книги / Надежность и живучесть систем связи
..pdfСогласно (5.10) и (5.11) функция р(£Д зависит от числа пу тей, вероятностей исправности элементов системы и от коэффици ентов структурной корреляции; при возрастании коэффициентов р(е*, Gt_i) функция также возрастает. Определим область воз можных значений функции p(£ ,j в зависимости от изменения ко эффициентов p(<?i, G i- i) -
Пусть для всех i коэффициент р(е*, Gi_i)=0. Тогда в соответ ствии с (5.11), (5.10) и (5.6) величина Ф(£Д = 1, функция р(£Д = =0, а вероятность p(Ej)=p(Ej). Пусть теперь для всех i коэффи циент р(е*> Gi_i) = l. Тогда из (5.11) следует, что
Ф (£/) = 1 /п Г 1 -р (е ,Н .
или после умножения числителя и знаменателя дроби на величи ну Р Ы
Ф (^ ) = Р Ы 1 Р (^ ).
После подстановки последнего выражения в (5.10) при жест кой корреляции состояний путей
Р (Е1) = - В М = £ Ш , |
(5.12) |
НЕ,)
При этом, как -видно из (5.6), p(Ej) =p(eil), т. е. коэффициент р(б,-, Gi~i) = l для всех путей р,*, 2, тогда и только тогда, когда трассы всех путей полностью совпадают с трассой пути рь Таким образом, при изменениях значений коэффициентов р(е», G*_|) функция
0 < P ( ^ j ) < - - l ) ~ P- ( — ■ |
(5 .1 3 ) |
р (Ej)
При достаточно большом числе путей hj ДС вероятности р(£,•)-*-!, a p(Gj)-*-0, откуда верхняя граница функции р+(£,)« ^p(gi). Зависимость функции p(Ej) от изменения коэффициента р(ег-, О,—i) примерно линейна.
5.3. Структурная корреляция исправного и неисправного состояний различных двухполюсных сетей
Предположим, что исправность ДС £* нарушена. Вероятность этого -события p(Gi). Требуется при Mif\Mj¥=0 определить P(£j|
I Gi).
Согласно формуле условной вероятности
Прибавив к числителю дроби и вычтя из него p{Ei), почленно разделив числитель на знаменатель, в результате получим
81
р ( E j \ @ i ) = р № j ) [1 р ( E j t а д , |
(5.14) |
|||
где |
|
|
|
/с 1rv |
/р о \ |
Р {Ei\Ej) |
P(Ei) |
|
|
*&>•G|) |
— 7 |
т |
' |
(5Л5> |
Отношение (5.15) называется в дальнейшем функцией структур
ной корреляции событий Еj и G{. Из (5.14) |
следует, что |
0<р(£,-, 0 4) < 1 . |
(5.16) |
Равенство нулю возможно только тогда, когда множества Лтг- и ATj не пересекаются. Если £iC=£,-, то р(£*, G,) = 1. Это возможно, когда трассы всех путей ДС Di совпадают с трассами путей ДС Dj и последние имеют меньший ранг.
Выразим p(Ej, Gi) через условные вероятности исправности пу тей p,JveMj, которые легко вычисляются корреляционным методом.
На условную вероятность исправности пути рЛ влияют состоя
ния путей ДС Di и состояние k—\ путей ДС Dj. Введем |
событие |
Тогда можно записать, что |
(5.17) |
i) =P(e{, G;)+p'(е/, 4,_1}). |
В (5.17) р(е\, Gj) вычисляется по (4.19), в которой вместо p(Ehnh)-1) подставляется р(Е\). Коэффициент р'(е^, gj(A-i)) ха рактеризует корреляцию исправного состояния пути рЛ и неис правных k—1 путей ДС Dj только между собой, но при условии, что эти пути имеют вероятности исправности а(е^), вычисленные по (4.18). Вероятности a{eh), как показано в § 4.3, представляют собой вероятности исправности пути р*А, вычисленные при условии нарушения исправности всех путей ДС Di. Очевидно,
р ' ( Н> |
,>• |
Предположим, что выражение р' (eJ/i, ■gfyt-n) определено. Тогда, дважды подставив р(е**, хи-\) и р'(е*,„ gfyt_n) в (5.11) и далее в (5.10), получим функции p'(£j) и p"(£j) суммарной корреляции состояний путей ДС Dj. При этом p'(Ej) характеризует суммар ную корреляцию состояний путей ДС Dj с неисправным состояни ем путей ДС Dj и между собой, а р" (Ej) — только между собой, но при условии неисправности всех путей ДС Dit Тогда искомая функция
|
|
Р (Е/, G() = р'(Ej)—р"(Ej). |
(5.18) |
Для возможности проведения расчетов по |
(5.18) необходимо |
||
вычислить |
|
»)- -Для этого в выражение |
|
|
К |
|xft- i ) = р ) [1 —р (е/, |
(5.19) |
подставим (5.17) |
с учетом того, что в (5.17) р(е^, Gi) определя |
||
ется из формулы |
|
|
|
P H |
^ к - ц ) = р Н ) ^ - р П < |
° t )]• |
|
82
Тогда после преобразований |
|
|
|
|
|
|||
|
р '( « . |
р К ) |
|
. |
|
(5.20) |
||
|
|
|
(5.18) с учетом (5.20) |
|||||
а после подстановки р'(£,) и p"(£j) в |
||||||||
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(EJt Qi) = e(Ej) (i?,[,+aW- |
P(x|Cj^)--p(Xft-i) |
|
] - |
|||||
|
Р (Xft-i) |
|
|
|||||
- |
|
п |
р { ek\Gi)—Р{ 4 | xfe-i) |
II- |
(5.21) |
|||
|
|
|
|
|||||
к=\ |
|
' ( efl |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Событие >с/с_! — дополнительное по отношению к ил_ь |
|
G<‘>. Тогда, |
||||||
Событию Gi в (5.21) .можно сопоставить событие |
|
|||||||
последовательно определяя функцию р (£,-, GW) структурной кор |
||||||||
реляции двух множеств путей Mj и MW, за п шагов |
расчета по |
|||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (GM)= П р(В у)[1 -р(£ „ |
G‘*>)J, |
|
|
(5.22) |
||
|
|
|
А>=1 |
|
|
|
|
|
будет определена требуемая вероятность. |
|
|
|
|
||||
5.4. Алгоритм |
|
расчета вероятности нарушения исправности |
||||||
заданного числа двухполюсных сетей |
|
|
|
|
||||
В данном параграфе излагается алгоритм вычисления наиболь шей вероятности p(G<")) одновременного нарушения исправности заданного числа п двухполюсных сетей. Данный алгоритм положен в основу других алгоритмов оценки надежности (живучести) сис
темы связи в целом. |
|
|
|
||
Пусть заданы множество путей M<n)={Mj} и вероятности ис |
|||||
правности |
элементов |
р{э) системы связи. Введем в рассмотрение |
|||
матрицу |
из |
п строк и п+ 1 столбцов. При i,j=l,n эле |
|||
менты |
матрицы |
1—p(£j, GW). Функция |
p(£j, GW) характе |
||
ризует |
структурную |
корреляцию исправного |
состояния ДС |
D, и |
|
неисправного состояния подмножества k ДС. Число |
1. |
||||
При k = l |
GW=Git а при £ > 1 GW означает нарушение исправно |
||||
сти ДС Dit а также таких (k—4) ДС, состояния которых коррелированы с состоянием ДС Dt более других. При i—j ^,-«0, а при £ # / ф^=^ф^г-, так как функция p(£j, Gt) свойством симметрично сти не обладает. Элемент
(5-23)
/=1
характеризует суммарное влияние нарушения исправности ДС G* на состояние остальных п—1 ДС.
Наибольшее влияние на состояние системы связи оказывает
такая ДС Dvt для которой |
|
%, n+] = min {%, п+1}. |
(5.24) |
Если на каждом шаге расчета по правилу (5.24) |
выбирать со |
ответствующую строку матрицы, то по формулам (5.21) и (5.22) за п шагов будут определены требуемая вероятность p(G<n>) и множество ДС, одновременное нарушение исправности которых оказывает наибольшее влияние на состояние4 системы связи. Число шагов снижается следующим образом. С увеличением номера ша
га расчета |
Зададимся достаточно малым числом е. Если |
|
|
е, |
(5.25) |
то ДС Dj с высокой степенью достоверности можно |
считать не |
|
исправной и Dj включается в множество M(n), a p(G<n>) умножает ся на число (1—фгз).
Обозначим: I — номер шага расчета; ЧГ*— матрица на /-м ша ге; v(Z) — номер строки матрицы Ч", для которой удовлетворяется условие (5.24); p(G<n))i — многополюсная сеть Ып) и вероят ность нарушения ее исправности на I-м шаге; k(l) — число элемен тов в v(Z)-fi строке, для которых выполняется неравенство (5.25).
Ниже излагаются шаги 1 и / алгоритма. Принимается Мо(п)= 0 ;
p(G<*>)о=1. |
|
|
в |
Шаг 1. Множество МИП1= {Мо(п)}. На основании изложенного |
|||
гл. 4 корреляционного метода и формул (5.21), |
(5.23) вычисляют |
||
ся элементы матрицы ЧГ1. По (5.24) определяется номер |
строки |
||
v (1). Двухполюсная сеть £>V(D включается в |
множество |
£Vn\ |
и |
вероятность p(G(n))i=p(GW)0[l—p(£V(i))]- Если для каких-либск
элементов |
выполняется неравенство (5.25), то двухполюсные |
сети Dj включаются в множество Mi<n\ a p(G<n))i умножается на |
|
[1—■фЧо);]* Число А(1) элементов матрицы 4я1, для которых вы
полняется |
неравенство |
(5.25), запоминается. |
По |
(5.14) вычисля |
||
ются вероятности р (£“*| Gtfc>), где k='k(\) + \. Если |
/г(1) + 1 < « , |
то |
||||
осуществляется переход к шагу 2, иначе расчет закончен. |
и |
|||||
Ш аг |
/. Множество |
M ^={M <4-i}. |
Вероятности p(G^))i_, |
|||
p(Ei\GW) |
определены |
на предыдущем |
шаге. |
С |
использованием |
|
корреляционного метода и формул (5.21), (5.23) вычисляются эле менты матрицы Ч». При этом к строк и к столбцов не заполняются,
а |
U /= lf л. вычисляется при условии |
неисправности |
всех пу |
|
тей множества |
С использованием |
правила (5.24) |
опреде |
|
ляется |
номер строки |
v(l) и p(GW)i=p(GW)i-i[l—p(£ vp)|GW)], |
||
где k=l+ 2k(i). |
|
|
|
|
По |
результатам выполнения неравенства (5.25) для |
элемен |
||
тов v (•/)-й строки матрицы Чгг определяется число k(l). Соответст
вующие ДС включаются в множество |
а вероятность p(G<n>)/ |
умножается на числа 4^V(t)j* Число к |
увеличивается на величину |
84
k{l). Если k<.n, |
то по (5.14) вычисляются вероятности p(£,|G<ft)) |
и осуществляется |
переход к (£+1)-му шагу. В противном случае |
расчет закончен. |
Пример применения алгоритма приведен в § 5.9. |
5.5. Коэффициент структурной корреляции исправных состояний одиночного пути и множества путей
Пусть для ДС Dj и Di выполняется условие (5.2) и ДС £* с вероятностью р(£*) исправна. Требуется вычислить p(£j|£*).
Задача решается в два этапа. На первом этапе определяется
условная вероятность р (е \|£ * ) |
исправности путей |
pjv, v = l,fy , а |
||||||
на втором — p(Ej\Ei) |
с использованием полученных в (Первой час |
|||||||
ти результатов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле условной вероятности |
|
|
|
|
||||
P K |£ i ) = P ( £ |l ei)/P(£i)- |
|
(5.26) |
||||||
Поскольку очевидно, |
что p(e*v |£ i);^ p (eiv), то |
по |
аналогии с |
|||||
(4.18) можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
*«)]. |
|
(S.27) |
где коэффициент структурной корреляции р(е>у, £,•)>0. |
||||||||
Приравнивая (5.26) |
и (5.27), получаем |
|
|
|
|
|||
Р « |
, |
£ «)= |
p{Ei\e{)—p(Ej) |
|
(5.28) |
|||
|
P(Ei) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если для какой-либо |
пары -путей |
р,1/» выполняется условие |
||||||
поглощения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
= |
1*1. |
|
|
|
(5.29) |
то р(Еi\e \) = \. Отсюда верхняя |
граница |
выражения |
(5.28) |
|||||
Р+ К |
’ |
£i) = p(Gj)/p (£,-)= <*(£*). |
|
(5.30) |
||||
В системах связи условие (5.29) не выполняется, так как лю бая пара путей различных двухполюсных сетей отличается друг от друга хотя бы одной линией привязки полюса (оконечного уз ла) к транзитному УК. Поэтому
0 < р (* £ , £ ,)< e (£ i). |
(5.31) |
Формулы (5.27), -(5.28), (5.30) позволяют оценить степень воз растания вероятности р(е^1£») по сравнению с вероятностью p(e*v). Зависимость p(eiv |£.t) от р(£») изображена на рис. 5.3, из которого видно, что при 0,9^ р (£{) < 1р ( (е^ |£,-)«1,03р ( е \).
Взаимосвязь коэффициентов р (е \, G<) и р{е\, £*) между со бой определяется выражением
«(«*. Ej)p(el, Gt)
(5.32)
Р ( cv » Qi)—г ( 4 * Et) где z(e>v, Ei) = p (£» | e’v) —p .(£.<).
85
Формула (5.32) получена подстановкой в (5.28) полученного из (4.18) выражения p{Ei). На рис. 5.4 изображены зависимости вероятностей р{е*2\Е\), p(e22|Gi) (кривые 1, 2) и коэффициентов р(е22, Gi) и р(е2, Е\) (кривые 3, 4) от относительного числа эле ментов пути {Л, содержащихся в одном из путей ДС D\. Много-
Рис. 5.3. Зависимость вероятности
исправности пути сети Dj от повы шения вероятности исправности се та Dt при условии корреляции их состояний
Рис. 5.4. Зависимость вероятностей
р {е \\Е }), р ( е \ 1Gf) (кривые 1, 2)
и коэффициентов p(e*v , Gj), р(е\ Ej) (кривые 3, 4) от относительного
числа элементов пути |x2j, содержа щихся в одном из путей сети ДС D\
полюсная сеть изображена на рис. 5.5. По ДС D\ информация передается между полюсами а°\, а%, а по ДС £>2 — между полюса ми а°ь а°3. Путь р22= {а°ь а7, а9, а°3}.
ол |_
Рис. 5.5. Пример структуры мно гополюсной системы связи
|
|
J>(4.Ej) |
Рис. 5.6. |
Зависимость |
функции |
корреляции |
исправных |
состояний |
сетей Di, Dz от коэффициента корреляции попранного состояния одного из путей сети D{ и ис правного состояния сети D2
5.6. Функция структурной корреляции исправных состояний различных двухполюсных сетей
Определим выражение для p{Ej\Ei). По аналогии с (5.27)
р(Е,\Е1)=р{Е))[1 + р(В„ £,)]. |
(5.33) |
где функция р (Ej, EJ^sO.
Для определения выражения p(£j|£*), приемлемого для про ведения расчетов, запишем
p{Es\Ei)= 1 — П [1—P(e{,\Ei)]‘
V=1
Подставив в последнюю формулу (5.27) с учетом (5.28), после преобразований получим, что
р (Ej, |
Et) = е (Ej) [1- Ф (Ejt |
£ {)], |
(5.34) |
где |
|
|
|
Ф(£„ £ i ) = n j l -----1-1(4) |
Р^ ’ £ *']' |
(535) |
|
При возрастании |
надежности элементов системы |
связи или |
|
структурной корреляции состояний путей величина Ф(Е3-, Ei)-+0 и согласно (5.34) p(£j, £i)-»-e(£j). Следовательно,.
|
|
0 < р (£ |
> , £ {)< е(£ ,). |
(5.36) |
||
Зависимость |
р (Е3, |
Ei) |
от |
p(eJv, Ei) при различных р(£3) |
изо |
|
бражена на рис. |
5.6. |
Из |
графика видно, что р(£,-, £ i)~ £ (£ j) |
при |
||
p(e*v, Ei) «0,5е(£г). Таким образом, в отличие от функции р(£,-, Gi), функция p(£j, Ei) достигает своего предельного значения при неполной корреляции состояний путей.
Запишем теперь выражение вероятности р(£<т)) одновремен
ной исправности |
/и^ 2 двухполюсных |
сетей. Пусть m—1 двухпо |
||
люсных сетей исправны. По аналогии с |
(5.33) |
|
||
р (£ т |£ ," - ‘>) =?(£ „,) [1+ |
Р [Ет, Е '" -1’)]; |
(5.37) |
||
р[Ет, ft™-*)) определяется, как и в |
предыдущем случае, |
через |
||
p(emv, £ (m-1)). Можно показать, что |
|
|
|
|
|
ы - m |
|
Р (S''"-1’) |
(5.38) |
PUv’ |
J |
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя для рассматриваемого случая |
(5.38) в (5.35) и да |
|||
лее в (5.34), получаем |
|
|
|
|
р(£„„ £<” - |)) = e ( £ m) { l - n ‘ [ l - |
|
|
||
. f r « |
р (£(” - |)1 С ) - ) ’ (Д1— ”) |
])■ |
(5.39) |
|
‘ vj |
р (£(«-!)) |
|
||
|
|
|||
|
|
|
||
При вычислении p(£(m-1)|emv) определяется |
|
|
||
р (£•„_! |е"‘, £<"*-2> I е?) = |
|
|
|
|
v |
P (£«”- 2>|C ) |
|
Jr |
(5.40) |
|
|
|||
87
При i= l p(Ei,£W )=0.
5.7. Алгоритм расчета вероятности исправности заданного числа двухполюсных сетей
Заданы множество путей передачи информации M(m>=.{Mj} системы связи, вероятности исправности ее элементов р{э). Тре буется определить р (£(т)). Алгоритм. выполняется за т шагов с организацией на i-м шаге ki=i—1 итераций. Основу алгоритма составляют изложенный в § 4.1 итерационный алгоритм и преоб разование исходных множеств путей М,\ Преобразование состоит в исключении из них элементов таких путей, которые в (5.40) приняты исправными.
Обозначим: k — номер итерации; i(Л) — номер шага, а 1(к) — максимальное число шагов на k-й итерации; Нцк) — число путей в i(k)-u множестве (число этапов, за которые выполняется i(k)-& шаг). При £(£) = 1 принимается Ai= l. Записанные через запятую двойные индексы означают: первый — номер ДС, второй — номер итерации расчета. •
Организация вычислений по шагам и итерациям осуществляет ся проверкой выполнения неравенств:
i(k)<I(kY, k>0; v < £ i(ft). |
(5.42); (5.43); (5.44) |
Если выполняется (5.42), то i(k) увеличивается на единицу. При невыполнении (5.42) проверяется (5.43). Если оно выполня ется, то k снижается на единицу и осуществляется возврат к про верке (5.42). При невыполнении обоих неравенств осуществляет ся переход к проверке (5.44). Алгоритм заканчивается при невы полнении трех неравенств. Отличие (5.42) от (4.9) состоит в том, что в (4.9) t(A) означает номер пути на fc-й итерации, а в (5.42) — номер двухполюсной сети на k-й итерации. Алгоритм излагается
по шагам и итерациям.
Шаг 1 нулевой итерации. £ = 0, /(0) =m, £(0) = 1, Ai = l. Вычис ляется корреляционным методом р(Ец0))-
Неравенство (5.42) выполняется, поэтому i{0) увеличивается
на единицу.
Шаг 2 нулевой итерации. i(0)=2. Вычисляется р(Ет ). Требу
ется согласно (5.39) кцо) раз вычислить p (£ i|e vt(0)) —РС^'О))» по* этому шаг 2 выполняется в h2 этапов. Для этого организуется пер
вая итерация.
Шаг 1 первой итерации, k —l, 7(1) = 1, £(1) = 1, Ащ)=1. Шаг 1 первой итерации повторяется /12 раз. При v-м повторении множе ство Mi,о исключением из него элементов пути p2v преобразуется в M1(i и вычисляется р{Ещ)). По окончании последнего этапа по
88
(5.39) вычисляется |
p(£i(0), Ецо н ), а по (5.41) — р(£<2)). Неравен |
ства (5.42), (5.43) |
выполняются, поэтому 6 снижается, a i(6) уве |
личивается на единицу. |
|
Шаг 3 нулевой итерации. 6=0, i(0)=3. Вычисляется р{Ецс»).
Согласно (5.39), требуется вычислить р(Е№\е\)1гщ раз. Органи зуется первая итерация.
Шаг 1 первой итерации. 6=1, /(1) =2, ф ) = 1. Повторяется kno) раз. В начале v-й части шага множества Mi.o, М2,о исключе нием из них элементов пути p,3v преобразуются в Мы, M2li я вы числяются р{Е\,\), р{Еы). Необходимо определить функцию кор реляции между преобразованными множествами Мм и М2,ь после чего определяется p(£<2>Je3v). Вычисления выполняются за два
шага первой итерации |
в изложенной выше последовательности с |
|||||
организацией одного шага второй итерации. |
|
|||||
На 2(0)-м шаге вычисляются вероятности: |
|
|||||
|
/ = |
1..... z(0)— 1, |
р |
,|Е(г- я) |
раз. ; |
|
р (EJ\ ( 4 . |
е Г '1 ), |
j = |
1......г - 2 , |
р (£м |
|£ ,г" 3>) |
ftA - , раз; |
Р ( ^ iЦ ev, |
Зг |
»••*, 3q}] |
|
Xft, |
раз. |
|
Общее число итераций при выполнении алгоритма |
||||||
где |
|
|
/=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
2— 1 + М * —2 + |
(Z—3 + 6г_2 (г—4 + . • •+ |
||||
|
|
+ 6в(3 + 64 (2 + |
6 з)(1 + А 2)))...)). |
|
||
Число £ велико даже при незначительном т. Однако при прак тическом применении алгоритма число итераций £ '< £ , так как, начиная с первой итерации, используются условия поглощения и независимости путей (4.28), (4.20). Кроме того, функция р (£д-, £(i-')) быстро стремится к своему предельному значению, поэтому вероятность р(£<т >) вычисляется за три-четыре шага с организа цией на каждом шаге не более двух итераций. Пример примене ния алгоритма приведен в § 5.9.
5.8.Принципы построения программ расчета на ЭВМ показателей надежности и живучести системы связи в целом
Рассмотрим принципы построения программы расчета вероят ности нарушения исправности п ^ 2 двухполюсных сетей. Схема алгоритма изображена на рис. 5.7. Исходными данными для него дополнительно к данным для алгоритма формирования множест ва путей -служат вероятности р(э) исправности элементов системы связи и число п. В результате выполнения программы определяют ся вероятности p(GW) и р (£jf G<n>), /= 1,..., Nw—n.
Алгоритм состоит из трех блоков: формирования множества пу тей М между всеми заданными парами полюсов; расчетного и под готовки данных для расчетного блока. Первый блок представля
ет собой программу формирования множества путей, |
алгоритм |
|
которой изображен на рис. 2.2. Он отличается от блока |
1 |
на рис. |
2.2 тем, что входящий в его состав подблок 1" помещен |
перед |
|
Рис. 5.7. Алгоритм расчета вероятности одновременного нарушения исправно сти заданного числа двухполюсных сетей
блоком, обозначенным штриховой линией. Кроме того, изменено наименование массива, в который записываются пути. Массив обозначен идентификатором КР. Он сопровождается двумя спра вочными массивами: в первом записаны ранги путей, во втором — число путей каждой двухполюсной сети.
Второй блок — это блок вычисления вероятности р (№ ) кор реляционным методом. Он представляет собой итерационный ал горитм, принципы построения кото-рого изложены в § 4.5. Изме нения в структуру блока не вносились.
90