU^,Asdd1ddi-\d TPA4At(ld1(idig-
®-\{(W)T6‘dr. й
Уравнениям! Эйлера для функционала /2 .1 5 / являются уравне ния равновесия в перемещениях /ЗЛ О /, а естественным граничимии условиями - статические условия /2 . И/,
/2 Л 0 /- /2 Л 2 / рассмотрим ее постановку в усилиях-моментах и перемещениях
С,б+Р=0. |
df, о(2 е Q ; |
e U - F '6 ‘ 0, |
d ,,d t eQ-, |
ё ,б -5 °. |
dLt,o( , с Г <; |
GtQ = d \ d ,.d t c r 2 .
/2 Л6У
/2 Л 7 /
/2 Л 8 /
/2 .1 9 /
В вариационной постановке п аевая задача /2 Л 6 / - /2 Л 9 / вквивалентна
6К(б)*0, б е Е .
где К(б)} - функционал Кастиальяно
t/ftz\ — .1 ГагТг Q'lfcrin.
К0)‘ - Ц в % B ',6dQ^(Gt§)TU°dr:
£ = {0 :6 e :lt(i3): |
§/г = б°, С<6*Р=0}. |
/2 .2 0 / |
||
|
||||
Уравнениями Эйлере |
функционала /2.20/ является уравне |
|||
ние связи между О |
* |
U /2.17/, а естественным граничным |
||
условием - соотношение /2 .IS/. |
|
|||
Функционалы /?.Л5/, |
/2.20/ обладают известными экстре |
|||
мальным свойствами |
|
|
|
|
|
min LJUI‘ L(U*}, тахК(8)=К(6*), |
|
||
где U |
б |
решения задач /2Л0/-/2Л2/ и /2Л6/-/2Л0/, |
||
на которых значения функционалов Ляграшга и Касшльлио со вп ад аю т,
'• в . ци^'-цб").