книги / Надежность и живучесть систем связи

2. Узлы коммутации, смежные с полюсами, составляют простые сечения Sz, Sr-\. Ранг данных ПС r(Si) = r(S 2); r(Sr^) = r(S r).

3. Число простых сечений сети равно рангу кратчайшего пути:

Эк записывается в него, если эл£=х.

7. Если ребро соединяет пару УК какого-либо из сформирован­ ных ПС, тооно не может входить в состав ни одного ПС.

Выполнение приведенных условий позволяет определить мно­ жество ПС 5 с сохранением основного требования: ПС должны быть безызбыточными. Формирование ПС Sb S2, Sr- b Sr осуществ­ ляется согласно условиям 1—4, а Si, 'i= 3,..., г—2, — согласно ус­ ловиям 4—7. Согласно условию 3 в качестве исходной информации для выполнения алгоритма формирования множества ПС S доста­

точно иметь множество М без разделения его на подмножество М и М.

Рис. 2.10, Алгоритм формирования множества непересекающихся простых се­ чений двухполюсной сети эвристическим методом

41

Схема алгоритма формирования множества непересекающихся простых сечений Эвристическим методом изображена на' рис. 2..10» Длина реализующей алгоритм программы составляет 464 оператора языка ФОРТРАН (без учета блока формирования множества путей М — 212 операторов).

Затраты вычислительных ресурсов при выполнении данного ал­ горитма, несмотря на длину и относительную сложность програм­

мы, меньше, чем при разделении множества М на подмножества М

и М. Пример выполнения’программы для .Изображенной на рис. 9.6., ДС приведен в табл. 2.4. Каждый столбец табл. 2.4- представляет собой ПС. Исходное множество путей данной ДС дано в табл. 2.3.

Преобразование исходной структуры системы связи при анализе и оптимизации выполняется в один или два этапа в зависимости от решаемой задачи.

Применяемое преобразование несмотря на удлинение об­ щего алгоритма и программы, имеет несомненные преимущества, так как при этом автоматически учитываются все функциональнотопологические особенности рассматриваемой системы.связи. Учет этих особенностей при применении других методов формирования множества Г1С затруднителен.

Изложенные методы и алгоритмы преобразования охватывают весь диапазон возможных структур системы связи и унифицируют подход к решению различных задач.

Таблица 2.4

42

3.1.Деление методов

Множество методов «расчета «показателей надежности и живу­ чести сетей и систем «связи, как и любой другой сложной системы, делится на два самостоятельных подмножества: точных и прибли­ женных методов. Практическое применение того или иного метода определяется постановкой задачи, имеющимся пар-ком вычисли­ тельной техники, степенью точности исходных вероятностей р(э$ исправности элементов и размерностью оцениваемой системы («се­ ти) «связи. Достоинства и недостатки любого метода рассматри­ ваются в каждом конкретном «случае. Общая схема деления ме­ тодов расчета показателей надежности и живучести систем (се­ тей) связи изображена на рис. 3.1. Некоторые точные (анали­ тические) методы разработаны только для заданных конкретных конфигураций систем связи. Как видно из рис. 3.1, множество аналитических «методов содержит восемь подмножеств, отличаю­ щихся друг от друга используемым «математическим аппаратом.

Рис. 3.1. Схема деления методов расчета надежности и живучести систем связи

43

Большое число аналитических методов расчета характеризует по­ пытки авторов оценить надежность и живучесть системы связи без какой-либо погрешности при практически приемлемых затра­ тах вычислительных ресурсов или объеме ручного счета.

По существу основной целью при разработке нового аналити­ ческого метода ставится снижение объема вычислений для полу­ чения результата. Однако очень высокая размерность оценивае­ мых сетей связи ограничивает возможности точных методов, так как, начиная с некоторой границы, затраты вычислительных ре­ сурсов растут примерно зкспоненциально при любом методе. Тем; не менее граница, с которой начинается экспоненциальное возрас­ тание затрат вычислительных ресурсов, у каждого метода своя. По мере повышения возможностей точных методов усложняются

и методики расчета, а следовательно, и алгоритмы. Это приводит

кудлинению машинных программ, увеличению времени отладки, настройки и снижению надежности их работы.

Любой из точных методов неприемлем при достаточно большой,

размерности оцениваемой сети (размерность оценивается числом допустимых путей, числом элементов ДС или их суммой), поэтому зачастую оценка .надежности и живучести производится прибли­ женными методами.

Методы оценки надежности и 'живучести /систем связи, в ко­ торых используются интегродифференциальные уравнения и тео­ рия игр, вообще не нашли практического применения прежде все­ го из-за их сложности.

Приближенные методы также делятся на два подмножества г приближенные аналитические методы и методы статистического моделирования. Применение любого из приближенных методов;’ неизбежно приводит к некоторым погрешностям оценки.

Погрешность при использовании большинства аналитических приближенных методов задается. Исключение составляют методы, основанные на преобразованиях типа «треугольник—звезда». Не­ которыми из аналитических методов оцениваются приближенныеверхние и нижние границы значений показателей, по которым их можно усреднить. Такие методы для небольшого числа ДС при­ менимы для ручного счета. Недостаткомнекоторых из них яв­ ляется трудность определения не только значения, но и знакапогрешности.

Погрешность задается и при использовании методов статисти­ ческого моделирования, в основу которых положен перебор со­ стояний системы. И в том, и в другом случаях погрешность опре­ деляется суммарной вероятностью возникновения событий, кото­ рые при заданных исходных данных считаются практически не­ осуществимыми. Например, для системы связи из N элементов, в- которой случайное число отказавших элементов распределено нор­ мально со средним /n=0,01JV и ореднеквадратическим уклонением о=0,ОШ, «практически неосуществимым можно считать событие, когда в системе одновременно в состоянии отказа находится k^0,03N элементов.

44

Погрешность -расчетов тори -использовании методов статисти­ ческого моделирования определяется числом реализаций случай­ ного процесса отказов элементов системы. Очевидно, что большое число элементов системы требует 'применения такого датчика слу­ чайных чисел (ДСЧ), который имеет достаточно большой период вырождения. Этим свойством обладают ДСЧ, требующие значи­ тельных дополнительных затрат вычислительных ресурсов. Поэто­ му, как правило, при высокой размерности сети и большом числе тяготеющих пар ее полюсов на выполнение одной реализации тре­ буется значительное время работы ЭВМ. Например, выполнение одной реализации для сети с числом элементов N=-1500 и числом тяготеющих пар полюсов Nw =2000 потребовалось около 80 мин работы ЭВМ БЭСМ-6.

При -использовании приближенных методов -необходимо, чтобы выполнялось важнейшее правило: погрешность «сходных данных не должна превышать погрешность метода расчета.

В следующих разделах данной главы особенности и свойства точных -методов излагаются более подробно.

3.2. Методы прямого перебора состояний элементов системы связи

Расчет показателей надежности методами прямого перебора состояний элементов -системы -связи G{A, В} предполагает неза­ висимость возникновения отказов ее элементов и наличие у каж­ дого элемента двух взаимоисключающих друг друга состояний? полностью иопра-вен или полностью -неисправен.

Вероятность пребывания -системы связи в состоянии, когда отказали i элем-енто-в, определяется по формуле -Бернулли

P'(N, 0 = С«Р(5)"“ ‘[1 -Р (э)]'. (З.П

Отказ какого-либо -подмножества из совокупности i элемен­ тов, i=0, ..., N, системы связи приводит к разным -последствиям: в одних случаях ДС D остается связной, © других — ее -связность нарушается. Для определения -влияния отказа i элементов систе­ мы -связи на состояние ДС пронумеруем возможные подмноже­ ства i отказавших элементов -числами «= 1, ..., и введем в рас­ смотрение коэффициент ал. Здесь /г=С\у, a a;t=0, если при отказе k-то подмножества i элементов связность ДС нарушена, и ак—\ в противном случае. Формула (3.1) преобразуется к виду

N

*‘ При различных р(э<), что имеет место в реальных, системах, (3.2) принимает вид

Здесь Зотк —множество отказавших элементов системы связи. Пусть произвольно выбранная ДС отображается множеством путей- М. Алгоритм вычисления р (Е) с использованием формул (3.3) и (3.2) или (3.4) имеет 2N шагов. Существует несколько вариантов алгоритма вычисления р(Е) методом прямого перебо­

ра состояний. Шаг k .наиболее простого алгоритма: формируется k-e двоичное число длиной N разрядов;

значение «1» каждого разряда двоичного числа соответствует исправному, а «О» — неисправному состоянию элемента (двоичное число содержит O ^ i ^ N нулей и N—4 единиц);

определяется значение «ь,- для j-й ДС, /= 1,.... NW- При a/t,= 1

одного исправного пути. В этом случае <цу=1. При j=Nw осу­ ществляется возврат к 'началу алгоритма. Алгоритм заканчивается при h=2N и /=Wvr. Схема алгоритма изображена на рис. 3.2. Длина программы составляет 278 операторов языка ФОРТРАН, при этом расчетный блок имеет длину 2о операторов.

Иногда применяется модифицированный алгоритм, расширяю­ щий область применения метода прямого перебора. Отличие его от изложенного состоит в организации перебора состояний не всех элементов МС, а для каждой ДС отдельно. При этом р (Ej) вычис­

ляются поочередно за 2NJ шагов каждая, /= 1, Nw. Вычисление p(Ej) производится в следующей последовательности:

формируется множество путей М,;

перенумеровываются элементы ДС Dj для упрощения органи­ зации перебора ее состояний (элементам ДС вместо исходных присваиваются номера 1, 2, 3, ..., А/));

формируется k-e, k=\\, ..., 2Ni, двоичное число;

определяется ahj и по формуле типа (3J>) производится вычис­ ление.

\ Схема модифицированного алгоритма изображена па рис. 3.3. Длина программы составляет 31 оператор языка ФОРТРАН.

Пример. Задана МС, изображенная яа рис. 3.4. Информация передается

4 в

47

табл. 3.2, а результаты четырех шагов модифицированного алгоритма для каж­ дой ДС при p(j=0,9 — в табл. 3.3.

Т а б л и ц а 3.3

48

Т абл иц а 3.4

об объемах вычислений при использовании алгоритмов приведены в табл. 3.4.

Достоинства модифицированного алгоритма по сравнению с первым проявляются более 1резко при возрастании числа элемен­ тов системы. Основную часть модуля вычисления р ( Е ) методом

MCH={DCHh) длиной N разрядов: матричный и последовательностный. Первый

чения v-ro разряда 2Л* двоичных чисел. Для этого используется закономер­ ность изменения значений двоичных разрядов по столбцам матрицы. Законо­ мерность заключается в том, что число знакоперемен в столбце с увеличением номера разряда на единицу снижается в 2 раза. Матрица МДС в соответст­

вии с указанной закономерностью заполняется по результатам анализа двух выражений:

4»

Алгоритм, реализующий последовательный метод, имеет 2N шагов. На А-м шаге двоичное число ДСЯл формируется по результатам анализа значений разрядов числа ДСНк - 1 с использованием закономерности, изменения значений

Выражение (2.8) используется только в том случае, когда значения каж­

' Последовательностный метод по сравнению с матричным имеет несомненные преимущества по объему оперативной памяти. Однако в целом метод прямого перебора состояний элементов системы связи при оценке ее надежности имеет ограниченные возможности. Так, на рис. 3.5 изображена зависимость вре­

Рис. 3.5. Зависимость времени фор­ мирования совокупности двоичных чисел на ЭВМ «Минск-22> методом поразрядного преобразования от числа элементов системы

Экспоненциальная зависимость времени формирования двоич­ ных чисел 'позволяет использовать -метод прямого перебора состоя­ ний элементов при оценке надежности системы связи при N= =20—25. Необходимое для этого время расчета на ЭВМ отече­ ственного парка составляет примерно 1 ч. Поскольку для всех i, / вероятность и-опра-вности узла рО рц, п-ри оценке надежности часто предполагают, что Рг«1. Тогда граница применения метода

повышается примерно -в 2 раза. Затраты времени определения

ah в (3.2) и (3.4) незначитель­ ны. Зависимость времени расче-

люсной сети на ЭВМ «Минск-22» от числа путей при использова­ нии метода прямого перебора ее состояний

50